TURBULENCJA – OD LOSOWOŚCI DO DETERMINIZMU

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 41-48, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
TURBULENCJA – OD LOSOWOŚCI DO DETERMINIZMU
ANDRZEJ BOGUSŁAWSKI, STANISŁAW DROBNIAK, ARTUR TYLISZCZAK
Instytut Maszyn Cieplnych, Politechnika Częstochowska
e-mail: abogus@ imc.pcz.czest.pl, [email protected], atyl@ imc.pcz.czest.pl
Streszczenie. Praca poświęcona jest omówieniu aktualnych tendencji
w matematycznym modelowaniu przepływów turbulentnych. Przedstawiono
obecny stan wiedzy w dziedzinie modelowania turbulencji, który stanowi
podstawę wykorzystywanych obecnie kodów CFD, naleŜących do klasy RANS.
Scharakteryzowano ograniczenia modeli RANS i omówiono załoŜenia metod
DNS stanowiących wzorzec rozwiązań dla problematyki turbulencji. Szczególną
uwagę poświęcono omówieniu metod LES, które stanowią przyszłościowe
rozwiązanie problemu modelowania przepływów turbulentnych.
1. WSTĘP
Turbulencja przepływów, mimo półtora wieku prowadzonych w tej dziedzinie badań,
stanowi wciąŜ aktualny i daleki od rozwiązania problem poznawczy, czego powodem jest
przede wszystkim wieloskalowy charakter zjawiska. Skale turbulentnych wirów pokrywają
w sposób ciągły zakres rozciągający się od 10-6 [m] (skala procesów dysypatywnych
stanowiących jedną z istotnych cech turbulencji) do metrów (aplikacje techniczne) lub nawet
setek i tysięcy kilometrów (turbulencja geofizyczna). Przedmiotem modelowania turbulencji
jest zatem nieskończona liczba interakcji pomiędzy poszczególnymi skalami, których efektem
są procesy turbulentnego transportu masy, pędu czy wielkości skalarnych (energii, ciepła).
Interakcje te są zazwyczaj utoŜsamiane z wirową strukturą turbulencji, która przedstawiana
jest jako nieskończona kaskada wirów realizujących procesy transportu w sposób
charakterystyczny dla przepływu turbulentnego, co oznacza, Ŝe intensywność transportu masy,
pędu i energii jest o kilka rzędów wielkości większa niŜ w przepływie laminarnym.
Uwzględnienie w modelu złoŜonej struktury turbulencji przepływu jest zatem konieczne ze
względu na istotną intensyfikację wszystkich procesów transportu zachodzących
w przepływach turbulentnych, co z kolei stanowi podstawę aplikacji technicznych zjawiska
turbulencji.
2. ANALIZA STANU WIEDZY O KLASYCZNYM MODELOWANIU TURBULENCJI
Klasyczne modelowanie turbulencji oparte jest na koncepcji O. Reynoldsa [1], zgodnie
z którą kaŜda wielkość U opisująca
przepływ turbulentny moŜe być traktowana jako suma
___
wielkości uśrednionej w czasie U oraz składowej fluktuacyjnej u , która to wielkość jest
losową funkcją czasu i przestrzeni. Zastosowanie tej koncepcji do równań Naviera – Stokesa
42
A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK
(N-S) przekształca je do postaci znanej jako równanie Reynoldsa, które dla przepływu
nieściśliwego zapisane być moŜe w postaci:
 ∂U i
ρ 
 ∂t
+Uj
∂U i  ∂
(σ ij ) + Fi
=
∂x j  ∂x j
(1)
w którym U ; p; ρ ; oraz F oznaczają odpowiednio prędkość, ciśnienie, gęstość płynu i siłę
masową, natomiast tensor napręŜeń:
 ∂U
∂U j 
 − ρu i u j
σ ij = − p δ ij + νρ  i +
(2)
 ∂x j

∂
x
i


zawiera dodatkowy, niewystępujący w równaniu Naviera – Stokesa człon, nazywany tensorem
napręŜeń Reynoldsa:
(3)
(σ T )ij = − ρ u i u j
