Wtórne wzgl˛edem Systemu Drzew Semantycznych reguły

c Witold Marciszewski • LOGIKA 2004/05 • »Zestaw wybranych reguł wtórnych«
Wtórne wzgl˛edem Systemu Drzew Semantycznych reguły wnioskowania
ilustrowane przykładami
A. Lista reguł
Wybrane do tego zestawu reguły sa˛ szczególnie przydatne w myśleniu naukowym i w codziennym życiu,
wydatnie też upraszczaja˛ rozumowania. Żeby jednak mieć pewność ich niezawodności, trzeba jej dowieść
(stad
˛ określenie „wtórne”) z wcześniej przyj˛etych reguł; dogodne sa˛ do tego celu reguły Systemu Drzew
Semantycznych (SDS). Dowód metoda˛ SDS polega na tym, że (a) przyjmuje si˛e przesłanki (poprzedzajace
˛
skośna˛ kresk˛e) oraz negacj˛e wniosku (nast˛epujacego
˛
po kresce) jako założenia dowodu oraz (b) stosuje si˛e
do ich rozkładu (na formuły prostsze) odpowiednie reguły SDS.
• DO TEMATÓW EGZAMINACYJNYCH należa˛ nast˛epujace
˛ zadania: (1) dowieść każdej reguły z listy A
za pomoca˛ reguł TA; (2) zapisać rozumowania z odcinka B w j˛ezyku logiki predykatów; (3) poprawność
rozumowań z odcinka B wykazać dwiema metodami – za pomoca˛ reguł systemu TP i za pomoca˛ reguł
wtórnych z odcinka A (wg wzoru podanego w odcinku C).
1. Reguła Dołaczania
˛
Podwójnej Negacji:
A / ¬(¬A).
2a. Reguła Akceptacji Nast˛epnika czyli Reguła Odrywania (RO), zwana tradycyjnie modus
ponendo ponens, w postaci ogólnej:
A ⇒ B, A / B.
2b. RO z Konkretyzacja:
˛
∀x (A(x) ⇒ B(x), A(c) / B(c).
3a. Reguła Odrzucania Poprzednika (ROP), zwana tradycyjnie modus tollendo tollens.
A ⇒ B, ¬B / ¬A.
3b. ROP z Konkretyzacja:
˛
∀x (A(x) ⇒ B(x)), ¬B(c) / ¬A(c).
4a. Reguła Transpozycji, w postaci ogólnej:
A ⇒ B / ¬B ⇒ ¬A.
4b. Reguła Transpozycji, z kwantyfikatorami:
∀x (A(x) ⇒ B(x)) / ∀x (¬B(x) ⇒ ¬A(x)).
5a. Reguła Akceptacji Członu Alternatywy przez Negacj˛e Drugiego Członu, zwana tradycyjnie
modus tollendo ponens:
A ∨ B, ¬A / B;
A ∨ B, ¬B / A.
2
Kazusy logiczne do wybranych reguł wtórnych
5b. Reguła Negowania Członu Zaprzeczonej Koniunkcji z Jednym Członem Akceptowanym (modus
ponendo tollens).
¬(A ∧ B), A / ¬B.
6. Reguła Składania Zdań w Koniunkcj˛e, zwana też Reguła˛ Dołaczania
˛
Koniunkcji:
A, B / A ∧ B.
7. Reguła Tworzenia Alternatywy, zwana też Reguła˛ Dołaczania
˛
Alternatywy:
A / A ∨ B.
8a. Reguła Sylogizmu, ogólna:
A ⇒ B, B ⇒ C / A ⇒ C.
8b. Reguła Sylogizmu, z kwantyfikatorami:
∀x (A(x) ⇒ B(x)), ∀x (B(x) ⇒ C(x)) / ∀x (A(x) ⇒ C(x)).
9. Reguła Składania Implikacji w Równoważność:
A ⇒ B, B ⇒ A / A ⇔ B.
10. Reguła Kontrprzykładu:
A(c), ¬B(c) / ¬∀x (A(x) ⇒ B(x)).
