Seria III, ćw.3

Opracował: dr inż. Michał Chłędowski
Ćw. S-III.3
BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH
UKŁADÓW AUTOMATYKI
INSTRUKCJA ROBOCZA
Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z problemem stabilności liniowych UAR poprzez:
poznanie matematycznego warunku stabilności liniowych UAR,

poznanie i praktyczne zastosowanie analitycznego kryterium stabilności Hurwitza,

poznanie i praktyczne wykorzystanie częstotliwościowego kryterium Nyquista.
Zadanie do wykonania
Przedmiotem badań dla wszystkich zespołów realizujących ćwiczenie, jest
jednowymiarowy liniowy UAR o typowej strukturze, przedstawionej na rys. 3.1 (patrz również
rys.S-I.1).
Rys. 3.1. Schemat układu automatycznej regulacji podlegającego badaniu stabilności
Główne etapy realizacji ćwiczenia:
1. Każdy zespół realizujący ćwiczenie ma za zadanie przyjąć własne transmitancje przejścia dla
badanego układu: GEW(s), GOB.(s) i GUP(s). Należy dobrać je zgodnie ze sztuką inżynierską (np.
uwzględniając ogólnie obowiązujące zalecenie przy projektowaniu UAR, mówiące o tym, że
bezwładność (stała czasowa) układu pomiarowego powinna być co najmniej dziesięciokrotnie
mniejsza od najmniejszej stałej czasowej obiektu regulacji), oraz tak, aby równanie
charakterystyczne układu było czwartego stopnia a układ był statyczny. Regulator przyjąć jako
człon proporcjonalny, o współczynniku proporcjonalności kR.
Przykład
GR ( s ) = k R , GEW ( s ) =
0.2
3
0.5
, GOB ( s ) =
, GUP ( s ) =
.
s+ 1
(3s + 1)( 2 s + 1)
0.1s + 1
2. Dla tak zdefiniowanego UAR należy określić zakres wartości kR, wykorzystując analityczne
kryterium stabilności Hurwitza (patrz: Podstawy teoretyczne).
Należy: a) Obliczyć transmitancję zastępczą układu
0.2
3
 s1 3s12s1
0.2
3
0.5
1k R
 s1 3s12s1 0.1s1
0,6⋅k R 0.1s1
Gz=
s12s13s10.1s10,3⋅k R
kR
G R G EW G OB
Gz=
=
1G R G EW G OB G UP
b) Przyrównać mianownik transmitancji zastępczej przyrównany do zera. Otrzymamy tym
sposobem równanie charakterystyczne badanego układu
s12s13s10.1s10,3 k R =0
0.6s 47.1s311.6s2 6.1s10.3k R =0
a 4 s 4a 3 s 3a 2 s 2 a 1 sa 0 =0
a 4=0.6 , a 3=7.1 ,a 2=11.6 ,a 1 =6.1 , a 0=10.3k R
c) Sprawdzamy, czy pierwszy warunek z kryterium Hurwitza jest spełniony (wzór 3.6 w instrukcji
do ćwiczenia). W naszym przypadku warunek ten jest spełniony
d) Z drugiego warunku wyznaczamy kR : wyznacznik główny Hurwitza u nas ma postać
∣
∣∣
∣
a 3 a 4 0 0 7.1
0.6
0
0
a a 2 a 3 a 4 6.1
11.6
7.1
0.6
= 1
=
0
10.3k

6.1
7.1
0 a0 a1 a2
0
0
0 10.3k 
0 0 0 a0
Sprawdzamy  2 i 3
a a 4 7.1 0.6
 2= 3
=
=7.1⋅11.6−6.1⋅0.60
a 1 a 2 6.1 11.6
∣ ∣∣
∣
¿
∣ ∣∣
∣
a 3 a 4 0 7.1
0.6
0
3 = a 1 a 2 a 3 = 6.1
11.6
7.1 =6.1⋅11.6⋅7.1−¿
0 10.3k R  6.1
0 a0 a1
−[7.12⋅10.3k R ]−6.12⋅0.60
Jak 3 przyrównamy do zera to z otrzymanej równości wyznaczymy krytyczną wartość
współczynnika wzmocnienia regulatora k kr
2
2
6.1⋅11.6⋅7.1−0.6⋅6.1 −7.1 429.66
k kr =
=
=28.41
15.123
0.3⋅7.12
3. Wykorzystując program CODAS narysować wykresy charakterystyk skokowych układu dla trzech
wartości kR::
kR < kR kr - układ stabilny,
kR = kR kr - układ na granicy stabilności,
kR > kR kr
-
układ niestabilny.
4. Wykorzystując program CODAS narysować charakterystyki częstotliwościowe pozwalające
potwierdzić wyniki pkt. 3 przy pomocy obydwóch poznanych form kryterium Nyquista.
5. Wyznaczyć zapas modułu i zapas fazy układu dla kR stosowanego w pkt. 3, dla którego układ był
stabilny.