rozdzial2

2.
Całkowita
liczba
modów
podłużnych. Dobroć rezonatora. Związek między
szerokością linii emisji wymuszonej a dobrocią rezonatora
Gdy na ośrodek czynny, który nie znajduje się w rezonatorze optycznym, pada
promieniowanie monochromatyczne, wówczas wyemitowane światło jest zawsze
niemonochromatyczne i rozchodzi się we wszystkich kierunkach (rys. 2.1a). Linia
emisyjna (rys. 2.1b) jest szeroka i odpowiada emisji spontanicznej (fluorescencji). Gdy
jednak ten sam ośrodek czynny umieścimy w rezonatorze optycznym (rys. 2.1c) i
wzbudzimy go za pomocą promieniowania monochromatycznego bądź
niemonochromatycznego (np. z lampy błyskowej), wtedy wygenerowane światło ma
własności charakterystyczne dla emisji wymuszonej - jest silnie monochromatyczne,
zaś linia emisji wymuszonej jest wyraźnie węższa (rys. 2.1d) niż widmo odpowiadające
wzbudzeniu niemonochromatycznemu.
22
a)
b)
emisja spontaniczna
wzbudzenie
I
emisja
spontaniczna
wzbudzenie
monochromatyczne
λ0
λ
d)
c)
emisja
wymuszona
I
emisja
wymuszona
Z1
wzbudzenie
λ0
Z2
λ
Rys. 2.1. Schemat ilustrujący różnice między własnościami emisji spontanicznej
(fluorescencji) i emisji wymuszonej w rezonatorze optycznym
Wynika to, jak już wiemy, z faktu, że wzmocnieniu w rezonatorze ulegają tylko
te długości fal λ, które spełniają warunek fali stojącej:
n
λ
2
= L,
(2.1)
gdzie n jest liczbą całkowitą. Warunek (2.1) oznacza, że w rezonatorze optycznym o
długości L może powstać fala stojąca o długości λ, gdy mieści się w nim całkowita
wielokrotność połówek długości fali.
Zazwyczaj światło lasera nie jest całkowicie monochromatyczne, warunek (2.1)
bowiem jest spełniony dla różnych długości fali λ. Fala stojąca powstająca wzdłuż osi
rezonatora, charakteryzowana przez długości λ i liczbę całkowitą n nosi nazwę modu
podłużnego n. Dwa kolejne mody podłużne spełniają równania:
nλ n = 2 L , (n + 1)λ n +1 = 2 L ,
(2.2)
a więc ich częstości ν (ν = c/λ) różnią się o wielkość ∆ν:
( n + 1 )c
nc
c
∆ν = ν n +1 − ν n =
−
=
,
(2.3)
2L
2L
2L
która jest równa odwrotności czasu dwukrotnego przebiegu światła przez rezonator
optyczny. Całkowita liczba modów podłużnych zależy od szerokości linii emisji
spontanicznej oraz od zakresu widmowego. Rzeczywiście, załóżmy, że akcja laserowa
23
zachodzi na przejściu kwantowym a→b, któremu odpowiada linia emisji spontanicznej
o szerokości połówkowej δλ (rys. 2.2). Niech wartość progowa, przy której rozpoczyna
się akcja laserowa, odpowiada połowie natężenia linii fluorescencyjnej w maksimum
λ0.
Rys. 2.2. Schemat ilustrujący liczbę modów podłużnych
Oznacza to, że mody podłużne określone przez największą
liczbę całkowitą spełniają warunek:
n max i najmniejszą nmin
n max ( λ 0 − σλ ) = 2 L ,
(2.4)
n min ( λ 0 + σλ ) = 2 L .
Stąd całkowita liczba modów N mieszcząca się w szerokości linii emisji spontanicznej
wynosi


