Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz B \ A dla następujących przedziałów:
A = (−3 ; 2],
B = (0 ; 1].
Rozwiązanie: Zacznijmy od narysowania tych przedziałów na osi liczbowej.
Rysunek 1. Przedziały A oraz B.
Sprawdźmy jakie nierówności spełniają liczby będące końcami przedziałów A oraz B:
−3
lewy koniec A
<
0
lewy koniec B
<
1
prawy koniec B
<
2
prawy koniec A
(1)
Widzimy z (1) (lub z rysunku 1), że przedział B zawiera się w przedziale A, co zapisujemy:
B ⊂ A.
(2)
Sumą zbiorów A orazB jest zbiór tych elementów, które należą do A lub należą do B. Ponadto
żadne inne elementy w A ∪ B nie występują. Przypomnijmy formalną definicję sumy zbiorów:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A to oznacza, że suma tych przedziałów jest przedziałem A, tzn.
A ∪ B = A = (−3 ; 2].
Można oczywiście odczytać sumę zbiorów A i B z rysunku 1 — sumą jest ten zbiór, który obejmuje oba kolory, tzn. żółty i zielony — rysunek 2.
Rysunek 2. Suma przedziałów A oraz B, A ∪ B = (−3 ; 2]
Korzystając z (2) wiemy, że częścią wspólną tychże przedziałów jest zbiór B, gdyż do przekroju zbiorów należą te elementy, które należą do przedziału A i do przedziału B jednocześnie
i żadne inne. Zapiszemy dla przypomnienia formalną definicję:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Spróbujmy trochę dokładniej przeanalizować powyższe zdanie, a mianowicie: „wiemy, że częścią wspólną tychże przedziałów jest zbiór B”. Zbiór B jest zawarty w zbiorze A, więc wszystkie
elementy ze zbioru B należą do zbioru A, zatem B ⊂ A ∩ B, ale żaden inny element, który nie
znajduje się w zbiorze B nie może znaleźć się w części wspólnej zbiorów A oraz B, więc rzeczywiście:
A ∩ B = B = (0 ; 1].
Korzystając z rysunku 1, przekrojem jest ten przedział, który pomalowany jest kolorem żółtym
i zielonym jednocześnie — rysunek 3.
Rysunek 3. Iloczyn przedziałów A oraz B, A ∩ B = (0 ; 1]
Teraz zajmiemy się jedną z różnic. Prostsza wydaje się być do obliczenia różnica B \ A. Nim
jednak przystąpimy do obliczeń — przypomnijmy definicję:
B \ A = {x : x ∈ B ∧ x < A}.
Są to zatem tylko te elementy, które należą do zbioru B a nie należą do zbioru A. Jednak pamiętamy, że przedział B jest zawarty w A (2), więc jeśli usuniemy ze zbioru B wszystkie elementy
zbioru A — nic nam nie zostanie, zatem otrzymamy zbiór pusty. Jeśli chcielibyśmy tę różnicę
odczytać z rysunku 1, to szukamy takiego przedziału, który byłby pokryty tylko kolorem zielonym (tzn. kolorem odpowiadającym zbiorowi B). Widzimy, że takiego przedziału na naszym
rysunku w ogóle nie ma. Zatem:
B \ A = ∅.
Została nam już tylko do wyznaczenia różnica zbiorów A\B. Stale mamy na uwadze, że zbiór
B jest zawarty w zbiorze A (2), więc musimy przedział B „wyciąć” z przedziału A. Widzimy, że
cały początek przedziału A pozostaje bez zmian aż do 0. Zauważmy, że do przedziału B należą
wszystkie liczby większe od 0 aż do jedynki włącznie, ale zero nie należy. Zatem zero będzie
należało do różnicy przedziałów A \ B. W tym miejscu znajduje się „luka” po zbiorze B, czyli
liczby większe od zera i mniejsze bądź równe jedynce nie należą do różnicy zbiorów A \ B, ale
do tej różnicy należą elementy większe od jedynki (ale nie równe 1, bo 1 ∈ B), aż do dwójki
włącznie. Mamy więc:
A \ B = (−3 ; 2] \ (0 ; 1] = (−3 ; 0] ∪ (1 ; 2].
Żeby rozwiązać powyższy problem korzystając z rysunku 1, poszukujemy takich fragmentów,
które są pokryte tylko kolorem żółtym — rysunek 4.
Rysunek 4. Różnica przedziałów A oraz B, A \ B = (−3 ; 0] ∪ (1 ; 2]
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2