JeŜeli w równaniach (N-S) pojawia się dodatkowa wielkość, oznacza to, Ŝe układ równań (NS) staje się niezamknięty i problem jego domknięcia jest domeną modeli turbulencji
(nazywanych teŜ często hipotezami zamykającymi). Historycznie pierwszym modelem
turbulencji była propozycja zamknięcia układu równań (N-S) sformułowana w r. 1925 przez
L. Prandtla [2], znana dziś jako koncepcja „drogi mieszania”. Kilkadziesiąt lat intensywnych
badań doprowadziło do stworzenia dziesiątek róŜnych modeli, których klasyfikację pokazano
Rys.1. Klasyfikacja klasycznych modeli turbulencji (modele RANS)
na rys. 1. Najliczniejszą grupę stanowią wśród nich modele oparte na koncepcji Boussinesqa
[1], zakładającej istnienie tzw. lepkości wirowej νT, będącej analogią współczynnika lepkości
molekularnej płynu. Hipoteza Prandtla naleŜy do pierwszej grupy modeli „lepkościowych”,
nazywanej powszechnie klasą modeli zerorównaniowych (patrz rys.1)), które do zamknięcia
układu równań (N-S) nie wymagają wprowadzenia dodatkowych równań róŜniczkowych.
TURBULENCJA – OD LOSOWOŚCI DO DETERMINIZMU
43
Mimo iŜ od opublikowania propozycji Prandtla minął juŜ prawie wiek, to nadal modele tej
klasy są rozwijane, wystarczy tu wspomnieć opracowany w r. 1978 model Baldwina –
Lomaxa [3], który jest obecnie powszechnie stosowany w analizie aerodynamiki maszyn
przepływowych. Kolejna grupa modeli lepkościowych wykorzystuje do zamknięcia równań
(N-S) równanie transportu energii kinetycznej turbulencji „k”, pierwszy model tej klasy został
zaproponowany takŜe przez L. Prandtla [4] w r. 1945. Modele te reprezentują klasę modeli
jednorównaniowych (patrz rys.1), które dzięki włączeniu równania transportu energii
kinetycznej turbulencji uwzględniają specyfikę procesu przekazywania energii przez kaskadę
turbulentnych wirów. Prawdziwym przełomem w tej dziedzinie stało się jednak
opublikowanie w r. 1968 propozycji Harlowa i Nakayamy [5], która znana jest dziś jako
model „ k – ε”. W koncepcji tego modelu wykorzystano zamknięcie układu równań (N-S)
dwoma dodatkowymi równaniami róŜniczkowymi transportu, przy czym do znanego juŜ
wcześniej równania transportu „k” dodano równanie transportu szybkości dyssypacji energii
kinetycznej turbulencji „ε”, która to wielkość mogła być oszacowana z wykorzystaniem
hipotezy Kołmogorowa [1]:
ε=
k 3/ 2
l
(4)
w której powiązana jest makroskopowa struktura przepływu (wyraŜona poprzez skalę liniową
przepływu „l”) z dyssypacją, charakteryzującą najdrobniejsze skale wirowe. W krótkim
czasie powstały kolejne modele dwurównaniowe, spośród których największą popularność
zyskały hipotezy „ k – kl” oraz „ k – ω” autorstwa Rodi i Spaldinga [6,7]. Mimo wielu
spektakularnych nieraz sukcesów w zastosowaniach do modelowania przepływów
turbulentnych, uzyskanych z zastosowaniem modeli dwurównaniowych, powszechna była
takŜe świadomość ich ograniczeń. Istnieje bowiem wiele typów przepływów, dla których
modelowanie z uŜyciem dwurównaniowych hipotez zamykających nie daje zadowalająco
dokładnych rozwiązań, a przyczyny niepowodzeń upatrywano w nieodłącznym dla tych
modeli załoŜeniu o skalarnym charakterze lepkości wirowej. Dlatego teŜ juŜ na początku
„ery” modelowania turbulencji pojawiła się zupełnie odmienna koncepcja zamykania równań
(N-S) zaproponowana przez Hanjalica [8], która nie wykorzystuje pojęcia lepkości wirowej.
