Odbicie i załamanie fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków

Odbicie i załamanie fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków
Fala elektromagnetyczna padając na granicę rozdzielającą dwa ośrodki o różnych parametrach
elektrycznych częściowo odbija się, częściowo zaś przechodzi przez tę powierzchnię. Sytuację
ilustruje szkic na Rys. 1, przedstawiający falę padającą na płaszczyznę z = 0 rozdzielającą dwa
jednorodne, niemagnetyczne, bezstratne ośrodki o parametrach ( 1 , µ1 ) i (2 , µ2 ), opatrzone
numerami 1 i 2, odpowiednio. Liczby falowe ośrodków i ich impedancje falowe oznaczają,
odpowiednio, k1 i k2 oraz η1 i η2 .
Niżej zestawiono wzory ujmujące to zjawisko ilościowo. Wielkości skojarzone z falą padającą będą opatrzone indeksem i (od ang. incident), skojarzone z falą odbitą – indeksem r
(od ang. reflected), skojarzone zaś z falą przechodzącą – indeksem t (od ang. transmitted).
Kierunek, z którego pada fala określa wektor jednostkowy 1 i . Wektor ten i prosta lokalnie
prostopadşa do płaszczyny granicznej w punkcie padania wyznaczają płaszczyznę padania.
Można udowodnić, że w płaszczyźnie tej leżą także wektory określające, odpowiednio, kierunek fali odbitej od powierzchni granicznej i kierunek fali przechodzącej do drugiego ośrodka.
Charakter zjawiska odbicia/załamania fali na granicy ośrodków zależy od polaryzacji fali.
Kluczowe znaczenie ma w tym kontekście stwierdzenie, że jednorodną falę płaską spolaryzowaną w dowolnym kierunku zawsze można rozłożyć na dwie składowe – jedną spolaryzowaną
prostopadle i drugą spolaryzowaną równolegle do płaszczyzny padania. Wynika stąd, że przypadki polaryzacji prostopadłej i równoległej (albo poziomej i pionowej) mogą być analizowane
oddzielnie, a rozwiązanie ogólne można złożyć z otrzymanych w ten sposób rozwiązań cząstkowych.
1i
ε1, µ1
ε2, µ2
Hi
1r
Er
Ei
Hr
θi θr
θt
Ht
z
x
Et
1t
Rys. 1. Fala elektromagnetyczna padająca na granicę rozdzielającą dwa ośrodki (polaryzacja pozioma)
Prawa odbicia i załamania
Wspólną właściwością fal o polaryzacji poziomej i pionowej jest to, że na granicy ośrodków
spełniają one te same, znane z optyki prawa odbicia i załamania, tj.
θr = θ i
k1
u2
sin θt
=
=
sin θi
k2
u1
(1a)
(1b)
Pierwsze z tych praw orzeka, że kąt odbicia fali jest równy kątowi padania. Drugie natomiast
mówi, że stosunek sinusa kąta załamania fali do sinusa kąta padania jest równy stosunkowi
u2 /u1 prędkości fazowych rozchodzenia się fali w ośrodkach wchodzących w grę. Wiążąc
prędkości fazowe z przenikalnościami elektrycznymi ośrodków otrzymujemy
sin θt
=
sin θi
s
1
=
2
s
r1
r2
(2)
Polaryzacja pozioma
O polaryzacji poziomej mówimy wtedy, gdy wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania, a więc równoległy do płaszczyzny rozdzielającej oba ośrodki.
Polaryzację poziomą często określa się jako polaryzację TE (ang. Transverse Electric). Ponieważ tradycyjnie stosowana terminologia jest tutaj nieco zawikłana, podkreślmy wyraźnie,
że określenia polaryzacja pozioma, polaryzacja TE i polaryzacja prostopadła odnoszą się do
tego samego stanu polaryzacji fali i jako takie są używane zamiennie.
Odbicie i załamanie fali na granicy ośrodków charakteryzują ilościowo tzw. współczynniki
Fresnela. Umożliwiają one wyznaczenie amplitud zespolonych fal odbitej (E r ) i załamanej,
czyli przechodzącej do drugiego ośrodka, (Et ), gdy znana jest amplituda Ei fali padającej.
Współczynnik odbicia R i współczynnik transmisji T określają, odpowiednio, wzory
Er
η2 cos θi − η1 cos θt
=
Ei
η2 cos θi + η1 cos θt
Et
2η2 cos θi
TH =
=
Ei
η2 cos θi + η1 cos θt
RH =
(3a)
(3b)
Indeks H w tych wzorach sygnalizuje, że odnoszą się one do fali o polaryzacji poziomej.
Współczynniki RH i TH spełniają następujący związek:
1 + R H = TH
(4)
Jeśli θi = 0, tzn. fala pada prostopadle na granicę ośrodków, to na podstawie praw odbicia i
załamania mamy θr = θt = 0 i wzory (3) upraszczają się do postaci
Er
η2 − η 1
=
Ei
η2 + η 1
Et
2η2
TH =
=
Ei
η2 + η 1
RH =
(5a)
(5b)
Jeśli ośrodek 2 jest doskonałym przewodnikiem, to η2 = 0 i w rezultacie
RH = −1
TH = 0
(6)
co oznacza, że Er = −Ei i Et = 0. Jak należało oczekiwać, pole elektryczne w przewodniku
i składowa styczna tego pola przy powierzchni przewodnika zerują się (znikają), skutkiem
czego nie ma transportu energii elektromagnetycznej w głąb przewodnika.
Er
Ei
1i
Hi
ε1, µ1
ε2, µ2
1r
Hr
θi θr
x
θt
Et
Ht
z
1t
Rys. 2. Fala elektromagnetyczna padająca na granicę rozdzielającą dwa ośrodki (polaryzacja pionowa)
Polaryzacja pionowa
O polaryzacji pionowej mówimy wtedy, gdy wektor natężenia pola elektrycznego leży w płaszczyźnie padania czyli jest do niej ”równoległy”. Z tego powodu polaryzację poziomą często
określa się zamiennie jako polaryzację równoległa albo polaryzację TM (ang. Transverse
Magnetic), bo wektor natężenia pola magnetycznego jest w rozważanej sytuacji prostopadły
(transwersalny) do płaszczyzny padania. Podkreślmy – określenia polaryzacja pionowa, polaryzacja TM i polaryzacja równoległa odnoszą się do tego samego stanu polaryzacji fali i jako
takie mogą być i są używane zamiennie.
Współczynniki odbicia RV i transmisji TV dla polaryzacji pionowej określają, odpowiednio, wzory
Er
η2 cos θt − η1 cos θi
=
Ei
η2 cos θt + η1 cos θi
Et
2η2 cos θi
TV =
=
Ei
η2 cos θt + η1 cos θi
RV =
(7a)
(7b)
Nietrudno sprawdzić, że współczynniki te spełniają związek
1 + R V = TV
cos θt
cos θi
(8)
Współczynnik odbicia RV zeruje się dla kąta padania θi równego kątowi θBV spełniającemu
warunek
η2
cos θBV =
cos θt
(9)
η1
z którego po uwzględnieniu prawa załamania i nieskomplikowanych przekształceniach otrzymujemy
1
sin2 θBV =
(10)
1 + 1 /2
Kąt θBV nazywamy kątem Brewstera (kątem zerowego odbicia) dla polaryzacji pionowej.