Rozciąganie i inne rodzaje wytrzymałości

Mirosław Kwiatek
Rozciąganie i inne przypadki wytrzymałości
Wiadomości o wytrzymałośd są potrzebne przy konstruowaniu budowli i urządzeo.
Nie powinniśmy mówid, że jakieś ciało / materiał jest tak po prostu wytrzymałe; Powinniśmy uściślid:
wytrzymałe na co? Czyli: na jaki rodzaj tzw. obciążenia wytrzymałe? Np. szkło jest nie jest
wytrzymałe za bardzo na tzw. zginanie ale jest wytrzymałe na tzw. ściskanie.
Typowe przypadki obciążeo to:
- Rozciąganie (np. lina, łaocuch, szprycha w rowerze)
- Ściskanie (cegła, amortyzatory gumowe)
- Ścinanie (nit)
- Zginanie (półka na książki, resor, belki stropów , mostów, dźwigów)
- Skręcanie (wał napędowy samochodu)
- Inne np. wyboczenie (smukły słup), zmęczenie (koło kolejowe), kombinowane czyli złożone (zginanie
z rozciąganiem, skręcanie ze ścinaniem, zginanie ze ściskaniem; Już wymienione wśród głównych
obciążeo zginanie jest właściwie rozciąganiem ze ściskaniem).
Pod wpływem obciążenia ciało może się odkształcid sprężyście (niekoniecznie efekt musi byd
widoczny gołym okiem jak np. w sprężynie stalowej lub plastikowej) albo trwale.
Rozciąganie
Ciało rozciągane ulegnie zniszczeniu (rozerwaniu) jeśli stosunek siły P do pola poprzecznego przekroju
F jest większy od stablicowanego tzw. naprężenia dopuszczalnego na rozciąganie Rr. Czyli: ciało
będzie wytrzymałe na rozciąganie dopóki:
Pmax
F ≤ Rr
W obliczeniach inżynierskich zamiast N stosuje się jeszcze kG (siły) a zamiast metrów – milimetry
(albo cm); Jednostką Rr jest więc kG/mm2. Przykładowe wartości:
Stale 38 –47 -165
Dural 46
Drewno 7,5 – 13
Skóra 2 – 4
Niekiedy naprężenie dopuszczalne na rozciąganie oznacza się kr natomiast Rr nazywa się wtedy
wytrzymałością (doraźną ) na rozciąganie (kr < Rr).
Jeśli ciało nie ulegnie rozerwaniu to są dwie możliwości: albo się wydłuży trwale albo chwilowo (tzn.
w tym drugim przypadku, że odkształcenie jest sprężyste; Po ustaniu obciążenia ciało wróci do
poprzednich wymiarów i proporcji / kształtów). Istnieje tu, też brana z tablic, tzw. granica
plastyczności Qr. Przykładowe wartości:
Stale – 24 – 140
Dural - 30
Drewno –
Skóra – 0,7 – 2,1
Jeśli ciało wraca do poprzedniego stanu to też są 2 możliwości: wydłużenie mogło byd proporcjonalne
albo, dla większych wartości obciążenia, przekraczających tzw. granicę sprężystości – już
nieproporcjonalne; Granica sprężystości ma wartości ok. 20 % mniejsze od granicy plastyczności.
Poniżej granicy sprężystości (proporcjonalności) P można obliczyd czasowe wydłużenie z
następującego prawa Hooke’a:
ΔL 1 P
L0 = E * F
Albo po przekształceniu:
PL0
ΔL = EF
Lo = długośd początkowa
ΔL = przyrost długości
E jest następną stałą stablicowaną (materiałową) – tzw. modułem sprężystości Young’a (też
kG/mm2); Przykładowe wartości:
Stale – 20000 – 22000
Dural – 6500 – 8000
Drewno - 1200
Skóra – 7 – 35
Przykład 1
Drut stalowy (o module Young’a 22000 kG / mm2) o średnicy 3 mm i długości 5 m obciążono siłą 120
kG . Obliczyd o ile wydłuży się drut (Czy będzie napięty jeśli między jego koocem (obciążnikiem) a
podłożem jest zapas pół cm?)