Reguły oparte na prawach de Morgana dla kwantyfikatorów:
11. ¬∀x A(x) / ∃x ¬A(x);
12. ∃x ¬A(x) / ¬∀x A(x);
13. ¬∃x A(x) / ∀x ¬A(x);
14. ∀x ¬A(x) / ¬∃x A(x).
B. Przykłady ilustrujace
˛ powyższe reguły
Numer przykładu odpowiada numerowi reguły. We wszystkich poniższych przykładach przyjmuje si˛e za
dziedzin˛e indywiduów (czyli zakres zmiennych indywiduowych x, y etc.) zbiór podmiotów działania,
jakimi sa˛ osoby fizyczne lub grupy społeczne.
1. Byłeś po południu w pewnym pubie i zauważyłeś iluś gości. Jest to myśl majaca
˛ form˛e logiczna˛
∃x P (x). [P = „jest dziś w Pubie”.] Spotykasz koleżank˛e, która była tam wcześniej i nie zauważyła
nikogo, co opowiada zdaniem „Dziś nie ma w pubie gości”; ma ono form˛e ¬∃x P (x). Czy masz
podstawy, żeby odpowiedzieć jej zaprzeczeniem tego sadu?
˛
Znaczyłoby to stwierdzić:
¬(¬∃x P (x)).
Oczywiście, podstawa˛ jest Twoje spostrzeżenie ∃x P (x). Z niego masz prawo wywnioskować
powyższe podwójne zaprzeczenie.
Kazusy logiczne do wybranych reguł wtórnych
3
•
2b. Uważasz, że każdy. kto ma wizj˛e sukcesu swego zespołu nadaje si˛e na przywódc˛e.
˛
do
Inaczej mówiac,
˛ uważasz, że wizja zespołowego sukcesu jest warunkiem wystarczajacym
roli przywódcy. Zauważyłaś, że Jacek ma taka˛ wizj˛e. Stad
˛ wnosisz (skoro jest to warunek
wystarczajacy),
˛
że nadaje si˛e on na przywódc˛e.
•
3b. Uważasz, że (α) każdy. kto nadaje si˛e na przywódc˛e ma wizj˛e sukcesu kierowanego przez siebie
zespołu. Inaczej mówiac,
˛ uważasz, że posiadanie takiej wizji sukcesu jest warunkiem koniecznym
zdolności przywódczych. Sadzisz
˛
zarazem, że (β) gdy idzie o Jacka, to nie ma on takiej wizji, a
wi˛ec nie spełnia pewnego warunku koniecznego. Z wzi˛etych łacznie
˛
zdań α i β wnosisz, że Jackowi
brak jest zdolności przywódczych.
•
4. Ze zdania „każdy. kto ma wizj˛e sukcesu swego zespołu nadaje si˛e na przywódc˛e” wnioskujesz:
„Jeśli ktoś nie nadaje si˛e na przywódc˛e, to nie ma wizji sukcesu swego zespołu.”
•
5, 2b. Jest zasada˛ post˛epowania sadowego,
˛
że (α) Kto ma alibi [A], ten nie jest sprawca˛ [S].
Np. sprawca˛ włamania; termin „alibi” (łac. gdzieindziej) oznacza, ze podejrzany udowodnił swa˛
nieobecność na miejscu przest˛epstwa, a wi˛ec fizyczna˛ niemożność jego dokonania. Uwaga: obecny kazus
jest bardziej złożony od poprzednich; ilustruje on zastosowanie nie jednej lecz dwóch reguł.
Śledztwo doprowadziło do ustalenia dwóch podejrzanych, co w protokole odnotowano zdaniem:
(β) Sprawca˛ jest Babacki [b] lub sprawca˛ jest Cabacki [c]. Obrońca Babackiego wykazał, że (γ)
Babacki ma alibi. Na tej podstawie sad
˛ dochodzi do wniosku (δ): Sprawca˛ jest Cabacki.
