Silny indeks chromatyczny grafów

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Michał Dębski
Silny indeks chromatyczny grafów
autoreferat rozprawy doktorskiej
Promotor rozprawy
Prof. dr hab. Jarosław Grytczuk
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
Październik, 2015
1
Wst¦p
Silnym kolorowaniem kraw¦dzi grafu
G nazywamy kolorowanie kraw¦dzi G w taki
sposób, »e kraw¦dzie w ka»dym z kolorów tworz¡ indukowane skojarzenie w
G
sªowy, »adna z kraw¦dzi
G
(innymi
nie mo»e przecina¢ dwóch kraw¦dzi w tym samym kolorze).
Silny indeks chromatyczny grafu
G,
oznaczany
kolorów w silnym kolorowaniu kraw¦dzi grafu
s0 (G),
to minimalna mo»liwa liczba
G.
Silne kolorowanie kraw¦dzi modeluje problem przydziaªu kanaªów w sieci bezprzewodowej, gdzie relacja osi¡galno±ci jest symetryczna, tzn. je»eli jaki± w¦zeª
w¦zªa
v,
wówczas równie» w¦zeª
v
jest w zasi¦gu w¦zªa
u
u
jest w zasi¦gu
([2] i [12]). Zakªadamy, »e ka»da
para w¦zªów b¦d¡cych nawzajem w swoim zasi¦gu b¦dzie si¦ komunikowa¢ i poszukujemy
takiego przydziaªu kanaªów, aby caª¡ komunikacja mogªa si¦ odbywa¢ jednocze±nie.
u
u
w
w
x
x
v
v
y
y
(a) Pozycje w¦zªów.
(b) Odpowiadaj¡cy graf.
Rysunek 1: Model komunikacji w sieci bezprzewodowej.
Aby komunikacja przebiegªa pomy±lnie, przydziaª kanaªów musi speªnia¢ nast¦puj¡cy
warunek: je»eli w¦zªy
s¡siaduj¡cych z
u, v
u
i
v
komunikuj¡ si¦ u»ywaj¡c kanaªu
c,
wówczas »aden z w¦zªów
u lub v nie mo»e u»ywa¢ kanaªu c (w przeciwnym wypadku który± z w¦zªów
odbieraªby jednocze±nie dwie zakªócaj¡ce si¦ transmisje na kanale
odpowiada silnemu kolorowaniu kraw¦dzi pewnego grafu
1
G
c).
Taki przydziaª
(gdzie kolory odpowiadaj¡
kanaªom, wierzchoªki
G odpowiadaj¡ w¦zªom sieci i kraw¦dzie G ª¡cz¡ s¡siaduj¡ce w¦zªy;
przykªad na rysunku 1).
Rozprawa kr¡»y wokóª jednego, zasadniczego pytania: jak du»y mo»e by¢ silny indeks
chromatyczny grafu o zadanym maksymalnym stopniu
konstrukcja grafu
G
o maksymalnym stopniu
∆
∆?
takiego, »e
Dla ka»dego
∆
s0 (G) = 45 ∆2 ;
znana jest
w roku 1985
Erd®s i Ne²et°il wysun¦li hipotez¦, »e jest to najgorszy mo»liwy przypadek.
Hipoteza 1 (Erd®s i Ne²et°il, 1985 [8]). Je»eli
wówczas

 5 ∆2 ,
4
0
s (G) ≤
 5 ∆2 −
4
G
jest grafem o maksymalnym stopniu
for even
2∆−1
,
4
for odd
∆,
∆,
∆.
Hipoteza Erd®sa i Ne²et°ila do dzisiaj pozostaje niepotwierdzona. Šatwo pokaza¢, u»ywaj¡c algorytmu zachªannego, »e
s0 (G) ≤ 2∆2 ,
ale jakakolwiek poprawa staªej
2
jest ju»
nietrywialnym zadaniem. W roku 1997 Molloy i Reed udowodnili, posªuguj¡c si¦ niekonstruktywnym argumentem, »e
wiony do
s0 (G) ≤ 1.93∆2
s0 (G) ≤ 1.998∆2
[10]. Wynik ten zostaª niedawno popra-
przez Bruhna i Joosa [3] to ograniczenie pozostaje najlepszym
znanym.
Nasze rozwa»ania obejmuj¡ równie» ograniczone i osªabione warianty problemu. W
szczególno±ci, badamy uªamkowe silne kolorowania kraw¦dzi (które, w kontek±cie oryginalnej motywacji, odpowiadaj¡ komunikacji z podziaªem czasu) i topologiczny parametr
pokrewny silnemu indeksowi chromatycznemu. Skupiamy si¦ na szczególnych klasach grafów, w tym na grafach dwudzielnych, bezci¦ciwowych i lokalnie rzadkich.
