Lista 5. о

Lista 5.
Moment bezwładności.
1.Znajdź moment bezwładności układu złożonego z czterech małych kulek o masie 20g każda umieszczonych
w rogach kwadratu o boku 10 cm względem środka kwadratu oraz względem jednego z jego rogów.
2. Sztywna konstrukcja (patrz rysunek obok) składa się z kwadratu o boku a=10cm
połączonego z cienką obręczą o promieniu R=6cm. Jednostka długości materiału kwadratu i
obręczy ma gęstość liniową λ=2g/cm. Wyznaczyć moment bezwładności pokazanej obok na
rysunku konstrukcji obracającej się względem osi zaznaczonej linią przerywaną.
3. Oblicz moment bezwładności cienkiego pręta o długości l i masie m względem osi prostopadłej do osi pręta
i przechodzącej przez: a) koniec pręta, b) środek pręta. c) Sprawdź słuszność twierdzenia Steinera.
Energia kinetyczna bryły sztywnej. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
1. Pionowy słup o wysokości 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wyznacz liniową
prędkość górnego końca słupa w chwili uderzenia o ziemię.
2. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez poślizgu po
poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s?
3. Do obwodu koła rowerowego o masie 2kg przyłożono stałą siłę styczną 10N i wprawiono je w ruch
obrotowy wokół nieruchomej osi. Ile wynosi energia kinetyczna koła po upływie 5s od rozpoczęcia działania
siły? Koło rowerowe należy rozpatrywać jako cienkościenną obręcz.
I, ω0
4. Koło rozpędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z prędkością
kątową ω0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą należy
przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie
czasu t?
F
R
T
r
11. Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę F leży na
płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim przyspieszeniem liniowym
będzie poruszać się szpula w zależności od kąta między kierunkiem działania
siły a płaszczyzną. Masa szpuli m, zewnętrzny i wewnętrzny promień
odpowiednio R i r, moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
środek I0.
d
F
α
R
r
12. Jak długo będzie się staczać bez poślizgu mała obrączka z deski o długości 2 m podniesionej jednym
końcem na wysokość 0,1 m? Na jaką wysokość należy podnieść ten koniec deski aby obrączka zaczęła się
ślizgać. Statyczny współczynnik tarcia między deską a obrączką wynosi 0,2.
13. Masa m=2kg wisi na sznurku owiniętym wokół pełnego walca o promieniu r=10 cm i o
masie M=2,2kg. Walec jest zawieszony w ten sposób, ze może się obracać bez tarcia wokół
swojej. Sznurek nie ślizga się po walcu. Jakie jest przyspieszenie masy m?
14. Na jednorodnym krążku o masie M i promieniu R nawinięta jest nierozciągliwa linka,
której jeden z końców umocowany jest u sufitu. Oblicz przyspieszenia kątowe i liniowe
środka ciężkości krążka oraz naciąg linki, jeżeli w pewnej chwili krążek zaczął spadać
swobodnie.
15. Dwa odważniki o masach 2,0 kg i 1,0 kg są połączone nicią przerzuconą przez
krążek o promieniu 0,1 m i masie 1,0 kg (patrz rysunek). Krążek o masie 2,0 kg leży
na stole. Oblicz:
a) przyspieszenie z jakim poruszają się odważniki,
b) naciągi nici, na których są zawieszone odważniki.
Krążek uważać za jednorodny, a tarcie krążka o oś zamocowania pominąć.
Zasada zachowania momentu pędu
16. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma
w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się prędkość
obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moment
bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
17. Na poziomo wirującym pręcie o masie 4kg, przez środek którego przechodzi prostopadle do ziemi oś,
siedzi małpka o masie 3kg. Pręt ma długość 2m i wiruje z częstotliwością kątową 0,5obr/s. Jak szybko zacznie
wirować pręt po przejściu małpki do środka?
18. Cienki drewniany pręt o długości 1,5 m i masie 10 kg został zawieszony pionowo i może obracać się
wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwili w środek pręta uderza kula
o masie 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością 500 m/s i po uderzeniu pozostaje w pręcie. Oblicz wysokość, na
jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli.
19. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty bezwładności
tarcz wynoszą I1, I2 a ich prędkości kątowe ω1 i ω2. Po upadku tarczy górnej na dolną obie tarcze (w wyniku
działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznacz:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu; b) pracę wykonaną przez siły tarcia.
20. Wyobraź sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce skurczy się do białego karła o średnicy kuli
ziemskiej. Przyjmując niezmienniczość masy Słońca obliczyć jego okres obrotu wokół własnej osi. Obecny
okres obrotu Słońca wynosi 27 dób.
Grawitacja
1. Wiedząc, że masa Księżyca jest około 81 razy mniejszy od masy Ziemi oraz, że odległość Ziemi od
Księżyca 384 000 km, znajdź punkt P na linii łączącej środki obu ciał niebieskich, w którym równoważy się
siła przyciągania grawitacyjnego Księżyca i Ziemi.
2. Znajdź prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są kołowe.
Przyjąć, że masa Ziemi 6,4·1024 kg, odległość między Ziemią a Księżycem 384 000 km, odległość Ziemi od
Słońca 150 mln kilometrów, masa Słońca 2·1030 kg.
3. Satelita krąży wokół Ziemi na wysokości h = 2 R , gdzie R = 6400km − promień Ziemi. Znajdź prędkość
satelity na orbicie.
4. Wyznacz odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego − poruszającego się w
płaszczyźnie równikowej naszej planety −satelity, promień Ziemi 6400 km,
6. Gwiazda neutronowa ma masę Słońca (2·1030 kg) i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola
grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?
8. Z jaką prędkością należy wyrzucić ciało pionowo w górę aby:
a) wzniosło się na wysokość równą promieniowi Ziemi R = 6370 km ? b) nie spadło nigdy na Ziemię?
9. Czarna dziura to obiekt, w którym siły grawitacji są tak duże, że nie może go opuścić żadna cząstka nawet
foton. Oszacuj promień jaki powinna mieć gwiazda o masie M, aby stała się czarną dziurą. Policz ten promień
dla Słońca o masie 2·1030 kg.
11. Planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość planety od Słońca
wynosi R1 a najmniejsza R2. Ile wynoszą prędkości planety w punktach R1 i R2? Ile wynosi moment pędu
planety? Masę planety, masę Słońca i stałą grawitacji przyjąć za dane.
12. Największa odległość komety Halleya od Słońca to 35,4 dZS (dZS− odległość pomiędzy Ziemią i Słońcem),
a najmniejsza 0,59 dZS. Prędkość liniowa ruchu komety w punkcie najbardziej odległym od Słońca wynosi
910 m/s. Ile wynosi prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca? Wyznaczyć energię mechaniczną komety.