Podstawowe prawa logiki kwantyfikatorów 1. Prawo dictum de omini

Podstawowe prawa logiki kwantyfikatorów
1. Prawo dictum de omini :
^
P (x) ⇒ P (x) .
x
2. Prawo generalizacji egzystencjonalnej:
_
P (x) ⇒
P (x) .
x
3. Prawo subalternacji:
^
P (x) ⇒
^
P (x) ⇔
_
P (x) ⇔
x
_
P (x) .
^
P (y)
_
P (y) .
x
4. Prawa zamiany zmiennych związanych:
x
y
x
y
5. Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
^
_
∼
P (x) ⇔
∼ P (x)
∼
x
x
_
^
P (x) ⇔
x
∼ P (x) .
x
6. Prawa rozkładania kwantyfikatorów:
^
^
[P (x) ⇒ Q(x)] ⇒
x
_
_
[P (x) ⇒ Q(x)] ⇒
x
^
^
[P (x) ∧ Q(x)] ⇔
_
[P (x) ∧ Q(x)] ⇒
x
x
^
!
Q(x)
⇒
x
^
[P (x) ∨ Q(x)] ⇔
P (x) ∧
7. Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
^^
R(x, y) ⇔
__
R(x, y) ⇔
_^
R(x, y) ⇒
x
!
,
Q(x)
^
!
,
!
,
Q(x)
x
P (x) ∧
_
Q(x)
x
[P (x) ∨ Q(x)] ,
_
P (x) ⇒
x
x
_
x
x
x
,
Q(x)
x
x
P (x) ∨
^
P (x) ⇒
x
_
!
x
x
x
^
P (x) ⇒
x
^
y
R(x, y) ,
__
R(x, y) ,
^_
R(x, y) .
y
y
y
!
Q(x)
.
x
^^
y
y
_
x
x
x
System aksjomatyczny Q1 rachunku kwantyfikatorów
Terminy (pojęcia) pierwotne:
∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔,
_ ^
,
.
Aksjomaty: wszystkie tautologie rachunku zdań.
Reguły inferencji (wnioskowania):
1. Reguła odrywania:
F ⇒G, F
.
G
1
2. Reguła podstawiania dla zmiennych indywidualnych:
F (x) , x := y
.
F (y)
Za zmienną indywidualną x podstawiamy zmienną indywidualną y wszędzie tam gdzie x jest wolna i y po
podstawieniu nie jest związana.
3. Reguła opuszczania kwantyfikatora ogólnego w następniku:
V
F ⇒ G
x
.
F ⇒G
4. Reguła opuszczania kwantyfikatora szczegółowego w poprzedniku:
W
F ⇒G
x
.
F ⇒G
5. Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego w następniku:
F ⇒G
V .
F ⇒ G
x
Zmienna indywidualna x nie jest wolna w F .
6. Reguła dołączania kwantyfikatora szczegółowego w poprzedniku:
F ⇒G
W
.
F ⇒G
x
Zmienna indywidualna x nie jest wolna w G.
7. Reguła uogólniania:
F
V .
F
x
System aksjomatyczny Q2 rachunku kwantyfikatorów
Terminy (pojęcia) pierwotne:
∼, ⇒,
Aksjomaty:
1. F ⇒ (G ⇒ F );
2. (F ⇒ (G ⇒ H)) ⇒ ((F ⇒ G) ⇒ (F ⇒ H));
3. (∼ F ⇒∼ G) ⇒ (G ⇒ F );
4.
^
^
.
F ⇒ F (y) ,
x
gdzie podstawiamy y := x gdy zmienna indywidualna y nie jest związana w wynikowej formule F (y) tam,
gdzie zmienna indywidualna x jest wolna w F ;
5.
^
F ⇒
F ,
x
gdy zmienna indywidualna x nie jest wolna w F ;
6.
^
^
[F ⇒ G] ⇒
x
F ⇒
x
Reguły inferencji (wnioskowania):
1. Reguła odrywania:
F ⇒G, F
.
G
2. Reguła uogólniania:
F
V .
F
x
2
^
x
G
!
.