Temat: Niezawodność deterministyczna i probabilistyczna sieci

Temat: Niezawodno deterministyczna i probabilistyczna
sieci. Algorytmy wyznaczaj ce niezawodno sieci.
1.
Przypadek deterministyczny
Niech G = <V, E> b dzie grafem zorientowanym definiuj cym
topologi
(struktur ) pewnej sieci (np. komputerowej,
wiatłowodowej, energetycznej).
Przez ϑij(G) oznaczmy minimaln liczb kraw dzi jak trzeba
usun z grafu, aby przerwa poł czenie na wszystkich cie kach
mi dzy w złami i oraz j w grafie G.
Def. Niezawodno ci deterministyczn G = <V, E> nazywamy
minimaln liczb kraw dzi, jaka musi by usuni ta z grafu G, by
przerwa wszystkie mo liwe poł czenia mi dzy co najmniej
jedn par ró nych wierzchołków tej sieci.
Niezawodno
przez ϑ(G).
Oczywi cie
deterministyczn
sieci G b dziemy oznaczali
.
Niezawodno
deterministyczn sieci mo emy wyznaczy
stosuj c algorytm rozwi zuj cy problem maksymalnego
przepływu. Wynika to z twierdzenia o maksymalnym przepływie
i minimalnym przekroju.
Idea algorytmu wyznaczania niezawodno ci deterministycznej
sieci
Przyjmujemy, e ka da kraw d (i, j) grafu ma przepustowo cij
równ 1. Nast pnie wyznaczamy maksymalny przepływ mi dzy
ka d par wierzchołków (i, j) w grafie. Warto tego przepływu
jest jednocze nie przepustowo ci minimalnego i - j przekroju,
wi c jest równa ϑij(G). Minimalna warto ϑij(G) dla wszystkich
par wierzchołków i, j jest równa niezawodno ci sieci G.
1
Koszt algorytmu wyznaczania niezawodno ci deterministycznej:
Maksymalny przepływ dla sieci zero-jedynkowej mo emy
wyznaczy kosztem O(min{n2/3m, m3/2}) (algorytm hybrydowy,
który z zale no ci od specyfiki sieci u ywa metody EdmondsaKarpa albo Forda-Fulkersona, patrz wykład nr 7). Algorytm
wyznaczania maksymalnego przepływu musi by wywołany dla
wszystkich par ró nych wierzchołków grafu, st d koszt ł czny
wynosi: O(min{n4/3m, n2m3/2})
Przykład
i = 1, j = 4
ϑ14(G) = 2
1
2
1
1
3
4
1
ϑ(G) = 1
Dla sieci niezorientowanych lub mieszanych (niektóre kraw dzie
s zorientowane a inne nie) mo emy zastosowa zast pienie sieci
niezorientowanej sieci
zorientowan . Ka d
kraw d
niezorientowan zast pujemy par kraw dzi zorientowanych.
Je eli kraw d {i, j} jest niezorientowana, to zast pujemy j
kraw dziami (i, j) oraz (j, i) i ka dej przypisuj c przepustowo
równ 1. Generuj c jednak przepływ w takiej sieci dbamy o to,
aby spełniał on warunek: f(i, j)⋅f(j, i) = 0 dla ka dej
niezorientowanej kraw dzi grafu G, czyli przypływ mo e by
niezerowy tylko na jednym z dwóch kierunków ka dej
niezorientowanej kraw dzi.
2
Przykład
i = 1, j = 7
ϑ17(G) = 4
2
1
1
1
1
G:
0
1
3
1
7
1
0
0
4
1
1
0
5
ϑ(G) = 3
2.
