Zadanie 1 Pokaż, że następujące rodziny podzbiorów zbioru X

Zadanie 1 Pokaż, że następujące rodziny podzbiorów zbioru X tworzą topologię:
a) {(−∞, b) : b ∈ R} ∪ {∅, R}
b) {A ⊂ R : 1 ∈ A ∧ −1 ∈ A} ∪ {∅}
Zadanie 2 Czy rodziny T1 , T2 , T3 są topologiami w zbiorze X, gdy X = {a, b, c, d} oraz
a) T1 = {∅, X, {a}, {c}, {a, c}},
b) T2 = {∅, X, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {d}},
c) T3 = {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, d}, {d}}.
Odpowiedź uzasadnij. Te rodziny, które nie są topologiami uzupełnij tak, aby nimi były.
Zadanie 3 Podaj bazy topologii z zadania 1.
Zadanie 4 Niech X = {a, b, c, d} oraz T = {∅, X, {a, c}, {a, c, d}}. Wyznacz pochodną zbioru A = {b, c}.
Zadanie 5
a) Niech X = {a, b, c} oraz T = {∅, X, {a, b}, {b}{a, c}, {a}}. Wyznacz FrA, gdzie A jest dowolnym
podzbiorem X.
b) Dla przestrzeni (X, T ) wyznacz zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste.
Zadanie 6 Udowodnij, że suma dwóch zbiorów brzegowych, z których jeden jest domknięty, jest zbiorem brzegowym.
Zadanie 7 Udowodnij, że dopełnienie otwartego zbioru gęstego jest zbiorem nigdzie gęstym.
Zadanie 8 Udowodnij, że jeżeli U jest zbiorem otwartym, to Ū \ U jest zbiorem nigdzie gęstym.
Zadanie 9 Udowodnij, że jeżeli F jest zbiorem domkniętym, to F \ IntF jest zbiorem nigdzie gęstym.
Zadanie 10 Zbadaj ciągłość funkcji f : (R, T1 ) −→ (R, T2 )
0, gdy x ∈ R \ Q
f (x) =
1, gdy x ∈ Q
a) T1 = Td , T2 = TN
b) T1 = Ts , T2 = {A ⊂ R : 1 ∈ A} ∪ {∅}
c) T1 = {A ⊂ R : 1 ∈ A} ∪ {∅}, T2 = Ts
na
Zadanie 11 Niech (X, TX ), (Y, TY ) będa przestrzeniami topologicznymi. Udowodnij, że jeżeli f : X −→ Y jest
homeomorfizmem, to obraz zbioru brzegowego jest brzegowy.
Zadanie 12 Czy przekształcenie f : X −→ [0, 1] dane wzorem

 0, gdy x ¬ 0
x, gdy x ∈ (0, 1)
f (x) =

1, gdy x ­ 0
jest otwarte, domknięte? W dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważamy topologię naturalną.
Zadanie 13 Wskaż przykład T0 -przestrzeni, która nie jest T1 .
Zadanie 14 Wykaż, że jeżeli (Y, TY ) jest T1 -przestrzenią (odpowiednio T0 ), przekształcenie f : X −→ Y jest
różnowartościowe i ciągłe, to przestrzeń (X, TX ) również spełnia aksjomat T1 (T0 ).
Zadanie 15 Udowodnij, że podprzestrzeń przestrzeni Tichonowa jest przestrzenią Tichonowa.
Zadanie 16 Wykaż, że jeżeli (X, TX ) jest przestrzenią normalną, f przekształceniem ciągłym i domkniętym przestrzeni X na (Y, TY ), to przestrzeń Y jest także normalna.