przyklad_stal_1

7.2 Przykład 7.1
Sprawdzić stany graniczne belki swobodnie podpartej,
zabezpieczonej przed zwichrzeniem, pokazanej na rys. 7.1.
Rys. 7.1
Belka wykonana jest z dwuteownika walcowanego IPE 270 ze stali
S235. ObciąŜenie ciągłe o wartości obliczeniowej qd=24,19 kN/m
powoduje powstanie momentów zginających o maksymalnej wartości
obliczeniowej Mmax,Ed=88,16 kNm w środku belki i sił poprzecznych
o maksymalnej wartości obliczeniowej Vmax,Ed=65,31 kN przy
podporach. Wartość charakterystyczna obciąŜenia ciągłego belki
wynosi qk=16,76 kN/m.
Na pasie górnym belki oparta
jest Ŝelbetowa płyta stropowa
uniemoŜliwiająca poprzeczne
przemieszczenia. Tak więc
belka jest zabezpieczona przed
zwichrzeniem.
Rys. 7.2
Analiza oparcia belki, rozkładu momentów zginających i rozkładu sił
poprzecznych pokazuje, Ŝe naleŜy sprawdzić:
• nośność przekroju w którym występuje maksymalny moment
zginający i odpowiadająca mu siła poprzeczna: jest to
przekrój w środku przęsła, siła poprzeczna jest równa zeru
• nośność przekroju w którym występuje maksymalna siła
poprzeczna i odpowiadający jej moment zginający: jest to
przekrój podporowy, moment zginający jest równa zeru
• stateczność miejscową w obszarze oparcia belek: interakcja
zginania, ścinania i obciąŜenia skupionego
• stan graniczny uŜytkowalności: ugięcia belki.
1
Odniesienie Odniesienie
w normie
w skrypcie
EC3
Charakterystyki geometryczne i materiałowe belki
Dwuteownik IPE270:
h = 270 mm
b = 135 mm
tw = 6.6 mm
tf = 10.2 mm
r = 15 mm
A = 45.95⋅102 mm2
Wel,y = 428,9⋅103 mm3
Wpl,y = 484,0⋅103 mm3
Iy = 5790⋅104 mm4
Własności stali S235:
E= 210000 N/mm2
G = 81000 N/mm2
fy = 235 N/mm2
Częściowe współczynniki bezpieczeństwa:
γM0 = 1,00
γM1 = 1,00
Sprawdzenie moŜliwości utraty stateczności miejscowej przekroju
belki spowodowanej oddziaływaniem momentu zginającego sprawdzenie klasy przekroju kształtownika IPE270
235
235
ε=
=
= 1,00
fy
235
Środnik poddany jest zginaniu:
c h − 2 ⋅ (r + t f ) 270 − 2 ⋅ (15,0 + 10,2)
=
=
= 33,3
t
tw
6,6
Wartości graniczne:
• klasa 1: 72ε = 72·1,00 = 72,0
Spełnione są więc wymogi klasy 1: c/t = 33,3 < 72ε =72,0
Pas (półka) poddany ściskaniu:
c (b − t w − 2 ⋅ r ) / 2 (135 − 6,6 − 2 ⋅ 15) / 2
=
=
= 4,82
t
tf
10,2
Wartości graniczne:
• klasa 1: 9ε = 9·1,00 = 9,00.
Spełnione są wymogi klasy 1: c/t = 4,82 < 9ε =9,00.
Cały przekrój spełnia więc warunki klasy 1.
p. 3.2.6
i tablica 3.1
[28]
p. 6.1 [28]
p. 5.5 [28]
tablica 5.2
arkusz 1
[28]
tablica 5.2
arkusz 2
[28]
Sprawdzenie moŜliwości utraty stateczności miejscowej przekroju
belki spowodowanej oddziaływaniem siły poprzecznej
Sprawdzenie warunku stateczności nieuŜebrowanego ścinanego
środnika przekroju dwuteowego naleŜy wykonać gdy:
hw
ε
> 72
tw
η
hw 270 − 2 ⋅ (10,2 + 15)
1,00
=
= 33,3 < 72 ⋅
= 72,0
tw
6,6
1,0
Stateczność środnika jest zapewniona.
Sprawdzenie nośności przekroju w którym występuje maksymalny
moment zginający Mmax,Ed=88,16 kNm (nośność na zginanie):
Siła poprzeczna w tym przekroju równa jest zeru.
2
p.4.2
przykład
4.1
p. 6.1
tablica 6.1
rozdział 5
[30]
wzór 6.22
[30]
p. 6.2.5
[28]
p.5.7
tablica 5.4
Nośność w przypadku przekrojów klasy 1 i 2
W pl ⋅ f y 484,0 ⋅ 10 3 ⋅ 235
M c , Rd = M pl , Rd =
=
=
γ M0
1,0
= 113700 ⋅10 3 Nmm = 113,7kNm
Warunek nośności przekroju przy obciąŜeniu momentem zginającym:
M y , Ed 88,16
=
= 0,775 < 1,0
M c , Rd 113,7
jest spełniony.
