3a 4a 4a 2a 2a 2a 5a 3a 4a 0,5a 4a 2a 2a 2a 5a

Przykład 4.4. Rdzeń przekroju
Wyznaczyć rdzeń poniższego przekroju.
5a
4a
2a
2a
2a
3a
4a
Rozwiazanie
˛
Rozwiazywanie
˛
zadania rozpoczać
˛ należy od określenia charakterystyk geometrycznych przekroju. Aby znaleźć środek ci˛eżkości należy przyjać
˛ wyjściowy układ współrz˛ednych Yp OZp .
5a
2a
2a
2a
Zp
4a
O
Yp
0,5a
3a
4a
Rozpatrywany przekrój jest figura˛ złożona,˛ co oznacza, że nie potrafimy bezpośrednio określić
położenia jego środka ci˛eżkości. Aby znaleźć ten punkt należy podzielić badany przekrój na
1
figury proste, tj. takie, dla których znamy położenie środka ci˛eżkości (prostokaty,
˛ trójkaty,
˛
wycinki koła). Przyj˛eto podział na trzy figury: prostokat
˛ o wymiarach 7a x 8a, kwadrat o boku
4a i trójkat
˛ prostokatny
˛
o wymiarach przyprostokatnych
˛
5a i 2a. Dwie ostatnie figury b˛eda˛
traktowane jak figury o polu ujemnym.
2a
⁄a
⁄ a
53
43
z3
⁄a
23
⁄a
10 3
2a
y3
2a
O
Zp
z1
y1
2a
z2
Yp
y2
3,5a
1,5a
2a
Pole badanego przekroju jest równe:
A = 7a · 8a − (4a)2 −
1
· 5a · 2a = 56a2 − 16a2 − 5a2 = 35a2
2
zaś momenty statyczne
Sy p
Sz p
5
= 56a · 0 − 16a · 1,5a − 5a · 3,5a − a = −24a3 − 9,167a3 = −33,17a3
3
4
2
2
2
= 56a · 0 − 16a · 2a − 5a · −2a − a = −32a3 + 16,67a3 = −15,33a3
3
2
2
2
stad
˛ środek ci˛eżkości ma współrz˛edne
Sz c
−15,33a3
=
= −0,4381a
A
35a2
Sy
−33,17a3
zp = c =
= −0,9476a
A
35a2
yp =
2
2a
⁄a
⁄ a
53
23
⁄a
10 3
y1
Y
Zp
43
2a
Z
2a
O
z1
z2
2a
C
0,4381a
y3
⁄a
z3
Yp
y2
0,9476a
3,5a
1,5a
2a
Obliczmy momenty bezwładności przekroju wzgl˛edem osi Yp i Zp .
"
# "
2 #
(4a)4
2a · (5a)3
5
8a · (7a)3
2
2
2
−
+ 16a · (1,5a) −
+ 5a · 3,5a − a
=
Jy p =
12
12
36
3
= 228,7a4 − 57,33a4 − 23,75a4 = 147,6a4
"
2 #
7a · (8a)3 (4a)4
5a · (2a)3
4
Jz p =
=
−
−
+ 5a2 · −2a − a
12
3
36
3
= 298,7a4 − 85,33a4 − 56,67a4 = 156,7a4
"
#
2
2
(5a)
·
(2a)
5
4
Jyp zp = −16a2 · 1,5a · 2a −
+ 5a2 · 3,5a − a · −2a − a
=
72
3
3
= −48a4 + 29,17a4 = −18,83a4
Korzystajac
˛ ze wzorów Steinera można obliczyć wartość momentów bezwładności wzgl˛edem
osi centralnych Y Z.
Jy = 147,6a4 − 35a2 · (−0,9476a)2 = 116,2a4
Jz = 156,7a4 − 35a2 · (−0,4381a)2 = 149,9a4
Jyz = −18,83a4 − 35a2 · (−0,9476a) · (−0,4381a) = −33,36a4
Stad
˛ kwadraty promieni bezwładności oraz iloraz
symbol, nie zaś jako kwadrat liczby):
116,2a4
Jy
=
= 3,319a2
A
35a2
Jz
149,9a4
iz2 =
=
= 4,284a2
A
35a2
Jyz
−33,36a4
iyz2 =
=
= −0,9532a2
A
35a2
iy2 =
3
Jyz
A
≡ iyz2 maja˛ wartości (iyz2 traktujemy jako
Poszukiwany rdzeń przekroju wyznaczać b˛edziemy we współrz˛ednych centralnych, a nie głównych centralnych. Podejście to ma szereg zalet powodujacych,
˛
że zastosowanie go w rozpatrywanym przypadku jest bardziej racjonalne ze wzgl˛edu na nakład oblicze ń. Po pierwsze nie
ma potrzeby wyznaczania osi głównych przekroju oraz momentów bezwładności i promieni
bezwładności wzgl˛edem tych osi. Po drugie nie musimy dokonywać transformacji współrz˛ednych punktów przekroju z układu centralnego do układu głównego centralnego.
