Z051_paradoks - Uniwersytet Rolniczy w Krakowie

Paradoks Żukowskiego
„Na każde ciała zanurzone w cieczy działa siłą ......... „. Przytoczona definicja brzmi znajomo,
nic dziwnego skoro już w szkole podstawowej była prezentowana przy okazji nauczania o
wyporze. Wypór utożsamiamy ze składową pionową parcia a ponadto obydwie wielkości
liczymy korzystając z tego samego wzoru W = Py = γ Vb. Potrafimy nie tylko wskazać kierunek
działania tych sił ale także obliczyć ich wartość. Skoro tak to rozważmy rozkład sił działających
na płaszczyznę walca znajdującego się w bocznej ścianie zbiornika.
1. Zadanie
W
poziomej
ściance
zbiornika,
wypełnionego cieczą o ciężarze właściwym
γ, znajduje się prostokątny otwór, w który
wstawiono walec o średnicy D i tworzącej
równej L (Rys.1). Walec może obracać się
wokół centralnej osi O, leżącej na
głębokości H.
Udowodnić, że wypadkowy napór hydrostatyczny nie wywołuje momentu obrotowego
walca (paradoks Żukowskiego).
Rys. 1. Schemat obliczeniowy
2. Rozwiązanie
Wypadkowy napór hydrostatyczny (Parcie) nie będzie wywoływał momentu obrotowego,
gdy ramię działania parcia będzie wynosiło zero. Przypadek będzie miał miejsce wtedy, gdy
kierunek działania wypadkowej parcia będzie przechodził przez punkt O. W takim przypadku kąt
nachylenia wypadkowej parcia do poziomu α oraz kąt β wynikający z funkcji trygonometrycznej
powinny mieć taką samą wartość.
W celu oszacowania wartości naporu hydrostatycznego (parcia) określimy składowe siły Px i Py
oraz określimy współrzędne kierunków działania składowych parcia i punku przyłożenia
wypadkowej parcia. Obliczenia wykonamy na oznaczeniach, bez podstawiania wartości
liczbowych do wzoru.
Px = γ ⋅ hs ⋅ Ax
hs = H ,
Ax = D ⋅ L
Px = γ ⋅ H ⋅ D ⋅ L
kierunek działania wektora Px leży na głębokości:
L ⋅ D3
J
L ⋅ D3
12 ⋅ H 2 + D 2
hc = hs + ξ
=H+
=
→ hc = H + 12
hs Ax
H ⋅D⋅L
12 ⋅ H ⋅ D ⋅ L
12 ⋅ H
1. Składowa pozioma Px:
-
2. Składowa pionowa Py - w przyjętym układzie współrzędnych gdzie zwrot osi pionowej
skierowany jest w dół, składowa Py zwrócona jest przeciwnie:
Py = −γ ⋅ Vb = −γ ⋅ (V1 − V2 )
gdzie: V1- objętość zakreskowana linią poziomą, V2- zakreskowana. linią pionową.
π ⋅D 2
Vz = V1 − V2 = −
⋅L
8
π ⋅D 2
Py = −γ ⋅
⋅L
8
-
linia działania składowej Py przechodzi przez środek ciężkości objętości bryły parcia Vz
xc = −
2D
3π
Rys. 2. Schemat działania sił a) składowych parcia, b) wypadkowej parcia
3. Napór całkowity (wypadkowa parcia) P:
P = Px + Py
2
-
2
→

π ⋅ D2 
L 
P = (γ ⋅ H ⋅ D ⋅ L ) +  − γ ⋅
8


1
P = γ ⋅ L ⋅ D 64 ⋅ H 2 + π ⋅ D 2
8
2
2
kierunek działania wypadkowej parcia P tworzy z poziomem kąt α;
tgα =
Py
Px
−γ
π ⋅ D2
⋅L
π ⋅D
8
=−
tgα =
8⋅ H
γ ⋅H ⋅D⋅L
Z rysunku wynika zależność trygonometryczna
OK = hc − hs
CK = xc = −
2D
3π
12 ⋅ H 2 + D 2
D2
−H =
12 ⋅ H
12 ⋅ H
2D
CK = xc = −
3π
po podstawieniu powyższych zależności
otrzymamy
D2
D2 ⋅ 3 ⋅ π
D ⋅π
=−
tgβ = 12 ⋅ H = −
2⋅D
12 ⋅ H ⋅ 2 ⋅ D
8⋅ H
−
3⋅π
OK =
Rys. 3. Schemat działania sił składowych parcia
3. Dyskusja wyników
Z przeprowadzonej analizy wynika, że
tgα = tgβ
wobec tego kierunek działania wypadkowej
parcia przecina oś obrotu walca (punkt O).
W związku z tym, moment pochodzący od
naporu hydrostatycznego (liczony jako siła
razy ramię siły), względem osi obrotu, jest
równy zeru.
β
Px
α
P
Py
Rys. 4. Schemat działania sił składowych parcia
Literatura:
Burka E.S, Nałęcz T.J., 1994, Mechanika płynów w przykładach, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa,
Błażejewski R., 1991, 100 prostych ćwiczeń z wodą i powietrzem, Wyd. Nauk.-Techn., Warszawa
Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Uniwersytet Rolniczy w
Krakowie
[email protected]