Lista zadań 4

Lista zadań 4
Sprawdź tautologiczność formuł zbudowanych zgodnie ze schematami L5 , L6, L17 w notacji
linearnej oraz notacji drzewowej. Udowodnij w systemie tabel semantycznych, Ŝe formuły
zbudowane zgodnie z poniŜej wypisanymi wzorami są tezami rachunku kwantyfikatorów w
tym systemie. Wybierz w niektórych przypadkach notację drzewową tabel semantycznych.
Tabele praw rachunku zdań
L1. (modus ponendo ponens)
(((A⇒B)∧ A) ⇒ B)
L2. (modus tollendo tollens)
(((A⇒B)∧ ¬B) ⇒ ¬A)
L3. (modus tollendo ponens)
(((A∨B)∧ ¬B) ⇒ A)
L4. (prawo transpozycji)
((A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A))
L5. (prawo redukcji do absurdu)
(((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B)) ⇒ ¬A)
L6. (prawo negacji implikacji)
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B))
L7. (prawo de Morgana dla koniunkcji)
(¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B))
L8. (prawo de Morgana dla alternatywy)
(¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B))
L9. (sylogizm hipotetyczny)
(((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C))
L10. (dylemat konstrukcyjny prosty)
((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ C)
L11. (dylemat konstrukcyjny złoŜony)
((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ D)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ (C∨ D))
Tablice praw rachunku kwantyfikatorów
L12. (prowo de Morgana dla kwantyfikatora generalnego)
(¬∀xA(x) ⇔ ∃x(¬A(x)))
L13. (prawo de Morgana dla kwantyfikatora egzystencjalnego)
(¬∃xA(x) ⇔ ∀x(¬A(x)))
(prawa de Morgana dla kwantyfikatorów o ograniczonym zasięgu)
∀(x|D(x)) A =df ∀x (D(x) ⇒ A),
∃(x|D(x)) A =df ∃x (D (x) ∧ A)
L14.
(¬∀(x|A(x))B(x) ⇔ ∃(x|A(x))(¬B(x)))
L15.
(¬∃(x|A(x))B(x) ⇔ ∀(x|A(x))(¬B(x)))
L16. (pierwsze prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację)
(∀x(A(x) ⇒ B(x)) ⇒ (∀xA(x) ⇒ ∀xB(x)))
L17. (drugie prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację)
(∀x(A(x) ⇒ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ⇒ ∃xB(x)))
L18. ( prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na koniunkcję)
(∀x(A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∀xA(x) ∧ ∀xB(x)))
L19. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na koniunkcję)
(∃x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)))
L20. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na koniunkcję)
(∃x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)))
L21. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na alternatywę)
(∃x(A(x) ∨ B(x)) ⇔ (∃xA(x) ∨ ∃xB(x)))
L22. ( prawo wyłączania kwantyfikatora egzystencjalnego przed alternatywę)
((∃xA(x) ∨ ∃xB(x))) ⇒ ∃x(A(x) ∨ B(x)))
L23. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do następnika implikacji)
(∀x(A ⇒ B(x)) ⇔ (A ⇒ ∀xB(x)))
L24. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do następnika implikacji)
(∃x(A ⇒ B(x)) ⇔ (A ⇒ ∃xB(x)))
L25. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do poprzednika implikacji)
(∀x(A(x) ⇒ B) ⇒ (∀xA(x) ⇒ B))
L26. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do poprzednika implikacji)
(∃x(A(x) ⇒ B) ⇒ (∃xA(x) ⇒ B))
L27. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do jednego ze składników
alternatywy)
(∀x(A ∨ B(x)) ⇔ (A ∨ ∀xB(x)))
L28. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do jednego ze składników
koniunkcji)
(∀x(A ∧ B(x)) ⇔ (A ∧ ∀xB(x)))
L29. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do jednego ze składników
alternatywy)
(∃x(A ∨ B(x)) ⇔ (A ∨ ∃xB(x)))
L30. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do jednego ze składników
koniunkcji)
(∃x(A ∧ B(x)) ⇔ (A ∧ ∃xB(x)))
L31. (prawo przestawiania kwantyfikatora generalnego)
(∀x∀yA(x,y) ⇔ ∀y∀xA(x,y))
L32. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego)
(∃x∃yA(x,y) ⇔ ∃y∀xA(x,y))
L33. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego z generalnym)
(∃x∀yA(x,y) ⇔ ∀y∃xA(x,y))