MES

GoBack
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
– przykład rozwiązania kratownicy
materiały pomocnicze do zajęć z przedmiotu
Metody Komputerowe
Rzeszów 2007
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 1
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Wprowadzenie
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 2
Równanie MES
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Równanie metody elementów skończonych dla modelu w globalnym układzie odniesienia zapisać możemy jako:
K · a = f,
(1)
gdzie K jest globalną macierzą sztywności analizowanego układu, a wektorem parametrów węzłowych (przemieszczeń, obrotów - jeśli występują),
f wektorem (węzłowych) obciążeń zewnętrznych.
Podobną zależność zapisać możemy również dla pojedynczego elementu
skończonego:
ki · Vi = Si ,
(2)
gdzie ki jest macierzą sztywności i-tego elementu w układzie globalnym,
Vi wektorem parametrów węzłowych elementu, Si obciążeniem działającym w węzłach i-tego elementu.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 3
Macierz kierunkowa
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Przejście pomiędzy lokalnym układem współrzędnych (dla danego elementu) oraz globalnym układem współrzędnych (dla całej konstrukcji)
wymaga uwzględnienia różnicy kątów pomiędzy osiami obu układów.
Macierz kosinusów w przestrzeni 2D zapisać możemy jako
cos(x, ξ) cos(x, η)
cos(α) − sin(α)
ci =
=
,
(3)
cos(y, ξ) cos(y, η)
sin(α) cos(α)
gdzie x, y są osiami globalnego układu
współrzędnych, ξ, η są osiami układu lokalnego, zaś α wyraża kąt pomiędzy osiami obu układów odniesienia.
Przyjmując dla uproszczenia założenie, że
c = cos(α) oraz s = sin(α), równanie (3)
skraca się do postaci
c −s
ci =
.
s c
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 4
Transformacja
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Aby transformować wektory obciążenia (pomiędzy układami odniesienia), posłużyć należy się następującymi formułami podanymi w notacji
macierzowej
Si = Ci · Si,l
⇔
Si,l = CTi · Si .
(4)
W identyczny sposób transformują się wektory przemieszczeń
Vi = Ci · Vi,l
⇔
Vi,l = CTi · Vi .
(5)
Wymiar tzw. macierzy kierunkowej Ci zależeć może np. od liczby stopni swobody w węźle i liczby węzłów w danym elemencie. Przykładowo
dla elementu prętowego z dwoma stopniami swobody w każdym węźle,
macierz kierunkowa będzie mieć wymiar 4×4 i przyjmie postać


c −s 0 0
 s c 0 0 
ci 0
.
Ci =
=
(6)

0 ci
0 0 c −s 
0 0 s c
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 5
Transformacja
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Wówczas formułę transformacji wektora obciążeń (4) zapisać możemy
jako
i  "
i 
 h
 h
#
S1
N
ξ
c −s 0
0
 h
|
S2
S3
S4
{z
Si
i1  =
2
}
s
0
0
|
0
c
s
c
0
0
{z
Ci
0
−s
c
·
} |
h
Tη
Nξ
Tη
{z
Si,l
i1 
2
}
Zapisując równianie MES dla elementu w układzie lokalnym (analogicznie do (2)) jako
Si,l = ki,l Vi,l
możemy podstawić je do równania (4), a uwzględniając zależność (5)
dostaniemy
Si = Ci ki,l Vi,l = Ci ki,l CTi Vi = ki Vi
| {z }
ki
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 5
Transformacja
Wprowadzenie
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Transformacja
Przez analogię do równania MES spostrzec można, że równanie transformacji lokalnej macierzy sztywności elementu w macierz globalną elementu zdefiniować możemy zależnością
ki = Ci · ki,l · CT
i
(4)
Zatem dla wspomnianego elementu prętowego z dwoma stopniami swobody w każdym węźle, przekształcenie macierzy lokalnej w globalną
przyjmie postać:
" 1 0 −1 0 # " c −s 0 0 #
" c −s 0 0 #
ki =
s
0
0
EA
ki =
l
0
c
s
c
0
0