W koncepcji tej zakłada się zamykanie równań (N-S) układem równań transportu napręŜeń
Reynoldsa, których ideę przedstawia prawa gałąź modeli na rys.1, znanych jako modele
transportu napręŜeń Reynoldsa RSM (Reynolds Stress Models).
Obydwie te grupy modeli, tzn. modele lepkościowe i modele RSM, są podstawą
wszystkich pakietów numerycznych CFD (Computational Fluid Dynamics) uŜywanych
obecnie do modelowania przepływów, przy czym w wielu potocznych opiniach modelowanie
CFD jest utoŜsamiane z modelami typu RANS. Opinia ta jest w pewnym stopniu uzasadniona,
gdyŜ dojrzałość aplikacyjna i uniwersalność kodów CFD jest w duŜym stopniu zasługą modeli
turbulencji, które w okresie kilkudziesięciu lat zostały przetestowane i udoskonalone
w zastosowaniach do wielu typów przepływów turbulentnych. Dzięki tym badaniom
ograniczono arbitralność w doborze współczynników i skal modeli RANS, co w sposób
niewątpliwy zwiększyło ich uniwersalność, udoskonalono równieŜ zdolność modeli RANS do
opisu procesów transportu masy, pędu i energii realizowanych przez turbulencję przepływów.
Przykład dojrzałości aplikacyjnej modelowania RANS znaleźć moŜna na rys. 2,
przedstawiającym przeprowadzone w IMC PCz [11] porównanie wyników obliczeń rozkładu
ciśnienia na powierzchni łopatki turbinowej N3-60 z eksperymentem. Obliczenia wykonano
przy pomocy kodu unNEWTPUIM opracowanego w Cambridge University, w którym
44
A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK
zastosowano model typu URANS (Unsteady RANS – szczegóły implementacji numerycznej
kodu unNEWTPUIM znaleźć moŜna w [12]). ZauwaŜyć naleŜy doskonałą zgodność
rezultatów numerycznych z eksperymentem, uzyskaną w przepływie o złoŜonej strukturze
(zmienny gradient ciśnienia, lokalne oderwanie za krawędzią natarcia), co dowodzi
dojrzałości
Rys.2. Porównanie wyników obliczeń rozkładu ciśnienia na profilu N3-60 z zastosowaniem
modelu RANS z eksperymentem [11]
aplikacyjnej kodów CFD opartych na hipotezach zamykających RANS. Szczególnie waŜną
rolę w poprawie wiarygodności rozwiązań uzyskiwanych z pomocą metod CFD odegrały
dwie inicjatywy ERCOFTAC. Pierwszą z tych inicjatyw było opracowanie skodyfikowanych
reguł uŜytkowania kodów CFD oraz weryfikacji i walidacji uzyskiwanych rozwiązań, które
wydano jako ERCOFTAC Best Practise Guideliness for CFD (informacje o tej inicjatywie
znaleźć moŜna min. w [9]). Drugą inicjatywą było stworzenie Bazy Wiedzy CFD, która
powstała dzięki europejskiemu projektowi QNET – CFD, realizowanemu w latach 2000 –
2004 przez kilkadziesiąt zespołów badawczych z uczelni, ośrodków badawczych i przemysłu
[10]. Dzięki skoordynowanym wysiłkom uczestników projektu powstała powszechnie
dostępna Baza Wiedzy CFD [12], zawierająca opis doświadczeń zebranych przez
uŜytkowników CFD, zbiory danych testowych, przykładowe wyniki obliczeń oraz zbiory
zaleceń i procedur opracowane dla zastosowań CFD w modelowaniu przepływów
praktycznych (przemysłowych).