Przypadek niedeterministyczny
Zakładamy,
e ł cza (kraw dzie) w sieci ulegaj
niezale nym
losowym
uszkodzeniom
i
wzajemnie
znamy
warto
prawdopodobie stwa niezawodno ci ka dego ł cza. Warto ci
tego prawdopodobie stwa s wyznaczane empirycznie. Sie jest
wówczas
reprezentowana
przez
graf
probabilistyczny
(stochastyczny). Dla ka dej kraw dzi e grafu przyporz dkowana
jest
zatem
liczba
rzeczywista
pe,
która
okre la
prawdopodobie stwo zdarzenia polegaj cego na tym, e kraw d
e jest sprawna. Zakładamy,
e kraw dzie sieci ulegaj
uszkodzeniom niezale nie (zdarzenia niezale ne).
3
W dalszej cz ci wykładu b dziemy zakładali,
e sie
jest
niezorientowana i spójna. B dziemy równie zakładali, e w zły
sieci s całkowicie niezawodne.
Def. Niezawodno
dwóch terminalna (ang. 2-terminal reliability)
okre la prawdopodobie stwo, e pomi dzy dwoma ustalonymi
w złami sieci istnieje sprawna cie ka, tzn. wszystkie kraw dzie
tej cie ki s sprawne.
Def. Niezawodno
wszystkich terminali (ang. all-terminal
reliability) definiujemy jako prawdopodobie stwo, e wszystkie
pary w złów s poł czone ze sob co najmniej jedn sprawn
cie k .
Def. Niezawodno
K-terminali (ang. K-terminal reliability) jest
definiowana jako prawdopodobie stwo,
e dla ka dej pary
w złów z ustalonego podzbioru K, istnieje sprawna
cie ka
mi dzy tymi w złami.
Poj cie niezawodno ci K-terminali jest uogólnieniem dwóch
poprzednich poj , tj. niezawodno ci dwóch terminali (|K| = 2) i
niezawodno ci wszystkich terminali (|K| = |V| = n).
Sie z wyró nionym podzbiorem w złów b dziemy oznacza
przez GK, a niezawodno
tej sieci przez R(GK).
4
Wybór pomi dzy niezawodno ci dwóch terminali, K-terminali i
wszystkich terminali zale y od tego, z której strony spojrzymy na
interesuj c
nas sie . Je eli mamy do czynienia z sieci
komputerow , to niezawodno
dwóch terminali pozwala nam na
dostrze enie zdolno ci przesyłu informacji mi dzy dwoma
hostami. Takie podej cie najbardziej interesuje ko cowego
u ytkownika sieci, który wysyła informacje do innego hosta. Nie
interesuje go wówczas to, czy w zły sieci reprezentowane s
poprzez routery, switche czy inne hosty. Z kolei niezawodno
wszystkich terminali jest potrzebna z punktu widzenia dostawcy
internetowego, który musi dba
o to, by ka dy z hostów
podł czonych do sieci miał ze sob poł czenie.
Niezawodno
niedeterministyczna K-terminali jest warto ci
prawdopodobie stwa zdarze niezale nych. Okre la j wzór, do
wyja nienia którego potrzebne jest wprowadzenie poj
takich
jak K-przekrój i minimalny K-przekrój.
Def. K - przekrój to ka dy podzbiór kraw dzi, którego usuni cie
z grafu G rozspójnia ustalony podzbiór wierzchołków K.
5
Przykład
K = {2, 3}
1
2
3
4
Def. Minimalny K - przekrój to minimalny co do liczno ci zbiór
kraw dzi, których usuni cie z grafu G rozspójnia ustalony
podzbiór wierzchołków K.
Przykład
K = {2, 3}
1
2
3
4
6
Niezawodno ci K-terminali wyra a si wzorem
R (GK ) = 1 −
m
l =c
∏ (1 − p )∏ p
e
H ∈Ω K e∈H
e∉H
e
=1−
m
l =c
QK
gdzie:
c - rozmiar minimalnego K – przekroju grafu GK.
Ω K - zbiór zawieraj cy wszystkie K – przekroje grafu GK
- zawodno
K - przekroju w grafie GK. Prawdopodobie stwo
zdarzenia polegaj cego na tym, e co najmniej jedna para
terminali zbioru K nie ma poł czenia
Aby obliczy
niezawodno
sieci GK nale y wygenerowa
wszystkie podgrafy, w których zbiór terminali K jest niespójny.
