Analiza funkcjonalna

KARTA KURSU
Nazwa
Analiza funkcjonalna
Nazwa w j. ang.
Functional Analysis
Punktacja ECTS*
Kod
7
Zespół dydaktyczny
Koordynator
prof. dr hab. Marek Ptak
dr hab. prof. UP Jacek Chmieliński
dr Janusz Krzyszkowski
Opis kursu (cele kształcenia)
Poznanie podstawowych struktur liniowo-topologicznych, w tym przestrzeni Banacha i Hilberta.
Zaznajomienie z podstawowymi własnościami tych przestrzeni oraz własnościami operatorów na nich
określonych. Wyrobienie umiejętności rozumienia i posługiwania się językiem oraz metodami analizy
funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach; doboru przestrzeni i
operatorów odpowiednich do rozpatrywanych zagadnień.
Warunki wstępne
Wiedza
Umiejętności
Kursy
Podstawowe wiadomości z zakresu algebry liniowej (liniowa niezaleŜność wektorów,
baza, wymiar przestrzeni, odwzorowania liniowe, macierze i wyznaczniki); topologii
(podstawowe pojęcia topologiczne, własności przestrzeni topologicznych,
odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy); analizy matematycznej (granica, ciągi i
szeregi, całka Lebesgue'a).
Rozpoznawanie podstawowych struktur algebraicznych i topologicznych. Stosowanie
podstawowych metod z zakresu analizy matematycznej, topologii i algebry liniowej.
Analiza matematyczna 1 i 2, Topologia.
1
Efekty kształcenia
Efekt kształcenia dla kursu
Wiedza
W01 Poznanie i pogłębienie wiedzy o podstawowych
K_W01
strukturach liniowo-topologicznych oraz przekształceniach
na tych przestrzeniach.
K_W02, K_W03
W02 Poznanie najwaŜniejszych twierdzeń z zakresu
analizy funkcjonalnej wraz z ich dowodami lub szkicami
dowodów oraz historią rozwoju tych pojęć i stawianymi
hipotezami.
Efekt kształcenia dla kursu
Umiejętności
U01 Student potrafi przedstawić najwaŜniejsze definicje i
twierdzenia wraz z ich dowodami oraz ilustrować je
odpowiednimi przykładami i kontrprzykładami.
U02 Potrafi dostrzec związki między wybranymi
pojęciami i twierdzeniami analizy funkcjonalnej, a
klasycznymi pojęciami i twierdzeniami z analizy
matematycznej, topologii i algebry liniowej.
U03 Posiada umiejętność rozpoznawania struktur
liniowo-topologicznych, w szczególności przestrzeni
Banacha i Hilberta, oraz zna ich własności.
U04 Potrafi wykorzystać podstawowe własności
topologiczne zbiorów i przekształceń oraz metody
algebry liniowej w rozwiązywaniu zadań praktycznych.
Efekt kształcenia dla kursu
Kompetencje
społeczne
Odniesienie do efektów
kierunkowych
K01 Student uzyskuje świadomość ograniczeń własnej
wiedzy i konieczności jej uzupełniania, w szczególności
poprzez szukanie rozwiązań stawianych problemów w
literaturze oraz w trakcie ćwiczeń i konsultacji.
K02 Potrafi zadawać pytania pomagające w uzupełnieniu
brakujących lub wątpliwych fragmentów rozumowań.
K03 Potrafi współpracować z kolegami w zakresie
opracowywania rozwiązań stawianych problemów.
Odniesienie do efektów
kierunkowych
K_U01
K_U04
K_U08, K_U09
K_U08, K_U10
Odniesienie do efektów
kierunkowych
K_K01
K_K02
K_K03
2
Organizacja
Forma zajęć
Ćwiczenia w grupach
Wykład
(W)
Liczba godzin
A
26
K
L
S
P
E
39
Opis metod prowadzenia zajęć
Wykład częściowo z wykorzystaniem środków multimedialnych, wspomagany e-learningowo.
Ćwiczenia z zadaniami rozwiązywanymi na tablicy, w części zadawanymi wcześniej jako prace
domowe. Konsultacje. Konsultacje poprzez platformę e-learningową.
