Algebraiczne kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza
Stabilność jest właściwością układu polegającą na powrocie do stanu
równowagi stałej po ustaniu działania wymuszenia, które wytrąciło układ z tego
stanu, lub osiągnięciu nowego stanu równowagi stałej, jeśli wymuszenie
pozostało na stałym poziomie
NaleŜy zwrócić uwagę na fakt, iŜ często pojęcie stabilności jest
intuicyjnie definiowane przez studentów. Niestety definicja intuicyjna
stabilności jest w większości przypadków zła lub niepełna. Dlatego teŜ
powyŜsze pojęcie będzie jeszcze kilkakrotnie powtarzane. Stabilność jest
bowiem jednym z najwaŜniejszych zagadnień w automatyce, ma teŜ
fundamentalne znaczenie w teorii sterowania.
Do oceny stabilności słuŜą róŜne kryteria. W tym rozdziale zajęto się
kryterium algebraicznym Hurwitza. Wymaga ono znajomości transmitancji
układu w postaci analitycznej.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, Ŝeby układ liniowy
stacjonarny ciągły był stabilny asymptotycznie jest aby:
a)
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 = 0
były większe od zera
ai > 0 ,i = 0 ,1,2 ,...,n
b)
wszystkie podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika Hurwitza były
większe od zera.
Ad. a
NaleŜy zadać sobie pytanie czym jest równanie charakterystyczne? W
celu jego wyprowadzenia, naleŜy zbadać rozwiązanie ogólne równania
róŜniczkowego jednorodnego:
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
an
+ an−1
+ ... + a1
+ a0 y (t ) = 0
n −1
n
dt
dt
dt
1
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Korzystając z przekształcenia Laplace’a otrzymamy równanie algebraiczne
an s n + an −1s n−1 + ... + a1s + a0 = 0
,które jest równaniem charakterystycznym.
Ujmując ten problem prościej, równaniem charakterystycznym
nazywamy mianownik transmitancji układu przyrównany do zera
Ad. b
PoniŜej pokazano sposób budowy wyznacznika Hurwitza:
∆n =
a n −1
an
a n −3
a n−2
a n −5
an−4
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
0
0
0
a n −1
a n −1
a n −3
a n −3
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
0
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
⋅
0
⋅
0
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ a1
⋅
0
⋅
0
0
0
0
0
0
0
⋅ ⋅ a2
⋅ ⋅ a3
a0
a1
0
0
0
0
0
⋅ ⋅ a4
a2
a0
Czyli zgodnie z warunkiem koniecznym:
∆ 1 = a n −1 > 0
;
∆2 =
a n −1
a n −3
an
a n−2
>0
an−1 an−3 an−5
;
∆3 = an−1 an−2 an−4 > 0
0 an−1 an−3
;…
2
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]