Zadanie* (ciągi) Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia
Transkrypt
Zadanie* (ciągi) Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia
Zadanie* (ciągi) Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia dwumianu: p m p 5 2log(10−3x ) + 2(x−2)log3 jest równy 21 jeżeli wiadomo, że współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu rozwinięcia tworzą odpowiednio pierwszy, trzeci i piąty wyraz ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie Wzór dwumianowy Newtona, z którego tu musimy skorzystać ma następującą postać: n n n n−1 n n−k k n n n ∀n ∈ N (a+b)n = a + a b+. . .+ a b +. . .+ abn−1 + b 0 1 k n−1 n Policzmy najpierw współczynniki drugiego (2), trzeciego (3) i czwartego (4) wyrazu rozwinięcia dwumianu. m m! (m − 1)!m = =m (2) = 1 (m − 1)! (m − 1)! m m! (m − 2)!(m − 1)m (m − 1)m (3) = = = 2 (m − 2)! · 2! (m − 2)! · 2 2 m m! (m − 3)!(m − 2)(m − 1)m (m − 2)(m − 1)m (4) = = = 3 (m − 3)! · 3! (m − 3)! · 6 6 Wiemy zatem, że następujące współczynniki są pierwszym, trzecim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego: m; (m − 1)m 2 (m − 2)(m − 1)m 6 ; Wykorzystując zależność pomiędzy wyrazami ciągu arytmetycznego możemy zapisać: (m − 1)m 2 −m= (m − 2)(m − 1)m 6 − (m − 1)m 2 Po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujące równanie: m3 − 9 m2 + 14m = 0 m(m2 − 9m + 14) = 0 Liczymy deltę i pierwiastki równania kwadratowego. ∆ = 81 − 56 = 25 √ ∆=5 1 m1 = 2 oraz m2 = 7. Odrzucamy rozwiązanie m = 2 ponieważ musimy policzyć szósty wyraz rozwinięcia dwumianu, wiemy, że aby miał on co najmniej sześć wyrazów w rozwinięciu to m 5. Szósty wyraz rozwinięcia ma następującą postać: m m−5 5 a b 5 Z treści zadania wiemy, że ma on być równy 21, czyli m m−5 5 a b = 21 5 gdzie a= p 2log(10−3x ) b= p 5 2(x−2)log3 Możemy już podstawić do równania przedstawiającego szósty wyraz rozwinięcia a i b, czyli m−5 p 5 (m − 4)(m − 3)(m − 2)(m − 1)m p log(10−3x ) 5 2 2(x−2)log3 = 21 120 Wiemy już teraz, że m = 7 stąd mamy równanie z jedną niewiadomą jaką jest x: 21 · p 2log(10−3x ) 2 p 5 5 2(x−2)log3 = 21 Dzielimy obustronnie przez 21 otrzymując: p 2 p 5 5 2log(10−3x ) 2(x−2)log3 =1 2log(10−3 x 2log(10−3 ) x · 2(x−2)log3 = 1 )+(x−2)log3 = 20 log(10 − 3x ) + (x − 2)log3 = 0 log(10 − 3x ) + log3x−2 = 0 log(10 − 3x ) · 3x−2 = 0 (10 − 3x ) · 3x−2 = 1 1 =1 9 Możemy zrobić podstawienie 3x = t gdzie t > 0 otrzymujemy wtedy następujące równanie kwadratowe: t2 − 10t + 9 = 0 (10 − 3x ) · 3x · 2 liczymy teraz deltę i pierwiastki: ∆ = 100 − 36 = 64 √ ∆=8 Pierwiastki równania to t1 = 1 oraz t2 = 9 możemy już wyliczyć x, czyli: 3x = 1 3x = 9 x=0 x=2 3