1
1

N = nmax − nmin = 2 L
−
 λ − δλ λ + δλ 
0

 0
(2.5)
2L
4 Lδλ
(λ0 + δλ ) − (λ0 − δλ ) ≅ 2 .
=
λ0
λ20 − δλ2
[
]
2
2
W równaniu (2.5) pominięto w mianowniku δλ2, gdyż λ0 >> δλ . Z równania (2.5)
wynika, że całkowita liczba modów podłużnych zależy od szerokości linii emisji
spontanicznej δλ, długości rezonatora L oraz zakresu widmowego (λ0). Im szersza linia
i im dłuższy rezonator, tym więcej modów podłużnych powstaje w rezonatorze.
Oznacza to, iż światło emitowane z lasera staje coraz bardziej niemonochromatyczne.
Wydawać by się mogło, że jest to efekt niekorzystny. Zobaczymy jednak później, że
24
duża liczba modów jest warunkiem generowania bardzo krótkich impulsów laserowych,
które oddają nieocenione usługi w spektroskopii rozdzielczej w czasie oraz w wielu
zastosowaniach praktycznych.
Dotychczas mówiliśmy o szerokości linii emisji spontanicznej (fluorescencji).
Zastanówmy się teraz, jakie czynniki powodują poszerzenie linii emisji wymuszonej.
Z rysunku 2.2 widać, że całkowita szerokość linii emisji wymuszonej zależy od liczby
modów podłużnych N, dla których zachodzi akcja laserowa (czyli takich, których
natężenie przekroczyło wartość progową). Ale pojedyncza linia modu ma również
pewną szerokość, która jest większa od szerokości wynikającej z zasady
nieoznaczoności. Co jest przyczyną poszerzenia pojedynczej linii emisji wymuszonej
∆las?
Zależy ona od trzech głównych czynników:
a) dobroci rezonatora Q, b) stopnia inwersji obsadzeń, c) mocy lasera pompującego P, i
opisana jest wzorem
∆ las =
2πhν 0 ∆ν rez
P






