Teoria Inflacji - E-SGH

Ekonometria
Modele VAR, przyczynowość Grangera
Dr Michał Gradzewicz
Katedra Ekonomii I
KAE
Klasyfikacja modeli ekonomicznych
W praktyce modelowania stosuje się wiele klas
modeli ekonomicznych:
– Modele czysto teoretyczne (np. model IS-LM,
model Walrasa, model duoplou)
– Stosowane modele teoretyczne, np. modele RBC,
DSGE, CGE, ich ścisłą podstawą są modele
teoretyczne, natomiast są one „zanurzone w
danych” w sensie kalibracji lub estymacji
parametrów – odporność na krytykę Lucasa
– Modele hybrydowe, często wykorzystywane w
praktyce modelowania, np. model NECMOD
stosowany przez NBP
– Stosowane modele empiryczne, np. modele SVAR –
Structural Vector Autoregression, czyli strukturalne
modele wektorowej autoregresji, w pewnym sensie
włączają one trochę teorii do czysto empirycznych
modeli VAR, są one bardzo często stosowane w
praktyce makromodelowania, czy modele VECM
– Modele czysto empiryczne, np. modele
autoregresyjne AR czy ich wersja wielorównaniowa
– VAR (Vector AutoRegression)
Teoria ekonomii
•
IS-LM
RBC
DSGE
hybrydowe
SVAR
VAR
statystyka i ekonometria
Problem endogeniczności w modelu jednorównaniowym
•
Endogeniczność w modelu ekonometrycznym powstaje, gdy dla pewnego 𝑗
𝐸 𝑋𝑗 𝜖 ≠ 0
•
Rozważmy przykładowo model (dobrym przykładem jest model cena-ilość):
𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡
w którym wiemy, że 𝑥𝑡 jest endogeniczne, czyli samo jest funkcją 𝑦𝑡 , przykładowo:
𝑥𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑦𝑡 + 𝜂𝑡 . Wtedy:
𝑎0 + 𝑎1 𝑏0
𝑎1
𝑏1
𝑦𝑡 =
+
𝜂𝑡 +
𝜖
1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1
1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡
𝑏0 + 𝑎0 𝑏1
1
𝑏1
𝑥𝑡 =
+
𝜂𝑡 +
𝜖
1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1
1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡
• Szacując model dla 𝑦𝑡 natrafiamy na problem endogeniczności, ponieważ 𝑥𝑡 jest
skorelowany z 𝜖𝑡 :
𝑏0 + 𝑎0 𝑏1
1
𝑏1
𝑏1
𝐸 𝑥𝑡 𝜖𝑡 = 𝐸
+
𝜂 +
𝜖 𝜖 =
𝑉𝑎𝑟(𝜖𝑡 )
1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 𝑡
1 − 𝑎1 𝑏1
•
•
Zatem w przypadku współzależności zmiennych natrafiamy na problem
endogeniczności, którego konsekwencją jest obciążenie otrzymanego estymatora
(nie są spełnione założenia twierdzenia Gaussa-Markowa)
Jednym z rozwiązań tego problemu jest zastosowanie estymatora IV (Instrumental
Variable Estimator) lub łączna estymacja obu równań – czyli estymacja
wielorównaniowa
