Zestaw 3 - Liczby rzeczywiste, logarytmy, wartość bezwzględna

Zestaw 3 - Liczby rzeczywiste, logarytmy, wartość bezwzględna, zadania tekstowe.
1. Wykonaj obliczenia.
(a)
2 · 320 − 5 · 319
=
99
(b)
(3 · 220 + 7 · 219 ) · 52
=
(13 · 84 )2
(c)
(315 + 313 ) · 29
=
(314 + 312 ) · 1024
−3
1
=
(1 )−1 − 2−2
3
√
1
1
2 · 4 3 · 8− 3
=
1
1
16 3 · 2 4
(d)
(e)
2. Wykaż, że liczba:
(a) 6 · 53 + 54 + 55 jest podzielna przez 10;
(b) 2 · 35 + 36 + 37 + 38 jest nieparzysta;
(c) 5 · 37 + 2 · 36 + 3 · 35 jest parzysta;
(d) 620 + 3 · 619 − 4 · 618 jest wielokrotnością liczby 5;
3. Oblicz wartości wyrażeń.
1
(a) 81 2 =
(h) 2 · 16−1,5 · 321,2 =
1
(b) 32 5 =
5
2
(i) 5−3 · 125 3 · 625 4 =
1
(c) 64 3 =
− 13
(d) 8
(e) 25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(j) 2 2 · 8 2 + 12 2 · 3 2 =
=
− 12
(k) 3 2 · 3 2 + 32 2 · 2 2 =
=
2
(f) 125 3 =
3
(g) 81 4 =
1
1
(l) 5 2 · 5 2 + 7 2 · 7 2 =
1
1
1
1
(m) 108 3 · 2 3 + 5 3 · 25 3 =
4. Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia.
√
√
(a) ( 2 + 3)2 =
√
√
(g) ( 10 − 12)2 =
√
√
(b) ( 5 + 3)2 =
√
√
(h) (2 5 − 3 2)2 =
√
√
(c) ( 7 + 11)2 =
√
√ √
√
(i) ( 5 − 2)( 5 + 2) =
√
√
(d) (2 2 + 3 3)2 =
√
√ √
√
(j) ( 7 − 3)( 7 + 3) =
√
√
(e) (7 5 + 2 3)2 =
√
√
√
√
(k) (2 3 − 5)(2 3 + 5) =
√
√
(f) ( 2 − 3)2 =
√
√
√
√
(l) (3 2 − 2 7)(3 2 + 2 7) =
Małgorzata Nowak
1
Zestaw 3 - Liczby rzeczywiste, logarytmy, wartość bezwzględna, zadania tekstowe.
5. Usuń niewymierność z mianownika.
(a)
√2
2
=
(j)
3√
2− 3
=
(b)
√3
3
=
(k)
√4
2−1
=
(c)
√1
5
=
(l)
√6
3+1
=
(d)
√4
7
=
(m)
√8
5+1
=
(e)
6
√
3 2
=
(n)
−1√
3−2 2
(f)
2
√
5 3
=
(o)
√ 6√
5− 2
(g)
3
√
7 2
=
(p)
(h)
2√
2− 2
=
(q)
(i)
−6
√
1− 3
=
(r)
√ 12√ =
7− 3
√
1−2√ 7
=
3− 7
√ √
3√ 2−√ 7
=
7− 2
=
=
6. Rozwiąż podane zadania tekstowe.
(a) Cena lodówki wraz z 7% podatkiem VAT wynosi 1337,50 zł. Oblicz cenę lodówki bez podatku VAT.
(b) Cena pewnego towaru wraz z 7% podatkiem VAT wynosi 59,92 zł. Oblicz cenę tego towaru, gdy
podatek zwiększy się do 22%.
(c) Cena pewnej usługi wraz z 22% podatkiem VAT wynosi 2508,32 zł. Oblicz cenę tej samej usługi, gdyby
podatek wynosił 22%.
(d) Cena bluzki wynosiła 68 zł. W ciągu roku cenę obniżono dwukrotnie: najpierw o 10%, a następnie o
20%. Ile teraz kosztuje bluzka?
(e) Kuchenka kosztowała początkowo 1420 zł. Najpierw jej cenę podniesiono o 5%, a następnie obniżono
o 30%. Ile kosztuje teraz?
(f) Lokata 2400 zł oprocentowana jest w wysokości 20% w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja roczna, półroczna (co 6 miesięcy) i kwartalna (co 3 miesiące). Oblicz ile zyska klient tego
banku po 2 latach oszczędzania, dla każdego rodzaju kapitalizacji. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc
po przecinku.
(g) Lokata 6200 zł oprocentowana jest w wysokości 16% w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja roczna, półroczna (co 6 miesięcy) i kwartalna (co 3 miesiące). Oblicz ile zyska klient tego
banku po 2 latach oszczędzania, dla każdego rodzaju kapitalizacji. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc
po przecinku.