Rozwiązanie
Podany został tylko wzór na rozciąganie poniżej granicy sprężystości a więc jest milczące założenie, że
nie jest ona przekroczona:
PL0
ΔL = EF
d2
F=πr2 = π 4
PL0 4
ΔL = E πd2
L0 = 5000 mm
4 PL0
4
120*5000 4*40*5 4*40*5
ΔL = πE d2 ≈ 3*22000
= 22*9 ≈ 20*10 = 4 mm
32
(3,9 dokładnie)
Sprawdźmy czy założenie o stosowalności prawa Hooke’a było słuszne; Obliczmy naprężenie:
P 4P 4*120 4*40 160
F = πd2 = 3*32 = 32 ≈ 10 = 16
16 < Qr = 24 oraz (24-16)/24 = 8/24 = 33% > 20%
Przykład 2
Obliczyd minimalną średnicę pręta, z którego powinny byd wykonane ogniwa (spawane) łaocucha aby
łaocuch ten mógł podnieśd ciężar 3 Ton. Przyjąd dopuszczalne naprężenie na rozciąganie 6 kG / mm2
(uwzględnione kilkakrotne zmniejszenie ze wzglądów bezpieczeostwa).
Pmax
F ≤ kr
Ale F = 2f gdzie f jest polem przekroju jednej z dwóch „części” ogniwa
d2
f = π4
Pmax 4
Z 3 powyższych równao mamy: 2 πd2 < kr
czyli
2Pmax
d2 ≥ πk oraz
r
d≥
2PMAX
πkR ≈
2*3000kG
= 333 ≈ 324 = 18 mm
3*6
Odp: Minimum 1,8 cm
(dokładnie 17,8)
Sciskanie (Ciśnięcie)
Pmax
F ≤ Rc
Rc – naprężenie dopuszczalne na ściskanie
Ścinanie (Obciążenie tnące)
Pmax
F ≤ Rt
Rt – (doraźna ) wytrzymałośd na ścinanie
F = powierzchnia ścinania, którą wyjaśni przykład (A)
Przykład A
Jaką siłą trzeba zadziaład aby w blasze stalowej o grubości g=1,2 mm oraz Rt = 38 kG / mm2 wybid
otwór o średnicy d=20 mm (jednocześnie na całym obwodzie)?
Rozwiązanie
Powierzchnia ścinania = powierzchni walca o wysokości (długości) g i średnicy d
F = 2πr*g = πdg = ≈ 3*20*1,2 ≈ 60*1 = 60 mm2
P ≥ Frt = 60*38 ≈ 60*40 = 2400 kG ≈ 2,5 T aż!
(dokładnie 75,5)
(dokładniej nawet więcej bo 2,87)
Przykład B
Dwa płaskowniki o grubości g=8 mm każdy należy złączyd dwoma identycznymi nitami znajdującymi
się na linii prostopadłej do (wzdłużnej) osi płaskowników . Obliczyd minimalną średnicę Nita żeby
połączenie wytrzymało (nity nie ścięły się) po sile rozrywającej P = 2800 kG i przy dopuszczalnym
naprężeniu na ścinanie kt = 9 kG / mm2
Rozwiązanie
Ponieważ tutaj siła (ścinająca) działa na poprzeczne przekroje nitów (tworząc z nimi jedną
płaszczyznę) tak jak działała (rozciągająca)siła na łaocuch (chociaż tam oczywiście siła była
prostopadła do tych przekrojów) to możemy skorzystad ze wzoru wyprowadzonego w zadaniu z
łaocuchem (zamieniając kr na kt)
2PMAX
πkt ≈
(dokładnie 14,1)
d≥
2*2800kG
=
3*9
102*2*28 10
32*3 = 3
56 10
3 ≈ 3
10
19 ≈ 3
16 = 13 mm
Ale otwory pod nity osłabiają przekrój każdego z płaskowników więc mogłoby się okazad w praktyce,
że nity wytrzymają ale płaskownik ulegnie zniszczeniu przy rozciąganiu! Dlatego rozszerzmy to
zadanie :
Obliczyd minimalną szerokośd s płaskowników. Założyd dopuszczalne naprężenie kr = 12 kG / mm2.
Pmax
F ≤ kr
F = sg – 2gd
Pmax
Z obu równao sg - 2gd ≤ kr
Pmax
Sg – 2gd ≥ k
r
Pmax
Sg ≥ k + 2gd
r
Pmax
2800
S ≥ k g + 2d = 12*8 + 2*14 (podstawiona dokładniejsza wartośd niż 13)
r
700
700
S ≥ 3*8 + 28 ≈ 25 + 28 = 7*4 + 28 = 56 mm
(Uwaga: dokładniej 57,4)
Zginanie (gięcie)
Wytrzymałośd zależy tu nie tylko od naprężenia zwanego tu zginającym (kg, Rg) ale też od kształtu
przekroju poprzecznego (i położenia siły w płaszczyźnie tego przekroju jeśli przekrój ten nie jest
kołowy). Poza tym zamiast siły będzie tu tzw. moment siły czyli iloczyn i prostopadłego ramienia jej
działania (ramię to odległośd siły od osi obrotu podczas zginania).
