F - DR PIOTR POTERA

Zasady dynamiki i ich
konsekwencje
Oddziaływania i skutki
• Skutek: zmiana stanu ciała i stanu jego ruchu
• Pytanie: Jak zachowa się cząstka nie podlegająca
oddziaływaniu (odosobniona)? – zawsze pozostaje
w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
po prostej
• I jeszcze jedno; w jakim układzie odniesienia
opisywać ruch cząstki odosobnionej? – w układzie
inercjalnym
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
I prawo dynamiki
Jeśli cząstka nie oddziałuje z
innymi cząstkami, to moŜna
znaleźć taki inercjalny układ
odniesienia
w
którym
przyspieszenie cząstki jest
równe zeru.
Sir Isaac Newton (1642 - 1727)
(Tlumaczenie z r 1729 Andrew Motte z “Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica”:
“KaŜde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się po linii prostej jeśli nie
działają na nie siły zewnętrzne.’ )
Oddziaływanie
• Miarą oddziaływania ciał jest przyspieszenie ciała:
→
→
a=
→
dV
=
dt
d ∑Vi
i
dt
=∑
i
dVi
dt
Jaki jest związek przyspieszenia z oddziaływaniem?
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
II prawo dynamiki
2
F41
1
F43
3
r
Fwyp =
4
F42
a
r
r
F
∑ i = ma
i = wszystkie
Fnet
W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie
cząstki jest proporcjonalne do wypadkowej siły
(sumy sił) działającej na cząstkę i odwrotnie
proporcjonalne do masy cząstki.
Równanie ruchu
→


d r (t ) 

F = F  r (t ),
,t 
dt




→
• Zwykle
→ →
→
→


d 2 r (t ) →  → d r (t ) 
m
,t 
= F  r (t ),
dt
dt 2




lub 3 równania skalarne
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
rozwiązanie
II zasada dynamiki Newtona –sformułowanie pędowe
W inercjalnym układzie odniesienia:
r
r
dp
Fwyp =
dt
klasycznie (nie-relatywistycznie) :
r
r d (mvr )
dv
r
r
d
p
=m
= ma
=
Fwyp=
dt
dt
dt
III prawo dynamiki
F12
1
r
r
F12 = −F21
F21
2
Akcji towarzyszy reakcja.
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
III zasada dynamiki Newtona
III zasada dynamiki Newtona
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Zasada zachowania pędu
Z III zasady dynamiki Newtona:
F12
1
F21
2
F12 = −F21
F12 =
dp1
dt
F21 =
dp 2
dt
dp1
dp
=− 2
dt
dt
dp1 dp 2
+
=0
dt
dt
d
(p1 + p 2 ) = 0
dt
dp
=0
dt
p = const
Zasada zachowania pędu
Jeśli układ cząstek jest izolowany, to całkowity pęd
układu nie zmienia się
r
P (t ) = const.
bo
r
r
r
r
r
d r
dpi
dP
= ∑ Fwyp,i = ∑ ∑ Fij = 0
=
∑ pi = ∑
i j≠ i
dt i
dt
i dt
i
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Zasada względności Galileusza
Transformacje Galileusza
x = x’+ut
y = y’
z = z’
t = t’
v = v'+u
dx dx'
=
+u
dt dt
Zasada względności Galileusza
Transformacje Galileusza
ma ' = ma
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Zasady dynamiki Newtona są niezmiennicze względem transformacji
Galileusza.
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Grawitacja