7. Oblicz:
(a) |2| =
Małgorzata Nowak
(b) | − 2| =
2
Zestaw 3 - Liczby rzeczywiste, logarytmy, wartość bezwzględna, zadania tekstowe.
(c) | 13 | =
√
(k) |1 − 3 7| =
(d) | − 81 | =
√
(l) |2 − 3 2| =
(e) |2, 25| =
√
(m) |4 − 2 3| =
(f) | − 3, 162| =
√
(n) |6 − 3 11| =
√
(g) | 3| =
√
√
(o) |2 − 3 3| + |3 − 2 3| =
√
(h) | − 2 3| =
(p) |4 −
(i) | − π| =
√
√
(q) |2 − 3 2| · | 2 − 1| =
√
(j) |3 + 2 3| =
(r) |2 −
√
√
√
7| − |1 − 3 7| =
√
√
3| · |3 2 − 2 3| =
8. Rozwiąż zadania:
(a) W obozie naukowym jest 32 uczniów o średniej wieku 17 lat. Średnia ta wzrośnie do 18 lat, jeśli doliczy
się wiek nauczyciela. Ile lat ma nauczyciel?
(b) W pewnym zakładzie pracuje 11 osób. Średnia wieku zatrudnionych wynosi 32 lata. Jeden z pracowników zakładu zachorował. Średnia wieku pozostałych w pracy wynosi 31 lat. Ile lat ma pracownik,
który przebywa na zwolnieniu?
(c) Z matematyki Jaś ma następujące oceny: 4, 3, 5, 2, 3, 5, 4, 4, a Małgosia: 4, 5, 3, 4, 3. Jaką średnią
ocen ma Jaś, a jaką Małgosia?
(d) W pięcioosobowym zespole średnia wieku trzech pań wynosi 26 lat, a średnia wieku dwóch panów
wynosi 36 lat. Jaka jest średnia wieku wszystkich osób?
(e) W klasie humanistycznej liczącej 25 uczniów średnia ocen z matematyki jest równa 3,6. Jeśli uczeń
z oceną celującą przeniesie się do klasy matematyczno-fizycznej, to ile będzie równa średnia ocen z
matematyki w tej klasie?
(f) Średnia wieku 12 pracowników pewnej firmy wynosi 30 lat. Gdy przyjęto nowego pracownika średnia
wieku pracowników zwiększyła się o rok. Ile lat ma nowy pracownik?
(g) Średnia arytmetyczna trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 8. Znajdź te liczby.
(h) Sprinter biegnie ze średnią prędkością 10 m/s, a rowerzysta jedzie z prędkością 24 km/h. Który porusza
się z większą prędkością?
9. Podaj po dwa przykłady ułamków, spełniających nierówności:
2
6
(a)
1
6
(b)
2
15
<x<
3
15
(c)
4
11
<x<
5
11
(d)
3
5
<x<
<x<
Małgorzata Nowak
4
5
3
Zestaw 3 - Liczby rzeczywiste, logarytmy, wartość bezwzględna, zadania tekstowe.
10. Oblicz:
√
(i) log5 5 5 =
(a) log2 16 =
(b) log2
1
4
(j) 2log2 32 =
=
(c) log3 27 =
(k) 3log3 5 =
(d) log10 100 =
(l) 49log7 2 =
(e) log10 0, 01 =
(m) 16log2 3 =
(f) log 1 9 =
(n) log3 5 + log3 3 =
3
(g) log√2 2 =
(o) log3 18 − log3 2 =
(h) log6 1 =
(p) log14 49 + 2 log14 2 =
11. Rozwiąż równania i nierówności z wartością bezwzględną. Wyniki zaznacz na osi liczbowej
i zapisz w postaci przedziałów.
(a) |x + 4| = 6
(e) |x − 4| ­ 6
(b) |2x + 2| = 16
(f) |8 − 2x| ¬ 10
(c) |x + 6| < 14
(g) |x + 6| ­ 0
(d) |5 − x| > 3
(h) |x − 3| < 0
12. Zaznacz podane przedziały na osi liczbowej, następnie wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.
(a) A = (0, 2), B = (1, 4 >
(e) A = (−1, 3 >, B =< 2, 5 >
(b) A = (−∞, 1), B =< 3, +∞ >
(f) A =< −3, 1), B = (0, 5)
(c) A = (−4, 0), B =< 0, 4 >
(g) A = (−∞, 7 >, B = (−2, 10 >
(d) A = (−1, +∞), B =< −3, 2 >
(h) A = (−∞, 3 >, B =< −1, +∞)
12. Zaokrąglij liczby.
(a) do części dziesiętnych:
– 0,678
(b) do tysięcy:
cinku:
– 12 864
– 0,122
– 1,23
– 5,(5)
(c) do drugiego miejsca po prze-
– 123 456
– 1,3689
– 7,048
– 123 521
– 7,2999
– 0,999
– 1 265 499
– 3,142
– 99 999
– 0,00999
Małgorzata Nowak
4