metody iteracyjne dla rownań nieliniowych
Transkrypt
metody iteracyjne dla rownań nieliniowych
Program przedmiotu: METODY ITERACYJNE DLA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH 30 godz. konwersatorium Wymagane wiadomości: ogólna wiedza matematyczna głównie z metod nume rycznych i analizy funkcjonalnej. 1. Twierdzenie Banacha (bd.). Twierdzenie Picarda w wersji lokalnej i globalnej, szkic dowodu z wykorzystaniem twierdzenia Banacha. Analiza przykładów równań różniczkowych. 2. Definicja liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja normy liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja pierwszej różniczki Frécheta i pierwszej pochodnej Frécheta. Obliczanie różniczek Frécheta różnych operatorów. 3. Definicja różniczek Frécheta wyższych rzędów i pochodnych Frécheta wyższych rzędów. Obliczanie różniczek Frécheta różnych operatorów, cd. 4. Metoda Newtona. Uogólniona metoda Newtona-Kantorowicza w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie Kantorowicza o zbieżności oraz istnieniu i jednoznaczności rozwiązania (bd.). Analiza przykładów równań i układów równań algebraicznych. 5. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania x-Ax=y, twier dzenie o odwracalności operatora I-A, gdzie A jest operatorem w przestrzeni Ba nacha. Zastosowanie w uogólnionej metodzie Newtona-Kantorowicza do pewnego równania różnicowego. 6. Twierdzenie o zbieżności i istnieniu rozwiązania dotyczące uogólnionej metody Newtona-Kantorowicza (bd.). Analiza przykładów. 7. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla funkcjonałów na przestrze niach Banacha. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przykładów. 8. Twierdzenie Riesza-Frécheta (bd.). Definicja uogólnionego gradientu. Konstruk cja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla funkcjonałów na przestrzeniach Hilberta. Analiza przykładów. 9. Konstrukcja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla funkcjonałów na przestrzeniach Lp. Analiza przykładów równań całkowych. 10. Przybliżone rozwiązywanie równań całkowych z wykorzystaniem uogólnionej metody gradientowej typu Newtona, cd. 11. Twierdzenie o różniczkowalności normy i kwadratu normy w rzeczywistych przestrzeniach Hilberta. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla ope ratorów w przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przy kładów układów równań algebraicznych. 12. Rozszerzona metoda Newtona. Metoda Czebyszewa. Twierdzenie o zbieżności (bd). Analiza przykładów równań algebraicznych. 13. Uogólniona metoda Czebyszewa dla operatorów w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o zbieżności (bd). Uogólniona metoda gradientowa typu Czebyszewa dla operatorów w przestrzeniach Banacha (informacyjnie). Analiza przykładów równań i układów równań algebraicznych. 14. Porównanie przedstawionych metod (zastosowanie, szybkość zbieżności). Kwestia przyśpieszania zbieżności. Informacja o innych metodach. Literatura: 1. M. Altman, Metody przybliżone analizy funkcjonalnej, PAN, Wrocław 1963. 2. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1970. 3. J. Stoer, Wstęp do metod numerycznych, tom 1,2, PWN, Warszawa 1980. 4. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1987. 5. E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, Springer, New York 1986. 7 grudnia 2009