Mimo iŜ kody CFD oparte na modelach RANS są stosowane powszechnie do
modelowania najbardziej nawet złoŜonych aplikacji technicznych, to jednak ograniczenia tej
klasy metod są oczywiste od chwili ich stworzenia. Podstawowym ograniczeniem jest
datujące się od czasu Reynoldsa uśrednianie równań zamiast uśredniania realizacji procesu
losowego. MoŜna się spodziewać, Ŝe jest to przyczyna, dla której pomimo dziesiątków lat
badań nie stworzono uniwersalnego modelu turbulencji. Kolejnym ograniczeniem modeli
RANS jest fakt, Ŝe analiza stosowalności modeli turbulencji jest nadal niezbędna dla oceny
wiarygodności rozwiązań uzyskiwanych z pomocą kodów CFD, gdyŜ ograniczenia
opracowanych dotychczas modeli nie są znane „ a priori”. W rezultacie, odkrycia na miarę
modeli Baldwina – Lomaxa [3] czy Spalarta – Almarasa [14] są wydarzeniami wyjątkowymi
i ponadto stanowią rozwiązania odpowiednie tylko dla pewnych klas przepływów
turbulentnych. Z kolei najbardziej znaczące i uŜyteczne dla wielu typów przepływów nowe
propozycje modeli „k-ω SST” czy „SST-SAS” [15] opracowane przez F. Mentera są jednak
tylko modyfikacjami opracowanych wcześniej koncepcji. NaleŜy więc zgodzić się
z wyraŜoną juŜ pod koniec lat 70. [16] i powtórzoną pod koniec lat 90. [17] opinią Ferzigera,
TURBULENCJA – OD LOSOWOŚCI DO DETERMINIZMU
45
Ŝe niemoŜliwe jest stworzenie w pełni uniwersalnego modelu turbulencji i konieczne jest
zatem poszukiwanie innego niŜ modele RANS rozwiązania problemu turbulencji
przepływów.
3. PERSPEKTYWY DETERMINISTYCZNEGO OPISU TURBULENCJI
Pierwsze doniesienia, Ŝe moŜliwe jest uzyskanie poprawnego jakościowo opisu turbulencji
przepływu wprost z równań (N-S) bez stosowania uśredniania Reynoldsa pochodzą z lat 80.
[18], jednak dopiero w latach 90. uzyskano wystarczającą liczbę dowodów, Ŝe równania (NS) mogą w sposób wiarygodny odtwarzać strukturę turbulencji dla liczb Reynoldsa i Macha,
które są interesujące dla praktycznych, inŜynierskich zastosowań. Jak pokazał to M. Lesieur
[19], juŜ w latach 90. opublikowano poprawne nie tylko jakościowo lecz takŜe ilościowo
rozwiązania równań (N-S) dla bardzo duŜych liczb Macha (M ≈ 15), które uzyskano na
siatkach numerycznych o oczkach mniejszych niŜ mikroskala Kołmogorowa, lecz nadal
znacznie większych niŜ swobodna droga molekuł. Oznaczało to, Ŝe moŜliwe jest uzyskanie
poprawnego opisu turbulencji modelem ośrodka ciągłego, co w połączeniu z wynikami prac
Ruelle i Takensa [20] pozwalało M. Lesieurowi sformułować następujące stwierdzenie:
„„…rozwiązanie N-S dla 3D istnieje tylko dla skończonego czasu ale obecność lepkości
„wygładzać" będzie rozwiązanie na tyle silnie, aby zapobiegać pojawianiu się osobliwości
i bifurkacji do innego rozwiązania… "
PowyŜsze stwierdzenie potwierdza moŜliwość deterministycznego opisu turbulencji jako
zbioru kolejnych realizacji będących rozwiązaniami równań (N-S), nawet jeŜeli nieliniowe
oddziaływania między skalami ruchu turbulentnego prowadzą do bardzo złoŜonego
i nieprzewidywalnego zachowania rozwiązań. Okazało się zatem, Ŝe wbrew dotychczasowym
poglądom równania (N-S) poprawnie opisują strukturę turbulencji pod warunkiem, Ŝe
w rozwiązaniu numerycznym uzyskiwanym w dziedzinie czasu uwzględnione zostaną
wszystkie skale istotne dla dynamiki przepływu turbulentnego. Powstała w ten sposób nowa
klasa rozwiązań, znana jako DNS (Direct Numerical Simulation), traktuje turbulencję
w sposób deterministyczny, uzyskując rozwiązanie równań (N-S) w dziedzinie czasu na
bardzo gęstych siatkach, których oczka muszą być mniejsze niŜ najdrobniejsze skale
turbulencji (skale lepkie – mikroskale Kołmogorowa), przy czym poszczególne rozwiązania
są równowaŜne kolejnym realizacjom przepływu turbulentnego. W rozwiązaniu DNS unika
się zatem uśredniania równań, co zastąpione jest przez uśrednianie rozwiązań, pozwalające
uzyskać miary statystyczne charakteryzujące turbulencję przepływu. Kolejną zaletą metod
DNS jest moŜliwość prawidłowego odtworzenia w uzyskanym rozwiązaniu dynamiki
wszystkich skal liniowych i czasowych turbulencji, które w odróŜnieniu od metod RANS nie
są modelowane, lecz są wynikiem numerycznego rozwiązania.