Sumuj c
wyliczon
zawodno
otrzymujemy niezawodno
QK
takich
podgrafów
całej grafu GK.
7
Przykład
K = {2, 3} c = 2
1
2
3
4
R(GK) = 1- [„zawodno
„zawodno
przekrojów o dwóch kraw dziach” +
przekrojów o trzech kraw dziach” + „zawodno
przekroju o czterech kraw dziach”] =
R(GK) = 1- [(1 - p12)⋅⋅(1 - p24) ⋅p14⋅p13⋅p34 +(1 - p13)⋅⋅(1 – p34)
⋅p12⋅p24⋅p14 + „zawodno
„zawodno
3.
przekrojów o trzech kraw dziach” +
przekrojów o czterech kraw dziach”]
Algorytm wyznaczania przybli onej niezawodno ci
Problem wyznaczania niezawodno ci K-terminali nale y do
rodziny problemów NP-zupełnych. W zwi zku z tym,
algorytmy rozwi zuj ce ten problem maj
e
nierozs dny czas
wykonywania dla du ych grafów opracowano wiele algorytmów
przybli onych. Literatura podaje kilka ró nych metod obliczania
niezawodno ci sieci metodami aproksymacyjnymi. Niektóre z
8
tych algorytmów mog
by
stosowane wył cznie dla sieci o
wysokiej niezawodno ci, czyli takich, w których warto ci pe s
bliskie jedynki (nale
do przedziału (0.9,1). Mo emy okre li
wzór na przybli on niezawodno
R(GK ) ≈ 1 −
takiej sieci:
∏ (1 − p )
e
H ∈Ωc e∈H
gdzie Ω c to zbiór wszystkich minimalnych K-przekrojów sieci.
Gdy warto ci pe s bliskie jedynki, to warto ci 1-pe s bliskie
zeru, co powoduje, e zawodno
wi kszych K-przekrojów ni
minimalne nie wpływa znacz co na warto
Przybli on
warto
niezawodno ci sieci.
niezawodno ci mo na zatem wyznaczy
generuj c tylko minimalne K-przekroje sieci
Idea algorytmu wyznaczaj cego przybli on niezawodno
sieci
1. Wyznaczamy liczb kraw dzi minimalnego K - przekroju.
Oznaczamy ten rozmiar minimalnego przekroju przez c.
2. Generujemy wszystkie podgrafy o c kraw dziach.
3. Sprawdzamy, które z wygenerowanych podgrafów s
przekrojami rozspójniaj cymi podzbiór w złów K-terminali.
4. Je eli który podgraf spełnia warunek z 3. to wyznaczamy
iloczyn prawdopodobie stw zawodno ci jego kraw dzi.
5. Wyznaczamy sum iloczynów z pkt. 4. Jej warto
od jedynki daje niezawodno
odj ta
całej sieci.
9
Pytanie: Jak wyznaczy warto
c, czyli rozmiar minimalnego
K – przekroju?
Koszt algorymu wyznaczaj cego przybli on niezawodno
Wyznaczanie
warto ci
c
mo na
zrealizowa
sieci:
kosztem
O(min{|K|2n2/3m, |K|2m3/2}) (Uzasdnij !!!)
Generowanie wszystkich podzbiorów c – elementowych kraw dzi
sieci ma koszt O(nc).
Sprawdzenie, czy wygenerowany podgraf o c kraw dziach
rozspójnia podzbiór K mo na zrealizowa przez zastosowanie
przegl daniagrafu czyli kosztem O(n + c).
Iloczyn zawodno ci kraw dzi wygenerowanego podgrafu, który
nie zapewnia spójno ci podzbioru K mo na wyznaczy kosztem
O(c).
Zatem całkowity koszt algorytmu wynosi:
O(min{|K|2n2/3m + nc, |K|2m3/2 + nc })
10