rozdzial3

3. Zjawisko wzmocnienia i nasycenia.
Rozkład mocy w przekroju poprzecznym (TEM)
3.1. Zjawisko wzmocnienia i nasycenia
W stanie równowagi termodynamicznej obsadzanie stanów energetycznych
opisane jest rozkładem Boltzmanna. Oznacza to, że dla każdej temperatury większość
cząsteczek przebywa w niższych stanach energetycznych tylko dla poziomów
rotacyjnych stwierdzenie to nie jest zawsze prawdziwe. Tak więc, przy jednakowym
prawdopodobieństwie przejść wymuszonych ze stanu o niższej energii do stanu o
wyższej energii (absorpcja) i ze stanu o wyższej energii do stanu o niższej energii
(emisja), całkowita liczba przejść z poziomów niższych na wyższe jest większa niż
liczba przejść odwrotnych, czyli układ pochłania energię promieniowania
∂ρω
< 0.
(3.1)
∂t
∂ρω
Aby padające promieniowanie zostało wzmocnione (czyli
> 0 ), musi nastąpić,
∂t
jak już powiedzieliśmy wcześniej, inwersja obsadzeń czyli
n2
n
> 1.
(3.2)
g2
g1
Z prawa Lamberta - Beera I = I 0 e −α l musiałoby więc wynikać, że współczynnik
absorpcji α jest ujemny. Oznacza to, że tradycyjne równanie Lamberta - Beera traci
tutaj sens, jest ono bowiem wyprowadzone dla α = const, czyli dla zakresu optyki
liniowej, gdy natężenie padającego promieniowania jest małe. Promieniowanie o
niewielkim natężeniu nie powoduje odchyleń od stanu równowagi termodynamicznej
dla obsadzania poziomów energetycznych przez cząsteczki. Gdy na układ pada
promieniowanie o dużym natężeniu, narusza ono panującą równowagę
termodynamiczną. Ilość pochłanianej energii zmniejsza się, a współczynnik absorpcji
maleje, coraz więcej bowiem cząsteczek zostaje przeniesionych na wyższy poziom
energetyczny. Gdy natężenie padającego promieniowania nadal rośnie, układ osiąga
stan nasycenia czyli
n1
n
= 2.
(3.3)
g1
g2
30
Oznacza to, że układ wybiela się, nie ma bowiem ani pochłaniania, ani emitowania
energii (α = 0). Przy dalszym wzroście natężenia padającego promieniowania układ
n
n
osiąga stan zwany inwersją obsadzeń, czyli 2 > 1 . Układ zaczyna emitować więcej
g2
g1
energii niż absorbować (α<0).
Rys. 3.1. Zależność współczynnika absorpcji od natężenia padającego promieniowania
w zakresie optyki nieliniowej
Oszacujmy, jak duże muszą być moce wiązki pompującej, aby został osiągnięty
stan nasycenia. Rozważmy układ dwupoziomowy m → n. Jak już powiedzieliśmy
wcześniej, w warunkach równowagi w układzie dwupoziomowym możemy osiągnąć
n
n 
jedynie stan nasycenia  1 = 2  , nie można zaś osiągnąć stanu inwersji obsadzeń.
g
g 2 
 1
Niech N0=Nn+Nm będzie liczbą cząsteczek w jednostce objętości, Nn i Nm są liczbami
cząsteczek na poziomie n i poziomie m. Zmiana obsadzania poziomu m w czasie
wynosi
dN m
N
(3.4)
= W (N n − N m ) − m ,
dt
τ
gdzie
W = Bmn ρω .
(3.5)
We wzorze (3.4) pierwszy człon charakteryzuje procesy absorpcji wymuszonej, zaś
człon drugi spontaniczne opróżnianie poziomu wyższego m w sposób promienisty lub
bezpromienisty z czasem życia na poziomie wzbudzonym τ. Wyraźmy Nm za pomocą
∆N=Nn-Nm, czyli
N 0 = N n + N m = (N n − N m ) + 2 N m = ∆N + 2 N m
i podstawmy do wzoru (3.4). Otrzymujemy:
1 d∆N
2 dt
= −W ∆N +
N0
2τ
−