2
Metodologia
W swoich rozwa»aniach stosujemy metody kombinatoryczne, zarówno konstruktywne
(daj¡ce si¦ przeªo»y¢ na wielomianowy algorytm) jaki niekonstruktywne. Nasze dowody
wykorzystuj¡ maª¡ lokaln¡ g¦sto±¢ rozwa»anych grafów przy czym g¦sto±¢ jest rozumiana na kilka ró»nych sposobów, zale»nie od kontekstu.
Korzystamy z twierdze« dotycz¡cych liczby chromatycznej i pokrewnych wªasno±ci
grafów. Dla grafu
G
przez
χ(G)
oznaczamy liczb¦ chromatyczn¡
2
G,
uªamkowa liczba
chromatyczna
G
G
jest oznaczana
χf (G),
a topologiczny odpowiednik liczby chromatycznej
chit (G).
Pierwszym z u»ywanych narz¦dzi jest uªamkowa wersja hipotezy Reeda, udowodniona
przez Molloya i Reeda w roku 2002. Pozwala ono na pokazanie nietrywialnego górnego
ograniczenia na
chif (G),
zale»nego od rozmiaru najwi¦kszej kliki w grae
Twierdzenie 2 (Molloy i Reed, 2002 [11, Theorem 21.7]). Niech
symalnym stopniu
∆
i najwi¦kszej klice rozmiaru
s0f (G) ≤
ω.
G
G.
b¦dzie grafem o mak-
Wówczas zachodzi
∆+1+ω
.
2
Drugim narz¦dziem jest twierdzenie Alona, Krivelevicha i Sudakova, które mówi, »e
je»eli s¡siedztwo ka»dego wierzchoªka w grae
totycznie mniej ni»
∆(G)2
kraw¦dzi), to
χ(G)
G
jest rzadkie (to znaczy, rozpina asymp-
jest asymptotycznie mniejsze ni»
Twierdzenie 3 (Alon, Krivelevich i Sudakov, 1999 [1]). Istnieje staªa
j¡ce stwierdzenie jest prawdziwe. Je»eli
dla ka»dego wierzchoªka
ni»
ni»
∆2
f
kraw¦dzi, dla
v ∈ V (G)
1 < f ≤ ∆,
c
∆(G).
taka, »e nast¦pu-
G jest grafem o maksymalnym stopniu ∆ takim, »e
podgraf grafu
G
indukowany przez
N (v)
wówczas liczba chromatyczna grafu
G
ma nie wi¦cej
jest nie wi¦ksza
c ln∆f .
Ponadto, u»ywamy twierdzenia Csorby, Lange'a, Schurra i Wassmera, które pozwala
na ograniczenie z góry
grafu
χt (G)
w zale»no±ci o pewnej czysto kombinatorycznej wªasno±ci
G.
Twierdzenie 4 (Csorba, Lange, Schurr i Wassmer, 2004 [4]). Je»eli
niaj¡cym
graf peªny
3
χt (G) ≥ t,
Kl,m
wówczas dla ka»dych
jest podgrafem grafu
l, m ∈ N
speªniaj¡cych
G
jest grafem speª-
l + m = t,
dwudzielny
G.
Uzyskane wyniki
Gªówny wynik rozprawy dotyczy uªamkowego silnego indeksu chromatycznego (ozna-
czanego
s0f (G))
grafów dwudzielnych. Bezpo±rednie zastosowanie Twierdzenia 2 daje w
3
tym przypadku ograniczenie
stopniu
s0f (G) ≤ 1.5∆2
o maksymalnych
∆); pokazujemy, »e staªa 1.5 jest nieoptymalna i »e mo»na j¡ nieznacznie poprawi¢.
G
Twierdzenie 5 (MD, 2015+ [5]). Niech
stopniu
G
(dla grafu dwudzielnego
∆.
b¦dzie garfem dwudzielnym o maksymalnym
Wówczas zachodzi
s0f (G) ≤
31 2
∆ + ∆1.5 .
21
Drugim wynikiem jest ograniczenia na silny indeks chromatyczny grafów bezci¦ciwowych (graf
G
jest bezci¦ciwowy, je»eli ka»dy cykl w
G
jest indukowany). Dowód jest kon-
struktywny i przekªada si¦ na wielomianowy algorytm znajduj¡cy po»¡dane kolorowanie;
jest to algorytm
4-aproksymacyjny,
poniewa» zachodzi
s0 (G) ≥ ∆.
