WPM-7 - Piotr Rzonsowski

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz B \ A dla następujących zbiorów:
A = (3 ; ∞),
B = {2, 3, 4}.
Rozwiązanie: Zacznijmy od narysowania tych zbiorów na osi liczbowej.
Rysunek 1. Zbiory A oraz B.
Zauważmy, że zbiór A jest przedziałem od 3 (ale 3 < A) do nieskończoności, natomiast zbiór
B jest zbiorem dyskretnym, czyli mówiąc nieformalnie, jest zbiorem składającym się z punktów.
Zbiór B to tylko trzy punkty: {2}, {3} i {4}.
Wyznaczymy teraz sumę zbiorów A oraz B. Zacznijmy więc od przypomnienia definicji:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Liczba 2 ∈ B, więc na pewno 2 ∈ A ∪ B. Następnie spójrzmy na drugą liczbę ze zbioru B, czyli
na trójkę. Liczba 3 należy do B, a do zbioru A należą wszystkie liczby rzeczywiste większe od
3, więc {3} ∪ A = [3 ; ∞). Ostatnia liczba należąca do zbioru B, czyli 4 jest również w zbiorze A.
Zatem:
A ∪ B = (3 ; ∞) ∪ {2, 3, 4} = {x : x ∈ (3 ; ∞) ∨ x ∈ {2, 3, 4}} = {2} ∪ [3 ; ∞).
Korzystając z rysunku 1 do rozwiązanie tego problemu, szukamy takiego zbioru, który jest pomalowany kolorem pomarańczowym lub kolorem zielonym — rysunek 2
Rysunek 2. Suma zbiorów A oraz B, A ∪ B = {2} ∪ [3 ; ∞).
Teraz zajmiemy się przekrojem zbiorów A i B. Na wstępie zapiszemy dla przypomnienia
formalną definicję:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Mamy zatem:
2 ∈ B, ale 2 < A, więc 2 < A ∩ B
3 ∈ B, ale 3 < A, więc 3 < A ∩ B
4 ∈ B oraz 4 ∈ A, więc 4 ∈ A ∩ B.
Żaden więcej element nie należy do zbioru B, więc żaden więcej element nie może należeć do
przekroju zbiorów A i B. Stąd:
A ∩ B = {4}.
Korzystając z rysunku 1, przekrojem jest ten zbiór, który pomalowany jest kolorem pomarańczowym i zielonym jednocześnie — zatem jest to zbiór składający się z jednego elementu {4} co
już wcześniej wiedzieliśmy — rysunek 3.
Rysunek 3. Część wspólna zbiorów A oraz B, A ∩ B = {4}.
Teraz zajmiemy się jedną z różnic. Najpierw wyliczymy A \ B. Nim jednak przystąpimy do
obliczeń — przypomnijmy definicję:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x < B}.
Są to zatem tylko te elementy, które należą do zbioru A a nie należą do zbioru B. Inaczej mówiąc
są to te elementy, które należą do zbioru A i nie należą do przekroju A ∩ B. Czyli A \ B = A \
(A ∩ B). Pamiętamy, że A ∩ B = {4}. Zauważmy, że 4 ∈ A. Zatem od zbioru A odejmujemy
zbiór jednopunktowy. Zbiór A po wykonaniu tej operacji rozpadnie nam się na dwa rozłączne
przedziały. Będą to liczby większe od 3 i mniejsze od 4 oraz wszystkie liczby rzeczywiste, które
są większe od 4. Zatem:
A \ B = A \ (A ∩ B) = (3 ; ∞) \ {4} = (3 ; 4 ) ∪ (4 ; ∞).
Chcąc pomóc sobie rysunkiem 1 w rozwiązywaniu tego problemu, poszukujemy na nim zbioru,
który jest pomalowany tylko kolorem zielonym — rysunek 4.
Rysunek 4. Różnica zbiorów A oraz B, A \ B = (3 ; 4) ∪ (4 ; ∞).
Została nam już tylko do policzenia różnica zbiorów B \ A. Wykorzystamy ten sam argument
co wykorzystaliśmy licząc A \ B, tzn. B \ A = B \ (A ∩ B), gdzie przekrój już wyliczyliśmy —
A ∩ B = {4}. Zatem od zbioru złożonego z trzech liczb 2, 3 i 4, odejmujemy jedną z tych liczb, a
mianowicie czwórkę. Zostanie nam zbiór stworzony z dwóch liczb 2 i 3. Zatem:
B \ A = B \ (A ∩ B) = {2, 3, 4} \ {4} = {2, 3}.
Żeby rozwiązać powyższy problem korzystając z rysunku 1, poszukujemy takich fragmentów,
które są pokryte tylko kolorem pomarańczowym — rysunek 5.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2
Rysunek 5. Różnica zbiorów B oraz A, B \ A = {2, 3}.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
3