To, co stanowi zaletę metod DNS, tzn. uwzględnianie w rozwiązaniu wszystkich skal
turbulencji, sprawia, Ŝe wymagają one jednak olbrzymich nakładów obliczeniowych. JeŜeli
największe skale turbulencji są rzędu „l” (patrz wz. 4), co określa wielkość domeny
obliczeniowej, to najdrobniejsze skale istotne dla prawidłowego odtworzenia dynamiki
turbulencji są rzędu mikroskali Kołmogorowa:
η=
ν3
ε
gdzie „ν” jest lepkością kinematyczną analizowanego płynu.
(5)
46
A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK
Turbulencja jest zawsze zjawiskiem 3D, zatem uwzględnienie zal. (4) i (5) prowadzi do
następującego oszacowania liczby węzłów siatki obliczeniowej, niezbędnej dla uzyskania
wiarygodnego rozwiązania DNS dla przepływu turbulentnego:
3
l
9/4
(6)
N DNS =   ≈ (Re Λ )
η


gdzie „ReΛ” jest turbulentną liczbą Reynoldsa opartą na makroskali turbulencji. Największe
obecnie wieloprocesorowe komputery umoŜliwiają symulację DNS dla przepływów
charakteryzujących się liczbą ReΛ rzędu 103 – 104, podczas gdy przepływy w skali
technicznej charakteryzują się liczbą Reynoldsa rzędu ReΛ ≈ 105 – 106, natomiast przepływy
geofizyczne to ReΛ ≈ 107 – 109. Wedle oszacowań zawartych w [19], co 6 lat następuje
podwajanie liczby węzłów siatki numerycznej w obliczeniach DNS w kaŜdym z kierunków,
co oznacza, Ŝe obliczenia DNS dla przepływów geofizycznych moŜliwe będą nie wcześniej
niŜ za 50 lat, pod warunkiem, Ŝe utrzymane zostanie obecnie obserwowane tempo przyrostu
mocy obliczeniowej komputerów.
4. PODSUMOWANIE - METODA LES
ANALIZY TURBULENCJI
JAKO
PERSPEKTYWICZNE
NARZĘDZIE
Przedstawiona powyŜej analiza wskazuje, Ŝe DNS jest niewątpliwie przyszłościowym
narzędziem opisu turbulencji przepływów, chociaŜ perspektywa zastosowań tej metody do
analizy przepływów w skali technicznej jest bardzo odległa. Dlatego teŜ w ostatnich latach
intensywnie rozwijane są metody LES (Large Eddy Simulation), stanowiące kompromis
między wymogami rozwiązania narzucanymi przez złoŜoną strukturę przepływu
turbulentnego i dostępnymi obecnie moŜliwościami obliczeniowymi. Metoda LES
opracowana w r. 1963 jako narzędzie do modelowania przepływów atmosferycznych [21], juŜ
na początku lat 70. została zastosowana do analizy struktury turbulencji w przepływie w
kanale [22]. Podstawową ideą metody LES jest separacja ciągłego widma energii
turbulentnych fluktuacji na część rozwiązywaną (numerycznie) i modelowaną (analitycznie).
