17 Przekształcenia afiniczne

17
Przekształcenia afiniczne
Załóżmy, że V, V 0 są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F ,
zaś (E, V, −
→) (E 0 , V 0 , −
→)) przestrzeniami afinicznymi.
Definicja 17.1 Niech f bedzie funkcją działającą ze zbioru E w zbiór E 0 .
Funkcję f nazywamy przekształceniem afinicznym, jeżeli środek ciężkości
dowolnego układu punktów z E przekształca na środek ciężkości ich obrazów
o tych samych wagach.
Przykład 17.2
1. W F n każde przekształcenie, dla którego współrzędne obrazu są kombinacjami liniowymi współrzędnych przekształcanego
punktu i wyrazów wolnych, jest przekształceniem afinicznym.
2. W przestrzeni E2 funkcja określona dla pewnego k > 0 wzorem
(x1 , x2 ) 7→ (x1 , kx2 ),
zwana powinowactwem prostokątnym o skali k wzgledem 1–szej osi,
jest przekształceniem afnicznym.
Stwierdzenie 17.3 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem charakterystyki 0.
Funkcja f : E → E 0 jest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko
wtedy, gdy
(AT)
Dowód:
∀p,q∈E ∀a∈F f ((1 − a)p + aq) = (1 − a)f (p) + af (q).
jest analogiczny do dowodu stwierdzenia 15.2.
Stwierdzenie 17.4 Funkcja f : E → E 0 jest przekształceniem afinicznym
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : V → V 0 takie, że
dla pewnego (odpowiednio: dowolnego) punktu p ∈ E i dowolnego wektora
v ∈ V zachodzi równość
f (p + v) = f (p) + ϕ(v).
Dowód: ⇒) Załóżmy, że f jest przekształceniem afinicznym. Niech
−−−−−−−−−→
p ∈ E, v1 , v2 ∈ V oraz a1 , a2 ∈ F . Połóżmy ϕ(v) = f (p)f (p + v) dla v ∈ V .
Z definicji przekształcenia aficznego wynika, że
f (p + a1 v1 + a2 v2 ) =f ((1 − a1 − a2 )p + a1 (p + v1 ) + a2 (p + v2 ))
=(1 − a1 − a2 )f (p) + a1 f (p + v1 ) + a2 f (p + v2 )
Stąd
−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
a1 ϕ(v1 ) + a2 ϕ(v2 ) = a1 f (p)f (p + v1 ) + a2 f (p)f (p + v2 ) = a1 ϕ(v1 ) + a2 ϕ(v2 ),
1
Czyli ϕ jest przekształceniem liniowym przy dowolnym wyborze punktu p.
⇐) Niech p ∈ E oraz przekształcenie liniowe ϕ : V → V 0 będą takie, że
dla v ∈ V spelniony jest warunek f (p + v) = f (p) = ϕ(v).
Załóżmy, że χ(F ) = 0 niech p, q ∈ E oraz a ∈ F . Otrzymujemy
→
→
f ((1 − a)q + ar) =f (p + (1 − a)−
pq + a−
pr)
→
→
=f (p) + ϕ (p + (1 − a)−
pq + a−
pr)
→
→
=f (p) + (1 − a)ϕ(−
pq) + aϕ(−
pr)
→
−
→
=(1 − a) (f (p) + ϕ(pq)) + a (f (p) + ϕ(−
pr))
=(1 − a)f (q) + af (r),
co wraz ze stwierdzeniem 17.3 gwarantuje afiniczność przekształcenia f .
Przypadek χ(F ) 6= 0 rozpatrujemy analogicznie — wystarczy wziąć trzy
punkty.
Wniosek 17.5 Przekształcenie afiniczne przekształca skończenie wymiarową podprzestrzeń afiniczną H przestrzeni afinicznej E na podprzestrzeń afiniczną przestrzeni afinicznej E 0 wymiaru nieprzekraczającego dim H.
Dowód: Z definicji przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń
afiniczną na podprzestrzeń afiniczną.
Jeżeli ϕ : V → V 0 jest przekształceniem liniowym pochodzącym od
przekształcenia afinicznego f : E → E 0 , H jest podprzestrzenią afiniczną
przestrzeni afinicznej E, dim H < ∞, to z twierdzenia 9.11 dostajemy
dim S(H) = dim ker ϕ|S(H) + dim ϕ(S(H))
Zatem dim f (H) = dim ϕ(S(H)) ¬ dim S(H) = dim H.
Wniosek 17.6 Różnowartościowe przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń k–wymiarową na podprzestrzeń afiniczną k–wymiarową.
Dowód: Różnowartościowość przekształcenia afinicznego implikuje różnowartościowość pochodzącego od niego przekształcenia liniowego i teza wynika z wniosku 17.5 w połączeniu ze stwierdzeniem 9.10.
Definicja 17.7 Translacją (przesunięciem równoległym) o wektor v ∈ V
nazywamy przekształcenie Tv : E → E dane wzorem
Tv (x) = x + v
dla x ∈ E.
Uwaga 1 Często mówi się, że przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształcenia liniowego z translacją, co odpowiada stwierdzeniu 17.4 po utożsamieniu przestrzeni liniowej V z przestrzenią afiniczną p + V (odpowiednio
przestrzeni V 0 z przestrzenią f (p) + V 0 ).
