ETR 2014/2015 7. Funkcje generuja ` ce momenty 23 § 7. Funkcje

ETR 2014/2015
§ 7.
7. Funkcje generujace momenty
‘
23
Funkcje generujace momenty
‘
Analize zlożonych rozkladów zmiennych losowych ulatwiaja rozmaite transformacje tych
‘
‘
rozkladów.
Niech X nieujemna zmienna losowa (ryzyko). Funkcje
‘
+∞
R tx
M (t) = MX (t) = E(etX ) =
e dFX (x), t ∈ D,
−∞
gdzie D = {t ∈ R : E(etX ) < ∞}, F - dystrybuanta rozkladu zmiennej losowej X,
nazywamy funkcja generujaca momenty (FGM) rozkladu zmiennej losowej X.
‘
‘ ‘
Definicja jest poprawna bo D 6= ∅, ściślej (−∞, 0] ⊂ D. Istotnie, dla t ≤ 0 funkcja
M jest dobrze określona w t = 0,
M (0) = E(e0 ) = E(1) = 1.
Dla t < 0 mamy 0 ≤ etx ≤ e0 . Stad
‘
+∞
+∞
R tx
R 0
tX
M (t) = E(e ) =
e dFX (x) ≤
e dFX (x)
0
0
= F (+∞) − F (0) = 1 < ∞.
Funkcja generujaca momenty ma dla t < 0 wszystkie pochodne:
‘
R∞ d tx
R∞ tx
dM
(t) =
(e ) dFX (x) = xe dF(x),
dt
0 dt
0
. . .
R∞ k tx
dk M
(t)
=
x e dFX (x), k = 1, 2, . . .
dtk
0
ponieważ dla t < 0 pochodne po t funkcji etx sa ciagle (oczywiste) oraz ograniczone
‘ ‘
dla x ≥ 0:
k
k
sup xk etx = ... =
[rys] [CW]
−te
x≥0
R∞
a to umożliwia różniczkowanie calki 0 xk etx dFX (x). Ponadto, gdy D zawiera
otoczenie zera, to
R∞
dM
(0) = x dFX (x) = E(X),
dt
0
. . .
R∞ k
dk M
(0) = x dFX (x) = mk .
k-ty moment
dtk
0
ETR 2014/2015
7. Funkcje generujace momenty
‘
24
Istotnie, dla k = 1 mamy:
R ∞ tx
e dF(x) − 1
M
(t)
−
M
(0)
= lim 0
=
M ′ (0) = lim
t→0
t→0
t
t
R ∞ tx
(e − 1) dF(x) R ∞ d tx
= 0
(e )|t=0 dF(x)
lim 0
t→0
t
dt
R∞
= 0 x dF(x) = E(X).
Stad mamy: M ′ (0) = E(X), M ′′ (0) = E(X 2 ), itd. Analogiczny rachunek jest dla
‘
k > 1.
Twierdzenie. FGM wyznacza jednoznacznie rozklad zmiennej losowej!
Przyklady
Rozklad 2-punktowy:
P (X = a) = p, P (X = b) = q, 0 < p < 1, q = 1 − p,
MX (t) = E(etX ) = eta p + etb q, t ∈ R.
Rozklad dwumianowy:
n
k
P (X = k) =
pk q n−k , k = 1, 2, . . . , n,
MX (t) = (pet + q)n , t ∈ R,
[CW]
′
′
MX
(t) = n(pet + q)n−1 pet , E(X) = MX
(0) = np, ...
Rozklad Poissona:
P (X = k) = (λk /k!)e−λ , k = 0, 1, 2, . . . ,
t
MX (t) = eλ(e
−1)
= exp(λ(et − 1)), t ∈ R,
[CW]
′
MX
(t) = λet MX (t),
′′
MX
(t) = λet MX (t) + (λet )2 MX (t), ...
′
′′
E(X) = MX
(0) = λ, MX
(0) = λ + λ2 , ...
Rozklad gamma (α, β), α, β > 0,
fX (x) = (β α /Γ(α))xα−1 e−βx , x > 0,
α
β
MX (t) =
, t ∈ (−∞, β),
β−t
gestość rozkladu
‘
ETR 2014/2015
7. Funkcje generujace momenty
‘
25
′
(t) = (β α (β − t)−α )′ = αβ α (β − t)−α−1 ,
MX
α
′
E(X) = MX
(0) = αβ −1 = .
β
Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y sa niezależne, to
‘
MX+Y (t) = MX (t) · MY (t).
Dowód
Z definicji FGM i wlasności wartości oczekiwanej mamy:
MX+Y (t) = E(et(X+Y ) = E(etX etY )
= E(etX )E(etY ) = MX (t)MY (t).
Wniosek
Jeśli W = X1 + X2 suma niezależnych zmiennych losowych o rozkladach gamma z
parametrami (α1 , β) i (α2 , β), odpowiednio, to W ma także rozklad gamma ale z
parametrami (α1 + α2 , β).
Dowód
Na podstawie poprzedniego twierdzenia i wzoru na FGM dla rozkladu gamma mamy
MW (t) = MX1 +X2 (t) = MX1 (t)MX2 (t)
α1 α2 α1 +α2
β
β
β
=
, dla t < β.
β−t
β−t
β−t
Zatem W ma rozklad gamma z parametrami (α1 + α2 , β). Funkcja generujaca kumulanty
‘
Funkcje
‘
CX (t) = ln MX (t), t ∈ D - dziedzina FGM
(k)
nazywamy funkcja generujaca kumulanty (FGK). Pochodne CX (0) nazywamy ku‘
‘
mulantami rozkladu zmiennej losowej X.
Logarytmujac wzór MX+Y (t) = MX (t) · MY (t) otrzymamy
‘
CX+Y (t) = CX (t) + CY (t).
Stad mamy reguly dodawania kumulant
‘
CX+Y (0) = CX (0) + CY (0),
ETR 2014/2015
7. Funkcje generujace momenty
‘
(k)
(k)
26
(k)
CX+Y (0) = CX (0) + CY (0).
Wnioski
1. Kumulanty to takie szczególne parametry, rozkladu zmiennej losowej, które sumuja
‘
sie dla sum niezależnych zmiennych losowych.
‘
2. Różniczkujac wzór C(t) = ln M (t) mamy C ′ (t) = M ′ (t)/M (t) skad
‘
‘
′
E(X)
M (0)
=
= E(X).
C ′ (0) =
M (0)
1
3. Wartość oczekiwana jest kumulanta każdego rozkladu.
‘
4. Kumulantami rozkladów sa również, m.in.
‘
µ2 - wariancja,
µ3 = E((X − E(X))3 ) 3-ci moment centralny,
µ4 − 3(µ2 )2 .