1  N0
 +
= − ∆N W +
.
2τ
2τ 
2τ

∆N
(3.6)
(3.7)
 d∆N

= 0  . Z równania (3.7)
Załóżmy, że osiągnięty został stan stacjonarny 
 dt

otrzymujemy więc
31
1  N

− ∆N W +  + 0 = 0 ,
2τ  2τ

(3.8)
czyli
∆N =
N0
.
(3.9)
2Wτ + 1
Gdy wzrasta natężenie światła wywołującego przejścia, rośnie W, a maleje ∆N.
Prawdopodobieństwo W związane jest z gęstością promieniowania padającego zgodnie
ze wzorem (3.5). Można pokazać, że W wiąże się z natężeniem promieniowania I (czyli
2
strumieniem energii na powierzchnię 1 cm w czasie 1 s) następująco:
σI
W =
,
(3.10)
hν
gdzie σ jest przekrojem czynnym na absorpcję. Przekrój czynny σ jest związany ze
współczynnikiem absorpcji α zależnością α =σΝ, gdzie N jest liczbą cząsteczek w 1
cm3. Jednostką przekroju czynnego σ jest cm2, a typowe przekroje czynne mieszczą się
w zakresie 10-12 – 10-24 cm2 w zależności od zakresu widmowego. Dla obszaru
widzialnego są one rzędu 10-16 cm2. Podstawiając (3.10) do (3.9), otrzymujemy
N0
.
(3.11)
∆N =
σI
2
τ +1
hν
Oznaczając
hν
Is =
,
(3.12)
2στ
otrzymujemy
N0
.
(3.13)
∆N =
I
+1
Is
Wielkość Is nosi nazwę parametru nasycenia i jest ważnym parametrem pozwalającym
określić wartość natężenia wiązki pompującej I, przy której rozpoczyna się efekt
nasycenia, choć jest to oczywiście granica umowna. Gdy I=Is, ze wzoru (3.13)
1
3
1
otrzymujemy ∆N = N 0 , czyli N1 = N 0 , N 2 = N 0 . Oznacza to, że choć
2
4
4
inwersja obsadzeń jeszcze nie nastąpiła, to jednak znacząca część cząsteczek znajduje
się na poziomie wzbudzonym N2. Stan pełnego nasycenia osiągamy przy dalszym
wzroście wartości I, gdy bowiem I>>Is wówczas, ∆N→0 i N2=N1. Parametr nasycenia Is
ma prostą interpretację fizyczną, wzór (3.12) bowiem można przekształcić tak, aby
I sσ
1
=
.
(3.14)
2τ
hν
Iσ
1
Człon s oznacza średnią szybkość absorpcji na jednostkę energii,
zaś opisuje
hν
2τ
średnią szybkość relaksacji spontanicznej. Parametr nasycenia Is oznacza więc takie
32
natężenie padającego światła, przy którym szybkość pompowania układu (przejścia do
stanów o wyższej energii) zdołała się zrównać z szybkością opróżniania poziomu
wyższego (przejścia do stanu o niższej energii). Gdy to się stanie, stan nasycenia
zaczyna być dostrzegalny. Zakładając, że σ = 10-16 cm2, a szybkość relaksacji jest rzędu
τ = 10-6 s, otrzymamy natężenie nasycenia Is około 1 - 2 kW/cm2. Tak więc na przykład
typowy laser argonowy o niezbyt dużej mocy 4 W używany do pomiarów
spontanicznego rozpraszania Ramana wysyła wiązkę o natężeniu rzędu I = 4 W/(0,1
mm)2 = 0,4 kW/cm2. Natężenie to jest więc za małe, aby wywoływać inwersję obsadzeń
i pompować np. laser barwnikowy lub szafirowy, ale lasery argonowe o mocy 12 W
mogą już być użyte do takich celów. Warunek (3.14) określa parametr nasycenia dla
laserów pracujących w reżimie pracy ciągłej. Warunek nasycenia dla laserów
pracujących jako lasery impulsowe jest trochę inny, mianowicie
hν
,
(3.15)
I sτ imp =
2σ
gdzie τimp jest czasem trwania impulsu. Wynika to z faktu, że τimp jest dużo krótszy od τ