Współrz˛edne wierzchołków rdzenia przekroju, określone w układzie centralnym Y CZ, oblicza
si˛e z wzorów:
4,284a2 −0,9532a2
4,284a2 0,9532a2
iz2 iyz2
−
=−
−
=−
+
ay
az
ay
az
ay
az
2
2
2
2
2
iy
iyz
3,319a
−0,9532a
3,319a
0,9532a2
zp = − −
=−
−
=−
+
az
ay
az
ay
az
ay
yp = −
gdzie ay i az oznaczaja˛ współrz˛edne punktów przeci˛ecia przyj˛etych osi oboj˛etnych z osiami
współrz˛ednych. Osie oboj˛etne należy oczywiście przyjmować w taki sposób, by tworzyły one
obrys badanego przekroju. W rozpatrywanym przypadku należy przyjać
˛ sześć różnych położeń
osi oboj˛etnej.
5a
2
2a
4
Z
5
C
0,4381a
2a
2a
2a
3
6
3
5
4
1
0,9476a
3a
0,5a 3,5a
2
6
1
2a
Y
Dla osi 1-1
ay = 4a + 0,4381a = 4,438a
az = ±∞
4
tak wi˛ec współrz˛edne odpowiadajacego
˛
tej osi punktu rdzenia maja˛ wartość:
4,284a2 0,9532a2
+
= −0,9653a
4,438a
±∞
3,319a2 0,9532a2
+
= 0,2148a
=−
±∞
4,438a
y p1 = −
z p1
Analogicznie obliczane sa˛ współrz˛edne punktów rdzenia odpowiadajacych
˛
pozostałym osiom
oboj˛etnym.
Dla osi 2-2
ay = ±∞
az = 0,9476a − 3,5a = −2,552a
4,284a2 0,9532a2
+
= −0,3735a
±∞
−2,552a
0,9532a2
3,319a2
+
= 1,300a
=−
−2,552a
±∞
y p2 = −
z p2
Dla osi 3-3
ay = −4a + 0,4381a = −3,562a
az = ±∞
0,9532a2
4,284a2
+
= 1,203a
−3,562a
±∞
3,319a2 0,9532a2
=−
+
= −0,2676a
±∞
−3,562a
y p3 = −
z p3
Dla osi 4-4
ay = 0,4381a − 4a + (3,5a − 0,9476a − 2a) ·
az = 0,9476a + 3,5a + (2a − 0,4381a) ·
y p4
z p4
5
= 8, 352a
2
4,284a2
0,9532a2
=−
+
= 1,396a
−3,341a
8, 352a
3,319a2 0,9532a2
+
= −0,6827a
=−
8, 352a
−3,341a
Dla osi 5-5
ay = ±∞
az = 0,9476a + 3,5a = 4,448a
4,284a2 0,9532a2
+
= 0,2143a
±∞
4,448a
3,319a2 0,9532a2
+
= −0,7462a
=−
4,448a
±∞
y p5 = −
z p5
2
= −3,341a
5
5
Dla osi 6-6
ay = 0,4381a + 4a + (0,9476a + 3,5a − 4a) ·
az = 0,9477a + 3,5a + 0,4381 ·
4
= 4,886a
4
4
= 4,886a
4
4,284a2 0,9532a2
+
= −0,6818a
4,886a
4,886a
3,319a2 0,9532a2
+
= −0,4842a
=−
4,886a
4,886a
y p6 = −
z p6
Wyznaczone punkty stanowia˛ wierzchołki szukanego rdzenia przekroju, którego kształt pokazany jest na rysunku poniżej.
5a
2
2a
6 1
5C
2
4
Z
5
4 3
0,4381a
2a
2a
2a
3
6
3
5
4
1
0,9476a
3a
0,5a 3,5a
2
6
1
2a
Y
Należy zwrócić uwag˛e, że rdzeń funkcji jest figura˛ wypukła˛ zawierajac
˛ a˛ środek ci˛eżkości przekroju. Własność t˛e można wykorzystać w celu sprawdzenia poprawności wykonanych obliczeń.
6