Formy sprawdzania efektów kształcenia
E
–
le
ar
ni
ng
W01
W02
U01
U02
U03
U04
K01
K02
K03
Gr
y
dy
da
kt
yc
zn
e
Ć
wi
cz
en
ia
w
sz
ko
le
Z
aj
ęc
ia
te
re
no
w
e
Pr
ac
a
la
bo
ra
to
ryj
na
Pr
oj
ek
t
in
dy
wi
du
al
ny
Pr
oj
ek
t
gr
up
o
w
y
U
dz
iał
w
dy
sk
us
ji
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
e
f
e
r
a
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E
gz
a
mi
n
pi
se
m
ny
E
gz
a
mi
n
us
tn
y
Pra
ca
pis
em
na
(es
ej)
x
x
x
x
x
x
In
ne
x
x
x
x
x
x
Zaliczenie ćwiczeń w oparciu o aktywne uczestnictwo w zajęciach, w tym
oceny z prac pisemnych.
Kryteria oceny
Ocena końcowa uwzględniająca wynik zaliczenia ćwiczeń, wynik egzaminu
pisemnego oraz wynik egzaminu ustnego.
3
Uwagi
Spełnienie opisanych wyŜej efektów kształcenia stanowi podstawę do
uzyskania oceny dostatecznej. Na ocenę dobrą (bardzo dobrą) student
powinien wykazać się znajomością nie tylko najwaŜniejszych twierdzeń ale
większości (wszystkich) przedstawionych na kursie wraz z większością
(wszystkimi) dowodów.
Treści merytoryczne (wykaz tematów)
1. Przestrzenie unormowane i Banacha: własności normy, zupełność, uzupełnianie przestrzeni
unormowanych, przykłady przestrzeni unormowanych ciągowych i funkcyjnych, skończenie
wymiarowe przestrzenie unormowane, zwartość (w przypadku skończenie i nieskończenie
wymiarowym), szeregi w przestrzeniach unormowanych. Baza Schaudera.
2. Przestrzenie unitarne i Hilberta: nierówność Schwarza, związki iloczynu skalarnego z normą,
uzupełnianie przestrzeni unitarnych, ortogonalność, dopełnienie ortogonalne (twierdzenie o rzucie
ortogonalnym), układy ortonormalne (ortogonalizacja i ortonormalizacja układu wektorów), układy
ortonormalne zupełne, szeregi Fouriera (nierówność Bessela, toŜsamość Parsevala, układ
trygonometryczny, szereg Fouriera względem układu trygonometrycznego), twierdzenie RieszaFischera.
3. Operatory liniowe ciągłe: ograniczoność i ciągłość, norma operatora, przestrzeń dualna, twierdzenie
Riesza o postaci funkcjonałów liniowych w przestrzeni Hilberta, twierdzenie Banacha o operatorze
otwartym, twierdzenie o operatorze odwrotnym, twierdzenie o domkniętym wykresie, twierdzenie
Banacha-Steinhausa, twierdzenie Hahna-Banacha, operatory sprzęŜone, operatory zwarte. Słaba
topologia, refleksywność.
4. Informacje uzupełniające: przestrzenie liniowo-topologiczne, lokalna wypukłość. Izometrie w
przestrzeniach unormowanych.
Wykaz literatury podstawowej
1. J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do wykładu, wyd. 2., Wydawnictwo Naukowe AP,
Kraków 2004.
2. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.
3. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, WN PWN, Warszawa 2007.
Wykaz literatury uzupełniającej
1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Monografie Matematyczne, t. 40, PWN, Warszawa 1969.
2. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd. ed., Springer, New York 1990.
3. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, wyd. 2., Biblioteka Matematyczna t.36,
PWN, Warszawa 1982.
4. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, wyd. 4., Biblioteka Matematyczna t. 35, PWN,
Warszawa 1987.
5. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001.
4
Bilans godzinowy zgodny z CNPS (Całkowity Nakład Pracy Studenta)
Ilość godzin w kontakcie z
prowadzącymi
Ilość godzin pracy studenta
bez kontaktu z
prowadzącymi
Wykład
26
Konwersatorium (ćwiczenia, laboratorium itd.)
39
Pozostałe godziny kontaktu studenta z prowadzącymi
wykład i ćwiczenia
40
Lektura w ramach przygotowania do zajęć
35
Przygotowanie krótkiej pracy pisemnej lub referatu po
zapoznaniu się z niezbędną literaturą przedmiotu
15
Przygotowanie projektu lub prezentacji na podany temat
(praca w grupie)
15
Przygotowanie do egzaminu
40
Ogółem bilans czasu pracy
Ilość punktów ECTS w zaleŜności od przyjętego przelicznika
210
7
5