2
c
cs
−c2
−cs
Metoda Elementów Skończonych
0
−s
c
cs
s2
−cs
−s2
·
EA
l
2
−c
−cs
c2
cs
0
1
0
−cs
−s2
cs
s2
0
0
0


0
−1
0
EA
=
l
0
0
0
h
s
0
0
(i)
k11
(i)
k21
(i)
k12
(i)
k22
c
0
0
i
0
c
s
0
−s
c
(5)
Strona – 5
Przykład 2D
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 6
Schemat
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Dla przykładu rozwiążmy za pomocą MES prosty układ kratownicowy,
którego schemat pokazano na poniższym rysunku.
Rysunek 1: Schemat kratownicy.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 7
Dyskretyzacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Pierwszym etapem algorytmu MES jest dyskretyzacja (idealizacja)
rozważanego modelu. Polega to przede wszystkim na podziale konstrukcji
na elementy skończone, a następnie ponumerowaniu zdefiniowanych
w ten sposób węzłów i elementów.
Rysunek 2: Dyskretyzacja układu kratownicy.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 8
Analiza elementu
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Następnie w każdym z węzłów
przyjmujemy odpowiednią do danego typu elementu liczbę stopni
swobody. Dla elementu kratownicowego (T=0) sytuacja ta pokazana została na rysunku obok.
Lokalną macierz sztywności i–
tego elementu kratownicowego
zapisać możemy jako:
ki,l

1
EA 
 0
=
l  1
0
Metoda Elementów Skończonych
0
0
0
0
Rysunek 3: Dodatnie kierunki sił
dla układu lokalnego i globalnego.

−1 0
0 0 

−1 0 
0 0
(6)
Strona – 9
Macierze sztywności elementu
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Korzystając z równania (4) otrzymujemy globalną macierz sztywności ki
dla i–tego elementu w postaci (5):
" 2
#
2
ki =
EA
l
c
cs
−c2
−cs
cs
s2
−cs
−s2
−c
−cs
c2
cs
−cs
−s2
cs
s2
Zatem dla kolejnych elementów naszego modelu, nachylonych do układu
globalnego pod kątem α, dostaniemy
1 0 −1 0 ◦
(α = 0 , c = 1, s = 0)
◦
(α = 90 , c = 0, s = 1)
◦
(α = 45 , c = s =
Metoda Elementów Skończonych
√
2
2
)
k2 = k4 = k6 =
k1 = k5 =
k3 = k7 =
EA
0
−1
0
l
EA
l
EA
l
"
0
0
0
0
1
2
1
2
−1
2
−1
2
0
0
0
0
1
0
−1
1
2
1
2
−1
2
−1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
1
−1
2
−1
2
1
2
1
2
−1
2
−1
2
1
2
1
2
#
Strona – 10
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Kolejnym etapem algorytmu MES złożenie macierzy sztywności każdego
z elementów w globalną macierz całego układu wg zależności
K = K1 + K2 + . . . + K7
(7)
Macierze sztywności Ki muszą uwzględniać zarówno informację o początkowym i końcowym węźle danego elementu, jak
również położenie danego elementu w analizowanym układzie.
Konstruując zatem globalną macierz sztywności K1 (dla elementu nr 1), wiemy że element ten ma swój początek w węźle nr 2
(wg globalnej numeracji węzłów) oraz koniec w węźle nr 1. Jeśli
przyjmiemy dla układu lokalnego, że początek jest punktem nr 1,
a koniec 2, wówczas:
✔
✔
przypadkowi węzła 1-1 odpowiada lokalna numeracja 2-2, co
(1)
wskazuje na element k22 globalnej macierzy sztywności k1
połączeniu węzłów 1-2 odpowiada lokalna numeracja 2-1, co
(1)
wskazuje na element k21 globalnej macierzy sztywności k1
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Przechodząc do węzła nr 2 napisać możemy, że:
✔
✔
przypadkowi węzła 2-2 odpowiada lokalna numeracja 1-1, co wska(1)
zuje na element k11 globalnej macierzy sztywności k1
dla przypadku połączenia 2-1 odpowiada lokalna numeracja 1-2, co
(1)
wskazuje na element k12 globalnej macierzy sztywności k1
Na tej podstawie zbudować możemy teraz globalną macierz K1 , umiesz(1)
czając podmacierze kij na miejscach odpowiadającym indeksom wyznaczonym przez numery węzłów, jak następuje

