docObroty w zadaniach geometrycznych
download 
Reklamacja Transkrypt
Obroty w zadaniach geometrycznych
Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk [email protected] Wydzial Informatyki Politechnika Bialostocka Spotkania z matematyka, SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bialystok, 15 stycznia 2009 P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Plan wykladu P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Plan wykladu 1 Trochȩ teorii P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Plan wykladu 1 Trochȩ teorii 2 Zastosowania w zadaniach P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Plan wykladu 1 Trochȩ teorii 2 Zastosowania w zadaniach 3 Zadania do samodzielnego rozwiazania , P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Troche, teorii Skladanie symetrii osiowych α obrót o kat α wokól punktu O S`2 ◦ S`1 = OO , P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Trochȩ teorii OAα = S` ◦ S`A , OBβ = S`B ◦ S` . OBβ ◦ OAα = (S`B ◦ S` ) ◦ (S` ◦ S`A ) = S`B ◦ (S` ◦ S` ) ◦ S`A = S`B ◦ S`A OBβ ◦ OAα = OXα+β . P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Trochȩ teorii Podsumowanie. Jeżeli niezerowe katy α, β sa, takie, że α + β nie , jest calkowita, wielokrotnościa, 360◦ oraz A 6= B, to OBβ ◦ OAα jest (*) obrotem OXα+β , gdzie X jest wierzcholkiem trójkata XAB , takiego, że ∠XAB = α/2 i ∠XBA = −β/2; (**) w szczególności jeśli α + β = 180◦ , to OBβ ◦ OAα jest symetria, środkowa, wzgledem punktu X (wyznaczonego w analogiczny , jak wyżej sposób). P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadanie 1. Wewnatrz trójkata równobocznego ABC obrano punkt , , 2 2 2 P taki, że AP = a, BP = b, CP = c. Wiedzac, , że a + b = c wyznaczyć dlugość boku trójkata ABC . , Rozwiazanie , ◦ Rozważmy obrót OA60 oraz ◦ punkt P 0 = OA60 (P). Za◦ uważmy, że OA60 (B) = C . Tak ◦ wiec OA60 (BP) = CP 0 i w , szczególności CP 0 = b. Trójkat , APP 0 jest równoboczny, wiec , PP 0 = a. Z zalożeń wynika, iż ∠PP 0 C = 90◦ , czyli ∠AP 0 C = 150◦ . Stosujac twierdzenie , cosinusów do trójkata ACP 0 , uzyskujemy √ AC 2 = a2 +b 2 −2ab cos 150◦ = a2 +b 2 +ab 3. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadanie 2. Na plaszczyźnie dane sa, dwa trójkaty równoboczne , ABC i CDE (majace wspólny wierzcho lek C ) oraz punkty F i G , takie, że AD = AF , BE = BG i ∠DAF = ∠EBG (jako katy , skierowane). Wykazać, że trójkat CFG jest równoboczny. , Rozwiazanie , ◦ Rozważmy obrót OC60 . Za◦ uważmy, że OC60 (A) = B, ◦ OC60 (D) = E, czyli ◦ w OC60 (AD) = BE . Stad , szczególności AD = BE . Na postawie zalożeń (AD = AF , BE = BG oraz ∠DAF = ∠EBG ) trójkaty , AFD i BGE sa, przystajace. Tak , 60◦ wiec , OC ◦(4AFD) = 4BGE , czyli OC60 (F ) = G . Trójkat CFG jest zatem równoboczny. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadanie 3. [Twierdzenie Napoleona] Wykazać, że środki cieżkości trójkatów równobocznych , , zbudowanych na bokach dowolnego trójkata (na zewnatrz) sa, , , wierzcholkami trójkata równobocznego. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Rozwiazanie , Rozważmy zlożenie dwóch ◦ ◦ obrotów OR120 ◦ OP120 . Wiemy, ◦ ◦ ◦ że OR120 ◦ OP120 = OX240 , gdzie X jest takim punktem, że ∠XPR = 60◦ oraz ∠XRP = −60◦ . Wtedy trójkat , PXR jest równoboczny. Mamy ◦ ◦ ◦ OX240 (B) = OR120 OP120 (B) = ◦ OR120 (A) = C . Stad , X jest środkiem cieżkości , trójkata równobocznego zbu, dowanego na boku BC , a wiec , X = Q. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadanie 4. Boki BC i AC trójkata ABC sa, jednocześnie bokami , kwadratów BKLC i CMNA (leżacych na zewnatrz trójkata ABC ). , , , Punkty Q i S sa, odpowiednio środkami odcinków AB i LM, zaś P i R środkami kwadratów CMNA i BKLC . Wykazać, że czworokat , PQRS jest kwadratem. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych ◦ ◦ S = OP90 ◦ OR90 jest symetria, środkowa, wzgledem punktu X , takiego, że ∠XRP = 45◦ , ∠XPR = −45◦ . Z drugiej strony ◦ ◦ S(L) = OP90 OR90 (L) ◦ = OP90 (C ) = M. Tak wiec środek X symetrii , S pokrywa sie, ze środkiem S odcinka LM. W szczególności PRS jest równoramiennym trójkatem prostokatnym. , , P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadanie 5. Punkty K , L, M sa, środkami kwadratów zbudowanych zewnetrznie na bokach AB, BC , CA trójkata ABC . Wykazać, że , , (a) odcinki KM i AL sa, prostopadle, (b) środki odcinków AB, AL, AC i MK sa, wierzcholkami kwadratu. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych (a) Na podstawie zadania 4 stwierdzamy, że MNL jest prostokatnym trójkatem , , równoramiennym, przy czym ∠LNM = 90◦ . Za◦ 90 uważmy, że ON (A) = K 90◦ (L) = M. oraz ON Tak ◦ 90 wiec ON (AL) = KM. W , szczególności odcinki AL i KM sa, prostopadle. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych ◦ ◦ 90 ◦ O 90 jest symetria (b) ON P , środkowa, SX . Ponieważ 90◦ ◦ O 90◦ (M) = K , wiec ON P , środek X tej symetrii pokrywa sie, ze środkiem R odcinka KM. Ponadto PRN jest prostokatnym trójkatem , , równoramiennym. Z zadania 4 wynika, że ∠KPL = 90◦ oraz PK = PL. Tak wiec , ◦ 90◦ (A) = L. OP90 ◦ ON Stad , ◦ 90◦ OP90 ◦ ON jest symetria, środkowa, wzgledem środka , O odcinka AL oraz tak jak poprzednio NOP jest prostokatnym trójkatem , , równoramiennym. Ostatecznie czworokat NOPR jest , kwadratem. P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych Zadania do samodzielnego rozwiazania , Zadanie 1. Dany jest trójkat ABC . Rozważamy , ostrokatny , wszystkie takie trójkaty równoboczne XYZ , że punkty A, B, C sa, , punktami wewnetrznymi odcinków YZ , ZX , XY . Dowieść, że , środki cieżkości wszystkich rozważanych trójkatów leża, na jednym , , okregu. , Zadanie 2. Punkty A i B poruszaja, sie, z jednakowymi i stalymi predkościami katowymi po okregach O1 i O2 odpowiednio , , , (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Wykazać, że wierzcholek C trójkata równobocznego ABC także porusza po pewnym okregu. , , P. Grzeszczuk Obroty w zadaniach geometrycznych