Sprawdzenie nośności przekroju w którym występuje maksymalna
siła poprzeczna Vmax,Ed=65,31 kN (nośność na ścinanie) :
Moment zginający w tym przekroju równy jest zeru.
Pole przekroju czynnego przy ścinaniu Av dwuteownika
walcowanego, ścinanego prostopadle do osi y-y:
Av = A - 2·b·tf +( tw +2r )·tf = 45.95⋅102-2·135·10,2+(6,6+2·15)·10,2
= 2214 mm2
lecz nie mniej niŜ η·hw·tw = 1,2·(270-2*10,2) 6,6 = 1977 mm2
(według normy [30] η=1,20)
Przy projektowaniu plastycznym przyjmuje się Vc,Rd = Vpl,Rd .
Obliczeniowa nośność plastyczna Vpl,Rd przy ścinaniu:
Av f y / 3
2214 ⋅ 235 / 3
V pl ,Rd =
=
= 300400 N = 300,4kN
γ M0
1,0
Warunek nośności przekroju przy obciąŜeniu siłą poprzeczną:
VEd
65,31
=
= 0,217 < 1,0 jest spełniony.
Vc , Rd 300,4
Sprawdzenie nośności belki nad podporą
(
)
(
)
p. 6.2.6
[28]
wzór 6.18
[28]
wzór 6.17
[28]
rozdział 6
[30]
Rys. 7.3 ( rys. 6.1 norma [30], typ (c)).
c=30 mm
Długość strefy docisku: ss = 70 mm
s +c
 ≤ 6
k F = 2 + 6  s
 hw 
hw = h-2·tf = 270-2*10,2 = 249,6 mm
 70 + 30 
kF = 2 + 6 
 = 4,40 < 6
 249,6 
wzór typ(c)
rys.6.1 [30]
wzór 6.5
[30]
t3
Fcr = 0,9 k F E w
hw
Fcr = 0,9 ⋅ 4,40 ⋅ 210000
m1 =
6,63
= 958000 N = 958kN
249,6
wzór 6.8
[30]
f yf b f
f ywt w
3
p. 5.8
tablica 5.5
p. 6.2
tablica 6.2
235 ⋅135
= 20,45
235 ⋅ 6,6
m2 = 0 gdyŜ obliczona poniŜej wartość λ F = 0,402 < 0.5
m1 =
k F E t w2
ℓe =
≤ ss + c
2 f yw hw
wzór 6.13
[30]
k F E t w2
4,40 ⋅ 210000 ⋅ 6,6 2
=
= 343,4mm
2 f yw hw
2 ⋅ 235 ⋅ 249,6
ℓ e = ≤ s s + c = 70 + 30 = 100mm
Warunek dodatkowy:
Stąd ℓ e = 100mm .
wzór 6.11
[30]
2
ℓ y1 = ℓ e + t f
m1  ℓ e 
+
+ m2
2  t f 
2
ℓ y1 = 100 + 10,2
20,45  100 
+
 + 0 = 205,2
2
 10,2 
wzór 6.12
[30]
ℓ y 2 = ℓ e + t f m1 + m2
ℓ y 2 = 100 + 10,2 20,45 + 0 = 146,1mm
ly = min(ly1; ly2; le) = 100mm
ℓ y t w f yw
λF =
Fcr
wzór 6.4
[30]
100 ⋅ 6,6 ⋅ 235
= 0,402
958000
0,5
χF =
≤ 1,0
λF =
wzór 6.3
[30]
λF
0,5
0,5
= 1.243
λ F 0,402
Warunek dodatkowy:
Stąd χ F = 1,0 .
=
χ F ≤ 1,0
Leff = χ F ℓ y
Leff = 1,0 ⋅100 = 100mm
Obliczeniowa nośność środnika ze względu na niestateczność pod
siłą skupioną:
f yw Leff t w
FRd =
γ M1
235 ⋅100 ⋅ 6,6
FRd =
= 155100 N = 155.1kN
1,0
4
wzór 6.2
[30]
wzór 6.1
[30]
Warunek nośności:
FEd
η2 =
≤ 1,0
f yw Leff t w
wzór 6.14
[30]
γ M1
65,31
= 0,421 < 1,0
155,1
Warunek nośności belki nad podporą jest spełniony.
Sprawdzenie stanu granicznego uŜytkowalności
Aby spełnić wymagania stanu granicznego uŜytkowalności naleŜy
sprawdzić ugięcie belki.
5 ⋅ q k ⋅ L4
5 ⋅16,76 ⋅ 5400 4
w=
=
= 15,3mm
384 ⋅ E ⋅ I y 384 ⋅ 210000 ⋅ 5790 ⋅10 4
Wartość graniczna ugięcia pionowego:
wmax = L/250 = 5400/250 = 21,6 mm
η2 =
Warunek ugięcia jest spełniony: w = 15,3mm < wmax = 21,6mm.
5
p. 2.4
tablica 2.2