N2

,
g2 

 N 2 − N1

g1 

(2.6)
gdzie: ν0 jest częstością modu podłużnego, ∆ν rez = ν 0 / Q , N1 i N2 są liczbami
obsadzeń poziomów 1 i 2, g1 i g2 zaś są stopniami degeneracji poziomów 1 i 2,
pomiędzy którymi zachodzi akcja laserowa. Gdyby jednak z tego wzoru policzyć
szerokość linii emisji wymuszonej, to dla lasera rubinowego wynosiłaby ona zaledwie
1,3 ⋅ 10 −9 Hz . W rzeczywistości jest ona dużo większa, co wynika między innymi stąd,
że:
a) dobroć rezonatora Q jest zazwyczaj dużo mniejsza niż oszacowana
teoretycznie wartość na skutek strat energii promienistej spowodowanej
niedoskonałością ośrodka czynnego oraz dyfrakcji,
b) ogrzewanie ośrodka wskutek silnego pompowania optycznego powoduje
rozszerzanie materiału czynnego,
c) istnieją niestabilności mechaniczne rezonatora (drgania, rozszerzanie
rezonatora).
Najważniejszym czynnikiem wpływającym na poszerzenie pojedynczej linii
emisji wymuszonej jest dobroć rezonatora Q. Dobroć układu jest pojęciem często
używanym w elektronice oraz w fizyce do opisu układów drgających. Dobroć jest miarą
strat energii w układzie. Im mniejsze straty w układzie, tym większa dobroć.
Rozważmy przykład zaczerpnięty z fizyki drgań. Porównajmy oscylator
harmoniczny drgający z częstością kołową ω i oscylator tłumiony (rys. 2.3.) opisany
równaniem
m&x& = − kx − γx& ,
(2.7)
gdzie: x& i &x& są odpowiednio pierwszą i drugą pochodną po czasie współrzędnej x
charakteryzującej wychylenie oscylatora, m jest masą oscylatora, k stałą siłową, γ
współczynnikiem tłumienia.
25
Rys. 2.3. Wykres drgań oscylatora harmonicznego (a) i tłumionego (b)
Dobroć układu Q zdefiniowana jest następująco:
Q = 2π
energia zgromadzona w układzie
energia stracona w ciągu 1 okresu,
(2.8)
czyli
2
Q = 2π
A0
2
A0 − A0 e
− βT0 ,
(2.9)
gdzie A0 jest amplitudą drgań oscylatora harmonicznego.
Przedstawiony wyżej model można zastosować do opisu zjawisk zachodzących
w rezonatorze optycznym, w którym generowana jest określona ilość energii. Na skutek
dyfrakcji, odbić i innych niedoskonałości układu rezonator optyczny traci zgromadzoną
energię, a fala stojąca nie zachowuje stałej amplitudy lecz zanika w czasie.
Jaki jest związek między dobrocią rezonatora Q a szerokością pojedynczej linii emisji
wymuszonej ∆las? Intuicyjnie czujemy, że im wyższa dobroć rezonatora, tym mniejsza
26
szerokość linii emitowanej, czyli tym lepsza monochromatyczność wiązki. Spróbujmy
to udowodnić. Skorzystajmy z definicji dobroci rezonatora Q (2.9)
2
Q = 2π
A0
A02 − A02 e
=
− βT 0
2π
1−e
− T0 / τ .
(2.10)
We wzorze (2.10) skorzystaliśmy z faktu, że współczynnik tłumienia β i czas τ, po
upływie którego amplituda A0 oscylatora tłumionego zmniejsza się e razy (rys. 2.3),
związane są zależnością β τ = 1. Zakładając, że T0 << τ , możemy e
w szereg
−T / τ
e 0
= 1 − T0 / τ + ...
Podstawiając (2.11) do (2.10), otrzymujemy:
Q = 2π
τ
T0
= 2 πν 0τ = ω 0τ =
ω0
β
.
−T0 / τ
rozwinąć
(2.11)
(2.12)
Ze wzoru (2.12) wynika, że im większy współczynnik tłumienia β, tym mniejsza dobroć
rezonatora Q. Chcemy jednak wiedzieć, jaki jest związek dobroci Q z szerokością
widmową ∆las pojedynczego modu? Pokażemy, że ∆las jest wprost proporcjonalne do
współczynnika tłumienia rezonatora β, czyli odwrotnie proporcjonalne do dobroci
rezonatora Q
∆ las = 2πβ = 2π
ω0
Q
.
(2.13)
Opis zmian amplitudy oscylatora tłumionego w czasie, czyli opis w domenie
czasowej związany jest z opisem w domenie częstości, która przedstawia widmo
częstości oscylatora poprzez transformatę Fouriera. Z analizy matematycznej wiadomo,