Modele VAR (Vector Autoregression)
•
Jest to ważna klasa modeli wielorównaniowych, stosowanych w
makroekonometrii
– Pozwala łatwo zaadresować problem endogeniczności, w praktyce spotykany niemal
zawsze (przykładowo: inwestycje i produktywność, PKB i stopy procentowe, sprzedaż i
wydatki reklamowe)
•
•
•
Poznamy kilka aspektów tej ważnej klasy modeli
Rozważmy 2 zmienne 𝑦1𝑡 oraz 𝑦2𝑡 i ich łączny opis, bardzo przypominający prosty
model AR, w którym każda zmienna zależy od opóźnionej własnej wartości oraz od
opóźnionej wartości pozostałej zmiennej:
𝑦1𝑡 = 𝑏1 + 𝑎11 𝑦1𝑡−1 + 𝑎12 𝑦2𝑡−1 + 𝜖1𝑡
𝑦2𝑡 = 𝑏2 + 𝑎21 𝑦1𝑡−1 + 𝑎12 𝑦2𝑡−1 + 𝜖2𝑡
𝑦1𝑡
𝜖1𝑡
𝑎11 𝑎12
𝑏1
Oznaczając 𝑌𝑡 = 𝑦 , 𝑏 =
,𝐴 = 𝑎
oraz 𝜖𝑡 = 𝜖
układ ten
𝑏2
2𝑡
21 𝑎22
2𝑡
możemy zapisać jako:
𝑦1𝑡
𝜖1𝑡
𝑎11 𝑎12 𝑦1𝑡−1
𝑏1
=
+
+
𝑦2𝑡
𝑎21 𝑎22 𝑦2𝑡−1
𝜖2𝑡
𝑏2
Lub
𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴 ⋅ 𝑌𝑡−1 + 𝜖𝑡
Czyli w zasadzie jest to model autoregresyjny dla wielu zmiennych
Jak można łatwo zapisać model VAR z wieloma opóźnieniami?
•
•
•
Model VAR z jednym opóźnieniem zapisujemy jako VAR(1). VAR(2) wygląda
następująco:
𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴1 𝑌𝑡−1 + 𝐴2 𝑌𝑡−2 + 𝜖𝑡
Możemy cały ten układ zapisać jako:
𝑌𝑡
𝜖
𝐴 𝐴2 𝑌𝑡−1
𝑏
=
+ 1
+ 𝑡
𝑌𝑡−1
0
0
𝐼
0 𝑌𝑡−2
Czyli w zasadzie w postaci VAR(1) dla zmodyfikowanych zmiennych:
𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴𝑌𝑡−1 + 𝜖𝑡
Zatem każdy model VAR(p), czyli VAR rzędu 𝑝
𝑝
𝑌𝑡 = 𝑏 +
𝐴𝑖 𝑌𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡
𝑖=1
Można zapisać jako VAR(1), jak powyżej, co jest nazywane formą kanoniczną
Dygresja - operatory opóźnień i przyrosty
•
•
•
•
•
•
•
•
Niech operator 𝐿 będzie operatorem opóźnień, czyli opóźnia o jeden okres obiekt,
do którego został przyłożony
Zatem: 𝐿𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1
Zatem: 𝑥𝑡−2 = 𝐿𝑥𝑡−1 = 𝐿 𝐿𝑥𝑡 = 𝐿2 𝑥𝑡 a na przykład 𝐿0 𝑥𝑡 = 1 ⋅ 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡
Ogólnie: 𝐿𝑛 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−𝑛
Operator 𝐿 jest operatorem liniowym: 𝑎 + 𝑏𝐿𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑡−1
Zatem operator przyrostu Δ jest w zasadzie operatorem 1 − 𝐿, ponieważ
Δ𝑥𝑡 = 1 − 𝐿 𝑥𝑡 = 1 ⋅ 𝑥𝑡 − 𝐿𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1
Co to jest przyrost przyrostu? Δ2 𝑥𝑡 = Δ Δ𝑥𝑡 = Δ 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 −
𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−2 = 𝑥𝑡 − 2𝑥𝑡−1 + 𝑥𝑡−2 .