Wymaga to zastosowania filtru G(x), który przekształca dowolną wielkość F(x)
charakteryzującą pole turbulencji przepływu na jej składową odfiltrowaną, która jest
wyznaczana w trakcie numerycznego rozwiązywania układu równań ruchu turbulentnego.
Procedura filtracji zapisana być moŜe jako operacja splotu, która dla prostego przypadku 1D
przybiera postać:
+∞
=
F (x) = G (x) ∗ F (x) = ∫ G ( x −ξ ) F (ξ )dξ
−∞
(7)
gdzie symbole (=) oraz (*) oznaczają odpowiednio operatory filtracji i splotu.Zastosowanie
powyŜszej procedury do równań (N-S) przekształca je do postaci:
 == == 
∂  U i ⋅U j 
∂U i
 = − 1 ∂P + ∂
+ 
∂t
∂x j
ρ ∂xi ∂x j
==
==
  ==


 ∂U i ∂U j 

+
− τ ij 
ν
∂xi 
  ∂x j


(8)
w której pojawia się nowa wielkość:
======
== ==
τ ij = U iU j − U i U j
(9)
TURBULENCJA – OD LOSOWOŚCI DO DETERMINIZMU
47
nazywana tensorem napręŜeń podsiatkowych, dla której naleŜy stworzyć odpowiedni model.
Rola tego modelu (nazywanego modelem podsiatkowym) jest bardzo istotna, gdyŜ, jak
wskazują to min. badania Vremana [23], w prawidłowo modelowanych napręŜeniach
podsiatkowych winno być zawarte ok. 20 % energii turbulentnych fluktuacji. Metoda LES
wykorzystuje jedną z waŜnych cech charakterystycznych turbulencji, modelując skale drobne
wykazujące izotropowość struktury wirów i rozwiązując numerycznie pola wirów duŜych,
których anizotropia nie pozwala znaleźć odpowiednich modeli. NajwaŜniejszą jednak zaletą
metody LES jest istotna redukcja nakładów obliczeniowych, która wg [24] oszacowana być
moŜe jako:
 0.4 
N LES =  1 4  N DNS
(10)
 Reτ 
co oznacza, Ŝe LES moŜe być realną perspektywą opisu turbulencji w zastosowaniach
inŜynierskich. NiemoŜliwe jest jednak podanie nawet pobieŜnej charakterystyki
współczesnego stanu badań w tej dziedzinie, gdyŜ nawet nowe monografie [25] stają się
nieaktualne po kilku zaledwie latach. Warto natomiast podkreślić, Ŝe zastosowania metody
LES do opisu zagadnień przemysłowych są obecnie jednym z priorytetów EU i COST, a prof.
A. Bogusławski jest zastępcą koordynatora akcji COST - AID [26].
Praca wykonana w ramach projektu COST /258/2006
LITERATURA
1. Elsner J.W.: Turbulencja przepływów. Warszawa: PWN, 1987.
2. Prandtl L.: Bericht uber Untersuchungen zur Ausgebildeten Turbulenz. Z. Angew. Math.
Mech. 1925, N0 5, S. 136-169 (cyt. za [19]).
3. Baldwin B.S., Lomax H.: Thin-layer approximation and algebraic model for separated
turbulent flows. AIAA 1978, paper 78-257.
4. Prandtl L.: Uber ein neues Formelsystem fur die Ausgebildeten Turbulenz. Nachr. Der
Akad. Wiss.1945, Goettingen ( cyt. za [1]).
5. Harlow F.H., Nakayama P.I.: Transport of turbulence energy decay rat.University of
California 1968, Rep. LA-3854.
6. Rodi W., Spalding D.B.: A two – parameter model of turbulence and its application to
free jets. ”Warme und Stoffubertragung” 1970, Vol. 3, p. 85
7. Spalding D.B.: The prediction of two – dimensional steady turbulent flows. Imperial
college 1969, Rep. EF/TN/A/16.