że każdą funkcję zależną od czasu f(t) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera
f ( t ) = Σ f (ω )sin ω t
(2.14)
lub całki
f ( t ) = Re ∫ f (ω )e − i ω t d t ,
(2.15)
gdzie Re oznacza część rzeczywistą funkcji. Relacja (2.15) nosi nazwę transformaty
Fouriera. Relacja ta jest wykorzystywana na przykład w elektronice w teorii obwodów
rezonansowych oraz w spektroskopii molekularnej do opisu procesów relaksacyjnych.
Związek między domeną czasową i domeną częstości ilustruje rysunek. 2.4 dla
przypadku, gdy funkcja f(t) jest funkcją typu kosinus (jak w przypadku oscylatora
harmonicznego). Z rysunku 2.4 wynika, że funkcji zmieniającej się w czasie jak
kosinusoida odpowiada widmo częstości o profilu wąskiej igły, zwanej deltą Diraca.
27
Rys 2.4. Ilustracja domeny czasowej i domeny częstości
Delta Diraca δ(ω-ω0) jest zdefiniowana następująco:
δ(ω ) =
0
{∞
ω ≠ω 0
ω =ω0
(2.16)
∫ δ(ω − ω 0 ) ⋅ f (ω )dω = f (ω 0 )
Sprawdźmy, czy funkcje f(t) i f(ω) na rys. 2.4 są związane przez transformatę Fouriera.
Rzeczywiście, podstawiając f(ω)=δ(ω-ω0) do wzoru (2.15) i wykorzystując ostatnią z
właściwości funkcji delty Diraca we wzorze (2.16), otrzymujemy
Re ∫ σ (ω − ω 0 )e −iωt dt = Ree
− iω 0t
= cosω 0 t .
(2.17)
Zajmijmy się teraz oscylatorem tłumionym. Gdy zachowanie oscylatora tłumionego w
−t / τ
domenie czasowej opiszemy funkcją typu f (t ) = cosω 0 t ⋅ e
, wówczas można
pokazać, iż jej transformata Fouriera wyraża się wzorem:
sin [(ω − ω 0 )τ / 2]
f (ω ) =
(2.18)
[(ω − ω 0 )τ / 2] .
Funkcja opisana wzorem (2.18) jest funkcją typu dyfrakcyjnego, opisuje bowiem
zjawiska zachodzące podczas dyfrakcji światła i przedstawiono ją na rys. 2.5.
28
Rys. 2.5. Związek między domeną czasową i domeną częstości dla drgań tłumionych
Funkcja f(ω) opisana wzorem (2.18) ma maksimum dla x = (ω-ω0)τ/2 = 0, czyli
ω = ω 0 , bo lim sinx = lim (sinx)' = lim cosx = 1 .
x →0
x →0
x
x →0
x'
Szerokość linii pojedynczego modu ∆las (rys. 2.5) można oszacować przyjmując,
że jest ona równa odległości między pierwszymi minimami pobocznymi występującymi
dla ω1 i ω2. Pierwsze minima poboczne występują dla x = ±
π
2
=
ω1 − ω 0
2
, czyli
ω − ω0
⋅τ ; − π = 2
⋅τ .
2
2
π
2
(2.19)
Z równania (2.19) otrzymujemy
ω1 − ω 2 =
2π
τ
= 2πβ ,
czyli
∆ las = 2 πβ = 2 π
ω0
Q
.
(2.20)
(2.21)
Udowodniliśmy więc, że szerokość linii pojedynczego modu ∆las maleje wraz ze
wzrostem dobroci rezonatora optycznego.
Podsumowując, całkowita szerokość linii emisji wymuszonej jest superpozycją
szerokości pochodzących od pojedynczych modów podłużnych. Ich liczba zależy od


 N = 4 Lδλ 
szerokości linii emisji spontanicznej 
. Można dodać, że poszerzenie linii
λ20 

emisji spontanicznej zależy w ogólności od procesów relaksacyjnych T1 i T2 oraz od
poszerzenia niejednorodnego. Procesy relaksacyjne T1 charakteryzują czas powrotu do
29
równowagowego
obsadzania
poziomów
energetycznych,
zaburzonego
promieniowaniem, procesy T2 zaś opisują rozfazowanie częstości przejść kwantowych.
Procesy te opiszemy bardziej szczegółowo w rozdziale 7 i 8. Poszerzenie niejednorodne
pochodzi z niejednorodności wewnętrznej próbki. Dla laserów gazowych poszerzenie
niejednorodne wynika z efektu Dopplera. W laserach na ciele stałym niejednorodności
wewnątrz krystalicznego pola elektrycznego prowadzą do zróżnicowania wartości
starkowskiego przesunięcia częstotliwości centrów emisji znajdujących się w różnych
miejscach próbki krystalicznej. Ponadto, w rozdziale tym pokazaliśmy, że szerokość
linii emisji wymuszonej pojedynczego modu zależy od dobroci rezonatora Q, inwersji
obsadzeń, oraz mocy lasera.
30