MATEMATYKA – ZADANIA kwiecień/maj 2008 Całka z pola

MATEMATYKA – ZADANIA
kwiecień/maj 2008
Całka z pola skalarnego
1. Obliczyć całki krzywoliniowe w polu skalarnym:
− 3y 2 + zdl, gdzie L jest to krzywa zawarta między punktami A(0,0,0) i B(1,1,1);
a)
R
Lx
b)
R
L (x
c)
R
L (x
− y + z − 2)dl, gdzie L jest to krzywa o równaniach x=t, y=1-t, z=1 zawarta między
punktami A(0,1,1) i B(1,0,1);
d)
R
L (xy
e)
R p
+ y)dl, gdzie L jest to krzywa o równaniach x=t, y=1-t, z=0 zawarta między punktami
A(0,1,0) i B(1,0,0);
L
+ y + z)dl, gdzie L jest to krzywa o równaniu r(t)=2ti+tj+(2-2t)k,0 ¬ t ¬ 1;
x2 + y 2 dl, gdzie L jest to krzywa o równaniu r(t) = (4cost)i+(4sint)j+(3t)k, −2π ¬ t ¬ 2π;
Całka z pola wektorowego
2. Obliczyć całkę:
2x dx + y dy jezeli AB jest ćwiartką okręgu x2 + y 2 = 1, skierowaną od A(1,0) do B(0,1);
a)
R
b)
R
x dx + y dy + z dz jezeli AB jest łukiem linii śrubowej o przedstawieniu parametrycznym
x = r cos t, y = r sin t, z = t, t ∈< 0, 2π >;
c)
R
x dx − y dz po krzywej K, wzdłuż której płaszczyzna x + y + z − 3 = 0 przecina walec
eliptyczny o równaniu x2 + 4y 2 − 4 = 0 , skierowanej tak, żeby rzut tej krzywej na płaszczyznę
Oxy był skierowany dodatnio względem swego wnętrza;
d)
R
AB
AB
K
2
2
AB (x − 2xy) dx + (2xy + y ) dy
jezeli AB jest łukiem paraboli y = x2 łączącym punkt A(1,1)
z B(2,4)
e)
R
f)
R
AB (2a − y) dx + x dy jezeli AB jest łukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznym x =
a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈< 0, 2π >, niezgodnym z kierunkiem tego łuku;
AB (y−z) dx+(z−x) dy+(x−y) dz po łuku AB linii śrubowej o przedstawieniu parametrycznym
x = cos t, y = sin t, z=t, t ∈< 0, 2π >, niezgodnym z kierunkiem tego łuku;