8. Hanjalic K.: Two – dimensional asymmetric turbulent flow in ducts. PhD Thesis, Univ. of
London 1970.
9. Hutton A.G.: The ERCOFTAC Best Practise Guideliness for Industrial CFD,
ERCOFTAC Bulletin, N0 70, Sept. 2006,p.52
10. QNET – CFD Network Newsletter, 2004, Vol.2, N0 2
11. Elsner W., Drobniak S.: Experimental and numerical simulation of flow around highly
loaded blade profiles applied in steam and gas turbines. “Archiwum Energetyki“ 2006, T.
XXXVI p.75-86.
12. Elsner W., Vilmin S., Drobniak S., Piotrowski W.: Experimental analysis and prediction
of wake-induced transition in turbomachinery. Proc. ASME TURBO EXPO 2004,
13. http://www.qnet-cfd.net
48
A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK
14. Spalart P.R., Almaras S.R.: A one-equation turbulence model for aerodynamic flows.
“Recherche Aerospatiale” 1994, N0 1, p.5-21.
15. Menter F.: Model deficiencies for reattaching flows. Mat. WALLTURB Workshop,
Viterbo, March 2007, http://ftp.univ-lille1.fr/stan/Wallturb_Viterbo_07.zip
16. Ferziger J.H.: Large eddy simulation of turbulent flow. AIAA J. 1977, Vol. 15, No 9,
17. Shah K.B., Ferziger J.H.: A fluid mechanicians view of wind engineering. Large Eddy
Simulation of Flow Past a Cubic Obstacle, 1997, J. of Wind Eng. and Ind. Aerodyn.,
Vol.61, 68,
18. Kim H., Moin P., Moser R.: Turbulence statistics in fully developed channel flow at low
Reynolds number. “J. Fluid Mech.” 1987, Vol. 177, p. 133-166.
19. Lesieur M.: Turbulence in fluid. “Fluid Mechanics and Its Applications” 1997, Vol. 40,
Kluwer Academic Publishers.
20. Ruelle D., Takens R.: On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys.1971, Vol.20 i 23,
p. 167-19, 343-344 (cyt. za Holmes P., Can Dynamical Systems Approach Turbulence,
1990, Whither Turbulence?, Turbulence at Crossroads, Lecture Notes In Physics, vol.
357, Springer).
21. Smagorinsky J.: General circulation experimentswith the primitive equations. ”Mon.
Weather Rev” 1963, Vol. 91, p. 99 – 164.
22. Deardorff J.W.: A numerical study of three dimensional turbulent channel flow at large
Reynolds number. “J.Fluid Mech.” 1970, Vol. 41,
23. Vreman B., Geurts B.: Kuerten H: Large eddy simulation of turbulent mixing layer.
1997, “J. Fluid Mech.” 1997, Vol. 339, p. 357 – 390.
24. Wilcox D.: Turbulence modelling for CFD. DW Industries Inc. 1993, La Canada,
California.
25. Geurts B.: Elements of direct and large-eddy simulation. R.T. Edwards 2004.
26. Boguslawski A.: Udział Instytutu Maszyn Cieplnych Politechniki Częstochowskiej w
międzynarodowej sieci w ramach Akcji COST P20 – LES-AID Large Eddy Simulation
for Advanced Industrial Design, 2006, Politechnika Częstochowska, Pismo Środowiska
Akademickiego, wyd. PCz
TURBULENCE – FROM RANDOM TO DETERMINISTIC APPROACH
Summary. The paper presents contemporary developments in numerical
modelling of turbulence with special reference to Large Eddy Simulation (LES)
methods. The limitations of conventional turbulence models based on stochastic
methodology have been discussed and reasons for development of deterministic
approach were outlined. It was shown that even the fastest available computers
restrict the possible DNS (Direct Numerical Simulation) solutions to small
Reynolds numbers. Finally the basic assumptions have been formulated for the
LES formalism, that seems to offer the possibility for industrial flow modelling.