Na cząstkę o masie m1, oddaloną od cząstki
o masie m2 działa siła przyciągająca ze
strony tej pierwszej:
r
F21 = − G m12m 2 ⋅ r$12
r12
r
F21
1
r12
2
CięŜar
• RozwaŜmy ciało o masie m
W
r
r
W = mg
Na ziemi g = 9.80 m/s2
Na planecie o promieniu R i masie M cięŜar ciała jest równy w
przybliŜeniu sile grawitacji działającej na to ciało ze strony
planety.
r
GM
W ≈ m ⋅ 2 r̂
R
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Skutek III zas. dyn - Siła reakcji podłoŜa
N
r
Fwyp
Jest to siła prostopadła do
podłoŜa, z jaką działa ono
na ciało znajdujące się na
nim.
W
Jest to przykład tzw. więzów
Tarcia statyczne
Siła tarcia statycznego jest to siła styczna
do powierzchni styku dwóch nieruchomych
ciał.
F
N
fs
W
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Tarcie kinetyczne
Tarcie kinetyczne jest to siła styczna do
powierzchni dwóch ciał przemieszczających
się względem siebie.
N
f k = µk N
fk
f
Fwyp
fs = µkN
fs = -Fext
statyczne
kinetyczne
Fext
W
Prawa tarcia
• I Prawo Tarcia: siła tarcia jest proporcjonalna do
siły normalnej f s ≤ µs N
• II PT: siła tarcia nie zaleŜy od powierzchni styku
ciał
• Współczynnik tarcia kinetycznego nie zaleŜy od
prędkości ciała
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Układy nieinercjalne
• Układ porusza się względem układu
inercjalnego z przyspieszeniem
• pojawia się siła: dodatkowa, nie potrafimy
wskazać źródła, ale jak najbardziej realna!
• Nie jest spełniona II zasada dynamiki!
Moment pędu
(cząstki)
r r r
L ≡ r ×p
L
p
r
O
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Ruch obrotowy
F
Ft
r r r
M ≡ r×F
at
r
α
Moment siły
r r r
M ≡ r×F
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
m
Zasada zachowania momentu pędu
(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły
wypadkowej działającej na cząstkę jest równy
szybkości zmian momentu
ur pędu.
r
dL
= M wyp
dt
M wyp = 0,
to
L = const
Zasada zachowania momentu pędu
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Ruch obrotowy II zas. dyn.
I = mr2
F
Ft
at
m
r
α
I i II prawo Keplera
v
L
dA
v
r
I.
II.
v
dr
Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero
a więc L=const. PoniewaŜ L jest prostopadły do płaszczyzny w której
odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, Ŝe ruch planety odbywa się
w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską.
Prędkość polowa jest stała.
L
L
dA
= const.
=
2m
dt
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Praca
F
Praca dW wykonana przez siłę
F
przesuwającą
cząstkę
wzdłuŜ dr jest równa:
r r
dW ≡ F ⋅ dr
A
B
dr
jednostka SI pracy
1J = 1N·1m
W=
W postaci całkowej:
r r
F
∫ ⋅ dr
droga
Energia kinetyczna
Cząstka o masie m, poruszająca się z szybkością v
ma energię kinetyczną
K≡
mv 2
2
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Twierdzenie o równowaŜności pracy i
energii kinetycznej
r
 m(vr )2 
dv r
r r
r
r r r