Twierdzenie 6 (MD, Grytczuk, ‘leszy«ska-Nowak, 2015 [7]). Je»eli
ci¦ciwowym o maksymalnym stopniu
∆,
G
jest grafem bez-
wówczas
s0 (G) ≤ 4∆ − 3.
Kolejny wynik mo»e by¢ rozumiany jako wzmocnienie twierdzenia Mahdiana (któ-
G
re mówi, »e je»eli
dzi
2
∆
s0 (G) ≤ 2 log
;
∆
jest grafem bez
C4
o maksymalnym stopniu
∆,
wówczas zacho-
[9]); przy zastosowaniu innej techniki dowodowej potramy pokaza¢
(asymptotycznie) takie samo ograniczenie dla szerszej klasy grafów, zawieraj¡cych maª¡ liczb¦ cykli
C4 .
Ponadto, dowód mo»e zosta¢ przeªo»ony na randomizowany algorytm
znajduj¡cy po»¡dane kolorowanie.
Twierdzenie 7 (MD, 2015+). Istnieje staªa
prawdziwe. Niech
G
jest w co najwy»ej
K
taka, »e nast¦puj¡ce stwierdzenie jest
b¦dzie grafem o maksymalnym stopniu
∆2
g
cyklach o dªugo±ci
4,
gdzie
s0 (G) ≤ K
∆
1 < g ≤ ∆2 .
takim, »e kazda kraw¦d¹
G
Wówczas zachodzi
∆2
.
ln g
Ponadto, badamy topologiczny odpowiednik silnego indeksu chromatycznego (oznaczany
s0t (G),
gdzie
malnym stopniu
∆
G
jest grafem). Pokazujemy, »e dla grafu dwudzielnego
zachodzi
s0t (G) ≤ 1.703∆2
najlepszego ograniczenia, wynosz¡cego
o maksy-
stanowi to istotn¡ popraw¦ poprzedniego
1.93∆2 .
4
G
Twierdzenie 8 (MD, 2015 [6]). Niech
stopniu
∆.
G
b¦dzie grafem dwudzielnym o maksymalnym
Wówczas zachodzi
s0t (G) ≤ 1.703∆2 .
Literatura
[1] N. Alon, M. Krivelevich, B. Sudakov, Coloring graphs with sparse neighborhoods,
Journal of Combinatorial Theory, Ser. B 77 (1999) 73-82.
[2] C. L. Barrett, V. S. A. Kumar, M. V. Marathe, S. Thite, G. Istrate, S. Thulasidasan,
Strong Edge Coloring for Channel Assignment in Wireless Radio Networks, Pervasive Computing and Communications Workshops, IEEE International Conference on,
PERCOMW'06, 2006, 106110.
[3] H. Bruhn and F. Joos, A stronger bound for the strong chromatic index, preprint at
arXiv:1504.02583 (2015).
[4] P. Csorba, C. Lange, I. Schurr, A. Wassmer, Box complexes, neighborhood complexes,
and the chromatic number, J. Combin. Theory Ser. A, 108 (2004), 159168.
[5] M. D¦bski, Fractional strong chromatic index of bipartite graphs, In review.
[6] M. D¦bski, On a topological relaxation of a conjecture of Erd®s and Ne²et°il, European J. Combin. 49 (2015), 188193.
[7] M. D¦bski, J. Grytczuk, M. ‘leszy«ska-Nowak, The strong chromatic index of sparse
graphs, Inf. Process. Lett. Vol. 115 (2015), no. 2, 326330.
[8] P. Erd®s and J. Ne²et°il Problem In: Irregularities of Partitions (G. Halász, V.T. Sós,
eds), Springer 1989, 162163.
[9] M. Mahdian, The strong chromatic index of C4-free graphs, Random Structures
Algorithms 17 (2000), 357375.
5
[10] M. Molloy, B. Reed, A bound on the strong chromatic index of a graph, J. Combin.
Theory Ser. B 69 (1997), 103109.
[11] M. Molloy, B. Reed, Graph Colouring and the Probabilistic Method. Springer, Berlin,
2002.
[12] S. Ramanathan, A unied framework and algorithm for (T/F/C) DMA channel assignment in wireless networks, in Proc. IEEE INFOCOM'97, 1997, pp. 900907.
[13] B. Reed,
ω, ∆
and
χ,
J. Graph Theory 27 (1998), 177212.
6