i dlatego czas charakteryzujący relaksację układu τ przestaje być istotny.
3.2. Rozkład mocy w przekroju poprzecznym
Do tej pory zakładaliśmy, że rezonator optyczny jest rezonatorem płaskim
(rys.3.2a). W rezonatorze płaskim powstaje fala płaska, tworząca z falą odbitą falę
stojącą. O rozkładzie natężenia wzdłuż osi rezonatora decyduje warunek generacji fali
stojącej
λ
= L,
(3.16)
2
gdzie q jest liczbą całkowitą. Aby powstała fala stojąca o długości λ, w rezonatorze
optycznym o długości L musi się zmieścić wielokrotność połówek długości fali.
Oznacza to, że dla różnych liczb całkowitych q powstają fale o różnej częstotliwości,
zwane modami podłużnym lub osiowymi charakteryzowane liczbą q (we wcześniejszych
oznaczeniach używano symbolu n, patrz wzór (2.1)). Trzeba zdawać sobie jednak
sprawę, że w rzeczywistości rozkład natężenia promieniowania wewnątrz rezonatora
jest bardziej skomplikowany. Przede wszystkim akcja laserowa rozpoczyna się w
dowolnym miejscu rezonatora (w środku lub w pobliżu lustra) i dociera do lustra jako
fala płaska lub fala kulista. Płaszczyzna zwierciadła staje się źródłem promieniowania i
wskutek dyfrakcji wiązka ulega poszerzeniu. Stabilność rezonatora zależy od jego
zdolności do utrzymania promieni świetlnych w jego wnętrzu po wielokrotnych
odbiciach od zwierciadeł. Budowa rezonatorów optycznych decyduje o sposobie
odbijania światła we wnęce.
Najczęściej spotykane rezonatory to: a) płaski, b) konfokalny
(współogniskowy), c) hemisferyczny, d) niestabilny (rys. 3.2). W rezonatorze płaskim i
konfokalnym akcja rozwija się głównie w obszarze przyosiowym. W rezonatorze
konfokalnym czoło fali kulistej jest dobrze dopasowane do kształtu zwierciadła, w
q
33
rezonatorze niestabilnym zaś akcja rozwija się w całym obszarze czynnym lasera.
Rezonator niestabilny nie ma więc zdolności do utrzymania promieni świetlnych we
wnętrzu przez dłuższy czas, ale pozwala na wysyłanie impulsu o gigantycznej mocy,
ponieważ akcja rozwija się w całym obszarze czynnym.
Rys.3.2. Typy rezonatorów: a) płaski, b) konfokalny, c) hemisferyczny, d) niestabilny
Dotychczas interesowaliśmy się rozkładem natężenia wzdłuż osi z. Należy
jednak pamiętać, że wiązka wychodząca z lasera jest rozbieżna (rys. 3.3) (choć
odchylenie kątowe jest zwykle niewielkie) i ma pewien rozkład natężenia wzdłuż osi x i
y, czyli w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Na rysunku 3.4
przedstawiono najbardziej typowe rozkłady natężeń światła w płaszczyźnie prostopadłej
do kierunku rozchodzenia się wiązki laserowej.
Rys. 3.3. Rozkład natężenia w kierunku poprzecznym
34
Rys. 3.4. Różne typy rozkładu natężeń w kierunku poprzecznym: a) TEM00, b)TEM10,
TEM01, c) TEM20, TEM02
Rozkład natężenia w płaszczyźnie xy prostopadłej do kierunku propagacji
wiązki jest różny dla różnego typu rezonatorów i wiele z takich rozkładów zostało
policzonych przez Li i Foxa (teoria rezonatorów optycznych Li i Foxa). Omówienie