= mv ⋅ dv = m ⋅ vdt = ma ⋅ dr = Fwyp ⋅ dr = dWwyp
dK = d

dt
 2 
W inercjalnym układzie odniesienia praca siły wypadkowej działającej na
cząstkę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki
dW = dK
Lub w postaci całkowej: ∆W = ∆K
Przykład
Sanki o masie m stojące na zamarzniętym stawie kopnięto nadając im
prędkość v1. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy sankami a
lodem wynosi µk. Znajdź odległość jaką przemierzą sanki zanim się
zatrzymają.
Rozwiązanie:
Praca siły tarcia:
W = − f k d = − µk mg
Korzystając z twierdzenia o równowaŜności pracy i energii kinetycznej:
W = K k − K p = 0 − m v12 / 2
− µ k m gd = −
1
m v 12
2
Wniosek: droga hamowania nie zaleŜy od masy, jest
proporcjonalna do v2,
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Pęd
m
r
r
p ≡ mv
v
p
Pęd jest wielkością opisującą ruch cząstki.
Relacja między energią kinetyczną i pędem
K=
r
(mvr )2
mv 2
p2
p2
=
=
=
2m
2
2m
2m
Moc
Moc siły jest zdefiniowana jako szybkość z jaką
wykonywana jest przez nią praca.
P( t ) ≡
dW
dt
Jednostka SI mocy 1W = 1J/1s
t2
Relacja odwrotna:
∆W = ∫ P(t )dt
t1
Związek z siłą:
r r
P = F⋅v
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Siły zachowawcze
Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu
A do punktu B nie zaleŜy od tego po jakim torze
poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą
zachowawczą.
B
Wszystkie inne siły nie są
zachowawcze.
A
(Twierdzenie)
Praca siły zachowawczej przemieszczającej cząstkę po
torze zamkniętym jest równa zeru.
Sily zachowawcze : grawitacji, spręŜystości, elektrostatyczna.
Energia Potencjalna
Jeśli na cząstkę działa siła zachowawcza, to
zmiana energii potencjalnej związana ze zmianą
połoŜenia cząstki ∆U jest zdefiniowana jako
praca - ∆ W wykonana przez tę siłę.
∆U = -∆W
Ta definicja określa energię potencjalną z
dokładnością do stałej.
Praca siły równowaŜącej siłę pola zachowawczego jest
równa przyrostowi energii potencjalnej
∆U = ∆Wrów
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Twierdzenie o równowaŜności
praca -energia
Praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa
zmianie jej energii kinetycznej:
∆K = ∆Wwyp
Zasada zachowania energii
1. Z twierdzenia o równowaŜności praca- energia kinetyczna:
∆K = ∆W
2. W polu siły zachowawczej
∆U = -∆W
Podstawiając 1) do 2) :
∆U = -∆K
Przenosząc ∆K na lewą stronę:
∆U +∆K=0
∆(U+K)=0
E ≡ K + U=const
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Zasada zachowania energii mechanicznej
E≡K+U
Energia
związana
z ruchem
Energia
związana z
połoŜeniem
Całkowita energia układu izolowanego jest zawsze stała.
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym
h
Ug
Ug = mgh
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Zasada zachowania energii mechanicznej w polu
grawitacyjnym
Całkowity pęd i środek masy
Całkowity pęd układu cząstek jest związany z prędkością
środka masy tego układu
r
r
r
P = Mv cm = Pcm
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Układ punktów materialnych zastępujemy
punktem o masie równej masie całego układu,
połoŜonym w punkcie, w którym znajduje się
środek masy.
r
r
r
P = Mv cm = Pcm
r
r
r
r
dv cm
dP dPcm
=
=M
= Mav cm
Fzewn =
dt
dt
dt
r
Fzewn = 0
Jeśli
r
a cm = 0
r
v cm = const
Środek masy
z
mi
y
r
x
Dla układu dyskretnego jest to
punkt dla którego wektor
połoŜenia jest zdefiniowany
następująco:
1
r
r
rcm = ∑ miri
M i
gdzie M jest całkowitą masą
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Ruch środka masy – przykład I
Układ izolowany: połoŜenie środka masy nie zmienia się!
Eksplodująca petarda.
Ruch bryły sztywnej
1. Ruch postępowy środka masy
2. Obrót wokół środka masy
Centre of mass
End of hammer
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Moment bezwładności
A
Układ cząstek :
ri’
mi
I A = ∑ m i r 'i2
i
A
Momenty bezwładności
I = MR 2
L
R
R
I=
1
I = ML2
3
1
MR 2
2
L
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Energia
kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa
v
ω
K ω ,o =
1
I ω ,oω 2
2
Praca i energia kinetyczna:
∆K = Wwyp
PowyŜsze twierdzenie obowiązuje teŜ dla ruchu
obrotowego.
Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:
(
)
1
∆K = I ω 2f −ωi2 = Wwyp
2
Zderzenia
nieelastyczne
(maksimum strat
energii kinetycznej)
•
elastyczne
(nie ma strat
energii
kinetycznej)
Zderzenia nie zmieniają całkowitego pędu układu cząstek.
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki
Jeśli cząstki przed lub po zderzeniu
mają te same prędkości to zderzenie
jest nieelastyczne.
r
r
r
m1 v1i + m 2 v 2i = (m1 + m2 )v f
Jeśli całkowita energia nie zmienia
się rto zderzenie
r jest elastyczne.
r
r
m1v1i + m 2 v 2i = m1v1f + m 2 v 2f
m1v12i m 2 v 22i m1v12f m 2 v 22f
+
=
+
2
2
2
2
Zagadka. Jaki jest kąt miedzy kierunkami ruchu kul
Zasada
bilardowych pozderzeniu?
zachow. pędu
r
r
r
(1) v1i = v1f + v2f
r
r
90°
r
r 2 r v12fr 2 mv 22 f
(2) mv1v2i1i==v12m
f + v 2+f
2
2
podstawiając
2
ϕ2
v2f
ϕ1
v1f
r
r
r r
r
r
v12f + v22f + 2 v1f ⋅ v2f = v12f + v22f Zasada zachow.
energii
v1i
stąd
r r
v1f ⋅ v2f = 0
Dr PPotera –wykłady studia podyplomowe nauczanie fizyki