 (1)
(1)
k22 k21 0 0 0
 k(1) k(1) 0 0 0 

11
12
EA 


K1 =
0
0
0
0
0


l 
0
0
0 0 0 
0
0
0 0 0
gdzie wymiar macierzy K1 odpowiada liczbie węzłów (5 × 5).
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Dla elementu nr 2 (poziomy), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
✔
✔
✔
1-1
1-3
3-3
3-1
⇒
⇒
⇒
⇒
(2)
k11
(2)
k12
(2)
k22
(2)
k21
Zatem globalna macierz
 (2)
k11
 0
EA 
 k(2)
K2 =
21
l 
 0
0
Metoda Elementów Skończonych
K2 dla elementu nr 2 przyjmuje postać

(2)
0 k12 0 0
0
0
0 0 

(2)
0 k22 0 0 

0
0
0 0 
0
0
0 0
Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Dla elementu nr 3 (skośny), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
✔
✔
✔
2-2
2-3
3-3
3-2
⇒
⇒
⇒
⇒
(3)
k11
(3)
k12
(3)
k22
(3)
k21
Zatem globalna macierz K3 dla elementu

0
0
0
0 0
 0 k(3) k(3) 0 0
12
11
EA 
(3)
(3)
 0 k
K3 =
k22 0 0
12
l 
 0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
Metoda Elementów Skończonych
nr 3 przyjmuje postać






Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Dla elementu nr 4 (poziomy), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
✔
✔
✔
2-2
2-4
4-4
4-2
⇒
⇒
⇒
⇒
(4)
k11
(4)
k12
(4)
k22
(4)
k21
Zatem globalna macierz K4

0
0
 0 k(4)
11
EA 
 0
0
K4 =
l 
 0 k(4)
21
0
0
dla elementu nr 4 przyjmuje postać

0
0
0
(4)
0 k12 0 

0
0
0 

(4)
0 k22 0 
0
0
0
Analogicznie tworzymy macierze Ki dla pozostałych elementów (5 do 7),
co zaleca się wykonać samodzielnie.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Ponieważ w przedstawionym na poprzednich slajdach zapisie, macierza(e)
mi są zarówno składniki kij (por. równ. 5) jak również (pogrubione)
zera, stąd po uwzględnieniu wartości macierzy k4 , macierz sztywności
K4 ostatecznie przyjmuje postać:


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 


 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 


 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 



EA  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

K4 =

l  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 


 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 


 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Agregacja
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Mając zdefiniowane macierze sztywności Ki dla
P7wszystkich elementów
(i = 1 ÷ 7) i dokonując ich sumowania K = i=1 Ki (por. równ. 7),
otrzymujemy globalną macierz sztywności K całego układu:







EA 
K=

l 




1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
3
2
3
2
− 21
− 21
1
2
1
2
− 21
− 21
−1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
− 12
− 12
0
0
− 21
− 21
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
−1
0
0
−1
0
0
3
2
1
2
− 21
− 21
1
2
1
2
− 12
− 12
5
2
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
−1
0
− 12
− 12
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
− 21
− 21
1
2
1
2