teorii rezonatorów optycznych Li i Foxa znajdzie czytelnik w podręczniku F.
Kaczmarka, Wstęp do fizyki laserów, PWN, Warszawa 1986.
Uwzględnienie rozkładu natężeń w płaszczyźnie xy powoduje, że na mody
generowane w rezonatorze nałożone są inne warunki niż dla fali stojącej. Można
pokazać, że dla rezonatora konfokalnego (rys. 3.2b) rozkład natężeń określony jest
następującym warunkiem
4L
= 2q + ( m + n + 1) ,
(3.17)
λ
zamiast warunku, który obowiązywał dla modów podłużnych
4L
= 2q .
λ
(3.18)
Wielkości m i n przybierają wartości całkowite, q zaś oznacza, jak poprzednio, liczbę
połówek długości fali mieszczących się w długości rezonatora L.
Mody charakteryzowane za pomocą liczb m i n nazywa się modami
poprzecznymi i oznacza symbolem TEMmn (ang. transverse electromagnetic mode).
Mody określone za pomocą tych samych m i n, a różniące się q (czyli
częstotliwościami) są różnymi modami podłużnymi o tym samym rozkładzie w kierunku
poprzecznym. Mody poprzeczne o różnych wartościach indeksów m i n różnią się
rozkładem natężenia w przekroju poprzecznym. Tak więc dla modu TEM00 na ekranie
umieszczonym prostopadle do kierunku rozchodzenia się wiązki widzimy okrągłą
plamkę o malejącym natężeniu względem środka okręgu, dla modu TEM01 i TEM10
otrzymujemy na ekranie dwie plamki, dla modu TEM20 i TEM02 – cztery itd.
Na rysunku 3.5 przedstawiono rozkład natężenia pola elektrycznego S(x,y) w
płaszczyźnie xy dla rezonatora konfokalnego. Mod podstawowy TEM00 jest
symetryczny względem osi rezonatora i jego natężenie ma rozkład gaussowski. W
płaszczyźnie xy prostopadłej do kierunku propagacji wiązki obserwujemy w tym
wypadku okrągłą plamkę o natężeniu malejącym w kierunku zewnętrznym w sposób
opisany przez funkcję Gaussa. Dla wyższych modów otrzymujemy rozkład kilku
plamek i efekt ten jest najczęściej niepożądany. Ponieważ dla modów wyższych niż
TEM00 natężenie w punkcie przecięcia płaszczyzny xy z osią z wynosi zero, więc
najprostszym sposobem wydzielenia TEM00 i usunięcia wyższych modów jest
diafragmowanie wiązki laserowej.
Podsumujmy zagadnienia omawiane w tym rozdziale:
1) Parametrem, który charakteryzuje inwersję obsadzeń układu jest parametr nasycenia
hν
Is =
dla pracy w reżimie ciągłym,
(3.19)
2στ
hν
I sτ imp =
dla pracy w reżimie impulsowy.
(3.20)
2σ
35
2) W rezonatorze optycznym lasera wyróżnia się dwa typy modów: mody osiowe
(podłużne) i mody poprzeczne. Mody podłużne różnią się od siebie jedynie
wartościami częstotliwości. Różnym modom podłużnym odpowiadają te same
rozkłady pól w przekroju poprzecznym. Mody poprzeczne różnią się między sobą
nie tylko częstotliwością, ale również rozkładami pól w przekroju poprzecznym. Do
tego samego modu poprzecznego należy pewna liczba modów podłużnych, które
różnią się częstotliwościami, ale rozkład pola w płaszczyźnie poprzecznej jest dla
tych modów jednakowy.
Rys. 3.5. Rozkład amplitudy pola elektrycznego dla różnych modów poprzecznych
36