Kształt przekroju jest określony stablicowanym tzw. wskaźnikiem W przekroju na zginanie *mm3]. W
tablicach muszą byd tu rysunki kształtów i zorientowania tych kształtów względem siły.
Główny wzór dla zginania:
Mg
W ≤ kg
Zadanie
Jaką średnicę d musi mied kołowy pręt rękojeści imadła / lub np. klucza do śrub / o długości
L=44,5 cm wykonanego ze stali o dopuszczalnym naprężeniu na zginanie kg = 13 kG / mm2
jeśli ma się on nie giąd przy sile P = 40 kG (przyłożonej oczywiście do kooca )?
Mg
W ≤ kg
W=
πd3
32
Mg = PL
Czyli
32PL
πd3 ≤ kg
32PL
d3 ≥ πk
g
d≥
3 23*4*P*L
3 4*40*445
3 39*4*445
3
3
3
≈
2
≈
2
= 2 2*890 = 2 1780 ≈ 2 1728 = 2*12
πkg
3*13
39
d ≥ 24 mm (dokładniej 24,07!)
(Czyli musi byd średnica większa od ok. 1 cala)
Można zbadad jaką siłę moglibyśmy przyłożyd do klucza / imadła/ gdyby pręt o tej samej długości miał
przekrój kwadratowy o boku równym obliczonej dopiero co średnicy – np. 25 mm przy czym
działalibyśmy dłonią bezpośrednio na krawędź pręta (wierzchołek, naroże kwadratu przekroju
„obróconego” o 45 stopni). Uzyskalibyśmy wynik: 55 kG czyli więcej niż 40 kG dla przekroju
okrągłego.
Dla przekroju sześciokątnego (sześciokąt foremny) wygodniejszego dla dłoni (bardziej
ergonomicznego), skierowanego też krawędzią do (płaszczyzny) dłoni możnaby stosowad jeszcze
większą siłę – ok. 75 kG
Strzałki ugięcia
Największa (prostopadła) odległośd osi belki zgiętej sprężyście od jej pierwotnego, nieobciążonego
położenia nazywa się strzałką ugięcia. Mogą nas interesowad strzałki ugięcia na koocu belki, na
środku czy też gdziekolwiek na jej długości. Poza tym zamiast obciążenia tzw. skupionego (siły) może
też byd tzw. obciążenie ciągłe q [ Kg / mm] np. śnieg, piasek czy książki na półce. Uwzględniając
powyższe w odpowiednich tablicach są wzory ze szkicami. We wzorach występuje nowa tu – w
wytrzymałości, wielkośd I – tzw. moment bezwładności przekroju *mm4], którego nie należy mylid z
masowym momentem bezwładności *kg*m2]. (Występujący też we wzorach E to znany już moduł
sprężystości Younga).
Zadanie
Na belkę utwierdzoną jednostronnie działa obciążenie ciągłe. Belka ma kształt kwadratowy przy czym
obciążenie ciągłe działa na jedną z płaszczyzn belki a nie na krawędź. Obliczyd strzałkę ugięcia belki.
Dane
L =445 mm
b =h=25 mm
q = 0,17 kG / mm
E = 22 000 kG / mm2
Rozwiązanie
Oczywiście domyślnie szukana strzałka ugięcia wystąpi na koocu belki
h bh2 h
I=W =
2 6 2=
h4
= 12 =
254
= 12
1 qL4
f = 8 EI =
0,17*4454 12
= 8*22000 254 =
0,17*12 4454
0,16*3 4504 0,04*3
0,12
0,01
1
= 8*22000 254 ≈ 2*22000 254 = 11000 *184 ≈ 12000 *184 ≈ 1000 * 204 = 100000
1
*400*400 = 10 *16 = 1,6 mm
(dokładniej 1,16)
Skręcanie
Główny wzór:
Ms
Ws ≤ ks
Ws to stablicowany wskaźnik przekroju na skręcanie
Np. wskaźnik przekroju n skręcanie dla przekroju kołowego (czy pierścieniowego) wynosi
Ws = 2Wg
Ms to moment siły przy skręcaniu (siła tu nie przechodzi przez oś wałka; Przy zginaniu siła
przechodzi przez oś belki)
ks to stablicowane naprężenie dopuszczalne na skręcanie
2011-02-25