Z operatorem opóźnień można postępować jak ze zwykłym wielomianem, zatem:
Δ2 𝑥𝑡 = 1 − 𝐿 2 𝑥𝑡 = 1 − 2𝐿 + 𝐿2 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 − 2𝑥𝑡−1 + 𝑥𝑡−2
Dygresja - model AR w notacji z operatorem opóźnień
•
Znamy już model AR, np.:
𝑥𝑡 = 𝛽𝑥𝑡−1 + 𝜖𝑡
• W notacji z operatorem opóźnień można go zapisać jako:
𝑥𝑡 = 𝛽𝐿𝑥𝑡 + 𝜖𝑡
1 − 𝛽𝐿 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡
• Wiemy, że:
𝑥𝑡 = 𝛽𝑥𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 𝛽𝑥𝑡−2 + 𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 2 𝑥𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡
∞
= 𝛽 2 𝛽𝑥𝑡−3 + 𝜖𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 3 𝑥𝑡−3 + 𝛽 2 𝜖𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 =
𝛽𝑖 𝜖𝑡−𝑖
𝑖=0
𝜕𝑥𝑡
= 𝛽𝑖
•
Wyprowadzaliśmy z tego funkcje IRF, ponieważ: 𝜕𝜖
•
Można to samo, ale łatwiej pokazać na podstawie nowej notacji. Zauważywszy, że
1
1
dla a < 1 zachodzi 1−𝑎 = 1 + 𝑎 + 𝑎 2 + ⋯ można pokazać, że: 1−𝛽𝐿 = 1 + 𝛽𝐿 +
•
𝑡−𝑖
𝛽 2 𝐿2 + 𝛽 3 𝐿3 + ⋯ o ile 𝛽 < 1
Zatem:
1 − 𝛽𝐿 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡
𝑥𝑡 =
1
𝜖𝑡 = 1 + 𝛽𝐿 + 𝛽𝐿2 + ⋯ 𝑥𝑡
1 − 𝛽𝐿
𝑥𝑡 = 𝜖𝑡 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝛽 2 𝜖𝑡−2 + ⋯
Reprezentacja VMA i funkcja odpowiedzi na impuls
•
•
•
•
Operator opóźnień może działać również na wektory (opóźniając jednocześnie
wszystkie elementy wektora), zatem model VAR można zapisać w postaci:
𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴 ⋅ 𝐿𝑌𝑡 + 𝜖𝑡
Czyli:
𝐼 − 𝐴𝐿 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝜖𝑡
O ile 𝐴 < 1, czyli kiedy wszystkie wartości własne macierzy 𝐴 są mniejsze co do
modułu od 1 (często mówi się, że leżą w kole jednostkowym, bo zdarza się, że są
one liczbami zespolonymi), to istnieje 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 i jest ona dana 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 =
𝐼 + 𝐴𝐿 + 𝐴2 𝐿2 + ⋯ (taki model VAR nazywamy często stabilnym)
Zatem:
𝑌𝑡 = 𝐼 − 𝐴 −1 𝑏 + 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 𝜖𝑡
𝑌𝑡 = 𝐼 − 𝐴 −1 + 𝜖𝑡 + 𝐴𝜖𝑡−1 + 𝐴2 𝜖𝑡−2 + ⋯
Powyższa reprezentacja nazywana jest VMA (Vector Moving Average) i definiuje
ona funkcję odpowiedzi na impuls, czyli jak zmienne 𝑌 reagują wraz z upływem
czasu na wzrost 𝜖 o jednostkę w przeszłości:
𝜕𝑌𝑡+𝑖
𝐼𝑅𝐹 𝑌𝑡+𝑖 , 𝜖𝑡 =
= 𝐴𝑖
𝜕𝜖𝑡
Oczywiście o ile w przyszłości proces generujący nasze dane 𝑌𝑡 nie uległ zmianie
Zastosowania modeli VAR
•
Z modeli VAR można wyciągną sporo dodatkowych informacji:
– Funkcja odpowiedzi na impuls IRF
– Prognozowanie (bardzo łatwe, nie ma potrzeby dodawania informacji z zewnątrz próby)
– Dekompozycja wariancji, która informuje o tym, jak ważne są poszczególne szoki dla
różnych analizowanych zmiennych w różnych horyzontach czasu, np. w krótkim i długim
okresie (nie będziemy tego pokazywać)
– Jak by wyglądała przeszłość, gdyby pewne szoki się nie wydarzyły, np. gdyby nie było
szoków określonego typu
•
•
•
•
Do tych zastosowań zazwyczaj należy nadać interpretacje ekonomiczną dla
szoków, czyli „włożyć do czysto empirycznego modelu VAR” trochę ekonomii.