•
8b. Każdy heretyk [H] jest nonkoformista˛ [N]. Żaden nonkoformista nie jest oportunista˛ [P]. Stad
˛
wniosek: Żaden heretyk nie jest oportunista.˛
•
10. Kopernik [k] był żakiem [Z]. Kopernik nie był hulaka˛ [H]. A wi˛ec: Nieprawda, że każdy żak
był hulaka.˛
•
11. Nie każdy jest przekupny, istnieja˛ wi˛ec tacy, co nie sa˛ przekupni.
•
12. Istnieja˛ tacy, co nie sa˛ przekupni, a wi˛ec nie każdy jest przekupny.
•
13. Nie ma mocnych, a wi˛ec nikt nie jest mocny.
•
14. Nikt nie jest mocny, a wi˛ec nie ma mocnych.
4
Kazusy logiczne do wybranych reguł wtórnych
C. Przykład operatywności reguł wtórnych
Z dwóch reguł wnioskowania ta jest bardziej operatywna, która prowadzi do wniosku przez mniejsza˛ liczb˛e
kroków i oszcz˛edza ewentualnych innych komplikacji (np. wielu rozgał˛ezień w rozumowaniu). Obecny
przykład pokazuje, jaka jest w tym wzgl˛edzie przewaga reguł wtórnych nad pierwotnymi składajacymi
˛
si˛e na system SDS. Nie znaczy to, że bez reguł SDS można si˛e obejść. Możemy nieraz zrezygnować
z ich stosowania, ale dopiero wtedy, gdy za ich pomoca˛ zostały udowodnione reguły wtórne. Co
ważniejsze, o regułach TN wykazano, że stanowia˛ one układ zupełny, to jest taki, że wystarcza on do
udowodnienia prawdziwości wszystkich tautologii (praw) logiki predykatów, czego si˛e nie da powiedzieć
o sporzadzonym
˛
tu pod katem
˛
praktyki zestawie reguł wtórnych. Ponadto, reguły TN pozwalaja˛ w
niezliczonych przypadkach (choć nie zawsze) rozpoznać formuły nie b˛edace
˛ prawami logiki.
Rozważmy kazus z odcinka B odnoszacy
˛ si˛e do reguł z pozycji oznaczonej jako „5, 2b”. Oto zapis
przesłanek w j˛ezyku logiki predykatów.
α) Ax (A(x) ⇒ ¬S(x))
β) S(b) ∨ S(c)
γ) A(b)
Wniosek δ, mianowicie S(c), otrzymuje si˛e w dwóch krokach.
1) ¬S(b) .... z α i γ, przez RO z konkretyzacja˛ (2b);
2) S(c) .... z β i 1, przez modus tollendo ponens (5).
A oto kroki prowadzace
˛ do tego samego wniosku w systemie SDS (wiersze nad kreska˛ zawieraja˛
założenia; po kropkach wskazuje si˛e numer formuły poddanej rozbiorowi).
1. Ax (A(x) ⇒ ¬S(x))
2. S(b) ∨ S(c)
3. A(b)
4. ¬S(c)
——————————————————5. A(b) ⇒ ¬S(b) .... 1
6.
S(b)
|
7. S(c)
|
====
8. ¬A(b) | 9. ¬S(b) .... 5
====
====
.... 2
Żeby dojść do tego samego wniosku, co w poprzednim rozumowaniu, trzeba tu wykonać sześć
kroków (wiersz 4 i po nim nast˛epujace),
˛
uwikłanych w dwa rozgał˛ezienia.
Powyższy przeglad
˛ reguł wtórnych ukazuje ważny rodzaj zastosowań logiki, jaki da si˛e uzyskać
na jej kursach elementarnych (jak niniejszy). Nie byłoby realistyczne wyobrażać sobie, że
każdy absolwent takiego kursu przez reszt˛e życia b˛edzie krytycznie kontrolował własne i cudze
rozumowania tym sposobem, żeby notować na kartce ich rekonstrukcje w logice predykatów i
sprawdzać poprawność za pomoca˛ reguł SDS. Jest natomiast możliwe dla każdego (poza szczególnie
opornymi) przećwiczyć proste reguły wtórne tak, żeby weszły one „w krew” i kierowały myśleniem
w sposób instynktowny. Środkiem zaś do tego jest ich przyswojenie przy pomocy reguł systemu
SDS. •