Uwaga: Otrzymana macierz K jest macierzą osobliwą (det K = 0)! Nie
jest możliwe zatem wyznaczenie (na tym etapie) macierzy odwrotnej K−1 =
1
KD . Do tej pory, przy budowie macierzy K, uwzględnione zostały warundet K
ki równowagi oraz zgodności przemieszczeń, natomiast nie narzucono żadnych
ograniczeń kinematycznych (warunków brzegowych).
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Wektor przemieszczeń i obciążenia
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Przyjmijmy następujące założenia:
✔
✔
niech wektor przemieszczeń a zawiera składowe przemieszczenia
w układzie globalnym) każdego z węzłów analizowanego układu,
oraz na wektor sił f niech składają (znane) siły potencjalnie występujących w węzłach.
Powyższe sformułowania zapisać możemy jako




a1x
f1x
 a1y 
 f1y 




 a2x 
 f2x 




 a2y 
 f2y 




 a3x 
 f3x 



a=
 a3y  , f =  f3y  .




 a4x 
 f4x 




 a4y 
 f4y 




 a5x 
 f5x 
a5y
f5y
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 12
Warunki brzegowe
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Z uwagi na warunki podparcia naszego układu zapisać możemy następujące warunki brzegowe:
✔
✔
✔
a2x = 0,
a2y = 0,
a4y = 0.
Wartości tych jednak nie podstawiamy wprost do wektora przemieszczeń a, lecz wpisujemy je w odpowiednie miejsca wektora sił f . W konsekwencji pozwala to zmodyfikować wartości macierzy sztywności K w taki sposób, że w miejscach przecięcia się wybranych wierszy i kolumn
wstawiamy wartość 1, natomiast pozostałe wartości w tych wierszach
i kolumnach zerujemy.
Dzięki temu macierz K staje się macierzą nieosobliwą i możliwe jest
wyznaczenie K−1 . Ostateczny wygląd macierzy sztywności K oraz wektora obciążenia f pokazany został na kolejnym slajdzie. Zmodyfikowane
składniki wyróżniono kolorem czerwonym.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 13
Rozwiązanie równania MES
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Po uwzględnieniu warunków brzegowych macierz sztywności K oraz wektor obciążenia f przyjmą wartość:

 1 0 0 0 −1 0
0
0
0
0
 f1x   0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
f1y
0
0
0
0
0

 00 00 10 01 00 00
f
0
2x
0
0
0
0
 f2y   0 

 −1 0 0 0 5 1
  0 
0
−1
0
0
EA 
, f = 
2
2
f3x 

.
1
1
= 
K =
0
0
0
0

 0 0 0 0 2 2
f3y 
0



l
3
 0 0 0 0 0 0
0
−1 
0
−1
f4x 



2
2
2

 0 0 0 0 0 0
0
f4y
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
2
−1
2
0
0
3
2
1
2
1
2
1
2
f5x
f5y
0
−P
W ten sposób pozbyliśmy się osobliwości macierzy K. Przekształcając
następnie równianie (1) do postaci
a = K−1 f ,
wyznaczyć możemy nieznane przemieszczenia węzłów rozpatrywanego
układu. Dalej, znając przemieszczenia a, określić możemy siły wewnętrzne każdego z elementów.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 14
Wyznaczenie sił przekrojowych
Wprowadzenie
Przykład 2D
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Weźmy dla przykładu elementu nr 2, dla którego zapisać możemy równanie S2 = k2 V2 . Wynika z niego, że:




a1x
S1


 S2 
 = k2 ·  a1y 

 a3x 
 S3 
a3y
S4
Korzystając z równań transformacji (4) lub (5) łatwo możemy przejść do
układu lokalnego i wyznaczyć wartości sił przekrojowych Q oraz N:








a1x
N1
S1
N1






 Q1 
 = CTi ·  S2  lub  Q1  = k2,l · CTi ·  a1y 

 a3x 
 N2 
 S3 
 N2 
a3y
Q2
S4
Q2
Tym sposobem dobrnęliśmy do końca przykładu. Z uwagi na ludzką niedoskonałość prezentacja
może zawierać pewne błędy numeryczne. Dlatego w trakcie samodzielnej pracy nigdy nie może
zabraknąć czujności.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 15