Nazywane jest to strukturalizacją modelu VAR i polega na jego identyfikacji. Tych
tematów również nie będziemy tu poruszać
Jednym z ważnych zastosowań modeli VAR jest testowanie przyczynowości
Wybór rzędu 𝑝 modelu VAR dokonujemy zazwyczaj na podstawie kryteriów
informacyjnych – wybierając model o najniższej wartości danego kryterium
Modele VAR, można jak każde modele wielorównaniowe estymować podwójną
MNK (tzw. 2MNK), ale udowodniono, że jeśli model jest stabilny, to można go
estymować równanie po równaniu zwykłą MNK, co daje zgodne estymatory
szukanych parametrów
Przyczynowość Granger’a
•
•
•
•
•
•
Zakłada ona, że przyczyna poprzedza skutek oraz, że przyczyna zawiera informację
o skutku, która jest unikalna i nie zawarta w innej zmiennej
Jest to specyficzna forma „przyczynowości”, ale w praktyce często
wykorzystywana
Formalnie: Proces stochastyczny 𝑦2𝑡 jest przyczyną w sensie Granger’a dla
procesu {𝑦1𝑡 } jeśli błąd średniokwadratowy liniowej predykcji 𝐸 𝑦1,𝑡+𝑠 𝑦1𝑡 ≠
𝐸 𝑦1,𝑡+𝑠 |𝑦1𝑡 , 𝑦2𝑡
Czyli dodanie zmiennej 𝑦2𝑡 do równania prognozującego 𝑦1𝑡 poprawia (zmniejsza)
błąd prognozy
Koncept przyczynowości w sensie Granger’a jest bardzo ciekawy, ale ekonomiści
tworzą modele, w których występują oczekiwania. Wtedy to przyszłe (oczekiwane)
wartości danej zmiennej (np. płac, czy innych elementów kosztów krańcowych) są
przyczyną dla bieżących wartości (np. cen i inflacji), czyli przyszłość wpływa na
teraźniejszość. Podobnie jest w przypadku wyceny giełdowej spółek czy indeksów
giełdowych.
Przyczynowość Granger’a można łatwo testować w ramach modelu VAR
Czy pieniądz rządzi światem?
•
•
•
Rozważmy monetarny model VAR (𝑦𝑡 - produkt, 𝑀𝑡 - pieniądz)
𝜖1𝑡
𝑎11 𝑎12 Δ log 𝑦𝑡−1
Δ log 𝑦𝑡
𝑏
= 1 + 𝑎
+
𝜖2𝑡
Δ log 𝑀𝑡
𝑏2
21 𝑎22 Δ log 𝑀𝑡−1
Przyczynowość w sensie Granger’a testuje się w zasadzie jako brak przyczynowości
(Granger non-casuality), czyli restrykcje zerowe (np. za pomocą testu Walda) na
poszczególne elementy macierzy 𝐴
Przykładowo jeśli pieniądz ma być przyczyną w sensie Granger’s dla produktu, to
należy pozytywne przetestować zestaw 2 hipotez:
– 𝑎12 ≠ 0 (pieniądz pomaga prognozować produkt)
– 𝑎21 = 0 (produkt nie pomaga prognozować pieniądza)
•
Jeśli z kolei produkt ma być przyczyną w sensie Granger’s dla pieniądza, to należy
pozytywne przetestować zestaw 2 hipotez:
– 𝑎21 ≠ 0 (produkt pomaga prognozować pieniądz)
– 𝑎12 = 0 (pieniądz nie pomaga prognozować produktu)
•
Jeśli jest inaczej, to test jest niekonkluzywny
•
Jeśli dobrym opisem danych jest VAR wyższego rzędu 𝑝, to należy w każdym kroku
testować łączną istotność wszystkich opóźnień