2
Stwierdzenie 17.8 Każda translacja jest przekształceniem afinicznym.
Zbiór translacji z działaniem składania stanowi grupę izomorficzną z
grupą (V, +).
Dowód: Przekształceniem liniowym dla translacji Tv jest idV .
Niech T będzie zbiorem wszystkich translacji. Zauważmy, że ze stwierdzenia 14.5(4) wynika prawdziwość wzoru
Tu ◦ Tv = Tu+v
dla u, v ∈ V.
Stąd natychmiast wynika wewnętrzność działania składania w T oraz wzór
na element neutralny Tθ jak i odwrotny (Tv )−1 = T−v .
Izomorfizm grupy (T , ◦) na grupę (V, +) jest dany wzorem Tv 7→ v.
Stwierdzenie 17.9 Jeżeli H i H 0 są takim podprzestrzeniami afinicznymi
przestrzeni E, że S(H) ⊕ S(H 0 ) = V oraz p ∈ E, to zbiór (p + S(H 0 )) ∩ H
jest jednoelementowy.
Dowód: Niech r ∈ H. Wówczas z założenia istnieją wektory u ∈ S(H)
→
→
oraz u0 ∈ S(H 0 ) takie, że −
pr = u + u0 . Biorąc q = p + −
pr − u otrzymujemy
→
−
→
−
0
0
pq = pr − u = u , skąd q ∈ p + S(H ). Ponadto q = r − u ∈ H. Zatem zbiór
(p + S(H 0 )) ∩ H jest niepusty.
Ze stwierdzenia 15.7 i założenia wynika, że (p + S(H 0 )) ∩ H jest podprzestrzenią afiniczną, a jej przestrzeń nośna jest równa S(H) ∩ S(H 0 ) = {θ},
czyli (p + S(H 0 )) ∩ H jest podprzestrzenią jednopunktową.
Definicja 17.10 Niech H, H 0 będą podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicznej E takimi, że S(H) ⊕ S(H 0 ) = V . Rzutem równoległym na
podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni H 0 nazywamy przekształcenie
H 0 : E → H przypisujące dowolnemu punktowi p ∈ E jedyny punkt
πH
H 0 (p) ∈ (p + S(H 0 )) ∩ H.
πH
Twierdzenie 17.11 (Talesa) Każdy rzut równoległy jest przekształceniem
afinicznym.
Dowód: Niech π bedzie rzutem równoległym na podprzestrzeń H w
kierunku podprzestrzeni H 0 .
Weźmy dowolne p, q ∈ E oraz a ∈ F . Połóżmy r = (1 − a)p + aq.
Niech p0 , q 0 ∈ H będą odpowiednio rzutami punktów p, q. Wówczas istnieją wektory u0 , v 0 ∈ S(H 0 ) takie, że p0 = p + u0 , q 0 = q + v 0 . Pokażemy, że
punkt r0 = (1 − a)p0 + aq 0 jest rzutem punktu r.
3
Mamy, że
−
→
−
→
−
→
rr0 =(1 − a)rp0 + arq 0
−−−−
−−−−−→
−−−−
−−−−−→
→
→
=(1 − a)p + −
pr, p + u0 + aq + −
qr, q + v 0
→
→
=(1 − a)(u0 − −
pr) + a(v 0 − −
qr)
→
−
→
0
0
=(1 − a)u + av + (1 − a)rp + a−
rq = (1 − a)u0 + av 0 ∈ S(H 0 ).
Stąd r0 ∈ (r + S(H 0 )) ∩ H i z jednoznaczności takiego punktu r0 = π(r).
Rozumowanie powyższe działa dla χ(F ) = 0; jeżeli χ(F ) 6= 0 wystarczy
rozważyć trzy punkty.
Definicja 17.12 Jednokładnością (homotetią) o środku p ∈ E i skali s 6= 0
nazywamy przekształcenie Jps : E → E dane wzorem
→
Jps (x) = p + s · −
px
dla x ∈ E.
Stwierdzenie 17.13 Każda jednokładność jest przekształceniem afinicznym.
Dla ustalonego punktu p zbiór wszystkich jednokładności o środku p z
działaniem składania tworzy grupę izomorficzną z grupą (F \ {0}, ·).
Dowód: Aby wykazać, że Jps jest przekształceniem afinicznym wystarczy zauważyć, że jego przekształceniem liniowym jest s · idV .
Niech Jp będzie zbiorem wszystkich jednokładności o środku p. Zauważmy, że
Jps1 ◦ Jps2 = Jps1 s2 dla s1 , s2 6= 0.
Istotnie,
−−−−−−−−−
→
→ = p+s ·−
→
−
→
s1 s2
Jps1 ◦Jps2 (x) = Jps1 (p + s2 · −
px)
(x).
1 p , p + s2 · px = p+s1 s2 px = Jp
Stąd natychmiast wynika wewnętrzność działania składania w Jp oraz wzór
−1
1
= Jps .
na element neutralny Jp1 jak i odwrotny Jps
Izomorfizm grupy (Jp , ◦) na grupę (F \ {0}, ·) jest dany wzorem Jps 7→ s.
4