2.01. Zginanie ukośne

2.1. ZGINANIE UKOŚNE
Zginanie ukośne (dwukierunkowe) występuje wówczas, gdy obciążenie zewnętrzne
redukuje się do wektora momentu zginającego M , leżącego w płaszczyźnie przekroju,
którego kierunek nie pokrywa się z żadną z głównych, centralnych osi przekroju (rys. 1).
Rys. 1
Założenie: Osie Cy oraz Cz są osiami głównymi, centralnymi przekroju, czyli
S y = Sz ≡ 0,
I yz ≡ 0
(a)
2.1.1. Rozkład naprężeń normalnych
Strona geometryczna (hipoteza płaskich przekrojów BERNOULLI’EGO )
ε x = a + b y + cz
(1)
a , b , c – stałe, które należy wyznaczyć.
Strona fizyczna (prawo HOOKE’A)
σ x = Eε x
(2)
Strona statyczna (równania równowagi rys. 2)
Rys. 2
∫σ
A
x
dA = 0,
∫σ
A
x
zdA = M cos α ,
1
∫σ
A
x
ydA = −M sinα
(3)
Mamy zatem do dyspozycji pięć równań (1) - (3), z których możemy wyznaczyć pięć
niewiadomych σ x , ε x , a , b , c .
W celu wyznaczenia stałych a, b, c podstawiamy (1) do (2) otrzymując
σ x = Eε x = E (a + b y + c z ) = a + by + cz, a = Ea , b = Eb , c = Ec
(2’)
Podstawiając z kolei (2’) do (3) i uwzględniając (a) otrzymujemy układ równań
∫ (a + by + cz )dA = a∫ dA + b∫ ydA + c ∫ zdA = aA + bS + cS = aA = 0
∫ (a + by + cz )zdA = a∫ zdA + b∫ yzdA + c ∫ z dA = aS + bI + cI = cI = M cos α
∫ (a + by + cz )ydA = a∫ ydA + b∫ y dA + c ∫ zydA = aS + bI + cI = bI = −M sinα
A
A
A
z
A
y
2
A
A
A
A
A
y
A
yz
y
y
2
A
z
A
z
zy
z
którego rozwiązanie ma postać
a = 0,
b=
M sin α
,
Iz
c=
M cos α
Iy
Podstawiając powyższe stałe do relacji (2’) otrzymujemy formułę określającą rozkład
naprężeń normalnych w przekroju pręta
 sinα
cos α
y+
Iz
Iy

σ x = M  −

z


(4)
Powyższą zależność możemy również otrzymać korzystając z zasady superpozycji (rys. 3)
Rys. 3
σ x = σ x (M z ) + σ x (M y ) = −
 sin α
My
Mz
cos α
y+
z = M −
y+

Iz
Iy
Iz
Iy

gdyż
M y = M cos α ,
2
M z = M sin α

z


Przypadki szczególne (zginanie proste)
σ x (α = 0) =
My
Iy
z, σ x (α = Π ) = −
My
Iy
z
2.1.2. Równanie osi obojętnej
Przyrównując (4) do zera otrzymujemy
−
sin α
cos α
yO +
zO = 0
Iz
Iy
a po prostych przekształceniach równanie osi obojętnej w postaci
tanϕO =
zO I y
= tanα ,
y O Iz
(5)
gdzie y O , zO są współrzędnymi punktów leżących na osi obojętnej (rys. 4).
Rys. 4
Wnioski:
− oś obojętna zawsze przechodzi przez środek ciężkości przekroju y O = 0 → zO = 0 ;
− jej nachylenie zależy od Iy , Iy i α , tzn. od geometrii przekroju poprzecznego i
płaszczyzny działania obciążenia, nie zależy natomiast od wartości momentu
zginającego M ;
− gdy I y = Iz → ϕO = α – mamy zawsze zginanie proste (każda oś centralna jest osią
główną).
2.1.3. Ugięcie
Zgodnie z zasadą superpozycji strzałkę ugięcia liczymy ze wzoru
f = f y2 + fz2
3
(6)
Przykłady
Przykład 1
W przypadku przekroju jak na rys. P1.1 należy wyznaczyć: położenie osi obojętnej, rozkład naprężeń
normalnych oraz wymiar przekroju a z warunku nośności.
Dane: a, P, l = 20a, M = Pl, α = 30o , R
Szukane: ϕO , σ x
Rys. P1.1
Rozwiązanie
Krok 1. Obliczamy funkcje kąta α i momenty bezwładności przekroju
tan α = 0.58,
sin α = 0.50,
cos α = 0.87.
a ⋅ (2a )
2
2a ⋅ a3 1 4
= a 4 , Iz =
= a .
12
3
12
6
3
Iy =
Krok 2. Wyznaczamy położenie osi obojętnej
tan ϕ O =
Iy
Iz
tan α =
2
3
1
6
a4
0.58 = 2.32 → ϕO = 66,7o
a4
Krok 3. Wyznaczamy rozkład naprężeń normalnych w przekroju
 sin α
cos α
y+
I
Iy
z

σ x = M  −

 0.50
0.87  20P
z  = M  − 1 4 y + 2 4 z  = 3 (− 3 y + 1.3z ).

a 
a
3
 6a

Krok 4. Obliczamy ekstremalne wartości naprężeń (maksymalne i minimalne) w punktach najbardziej
oddalonych od osi obojętnej, czyli 2( 21 a,−a ) i 4(− 21 a, a) , oraz sporządzamy wykres naprężeń (rys. P1.2):
σ x2 =
20P
(− 3y 2 + 1.3z2 ) = 203P [− 3 ⋅ 21 a + 1.3(− a )] = −56 Pl3 = σ min
a3
a
a
σ x4 =
20P
(− 3y 4 + 1.3z4 ) = 203P [− 3 ⋅ (− 21 a) + 1.3a] = 56 P2 = σ max
3
a
a
a
Krok 5. Obliczamy wymiar przekroju a z warunku nośności:
4
σ max = 56
P
P
≤ R → a ≥ 7.48
2
a
R
Rys. P1.2
Przykład 2
W przypadku przekroju jak na rys. P2.1 należy wyznaczyć położenie osi obojętnej oraz rozkład naprężeń
normalnych. Dane dotyczące przekroju pochodzą z przykładu 5 w rozdz. 1.2.
Rys. P2.1
Dane: a, P, l = 100a, M = Pl, ϕG = 31.3o ,α = 360o − ϕG = 328.7o
Główne, centralne momenty bezwładności
I y = 232a 4 , Iz = 76a 4
Współrzędne punktów przekroju w układzie osi głównych centralnych
1(− 2.96a;5.56a ),
2(3.87a;1.4a ),
3(− 0.29a;−5.43a ),
4(− 2.85a,−3.87a )
Szukane: ϕO , σ x
5
Rozwiązanie
Krok 1. Obliczamy funkcje kąta α
tan α = −0.608,
sinα = −0.52,
cos α = 0.854.
Krok 2. Wyznaczamy położenie osi obojętnej
tan ϕO =
Iy
Iz
tan α =
232a 4
(− 0.608) = −1.86 → ϕO = −61.7o
76a 4
Krok 3. Wyznaczamy rozkład naprężeń normalnych w przekroju
 sin α
cos α
y+
Iz
Iy

σ x = M  −

0.854
 (− 0.52)
z  = 100Pa −
y+
4

232a 4
 76a

 P
z  = 3 (0.684y + 0.368z )
 a
Krok 4. Obliczmy ekstremalne wartości naprężeń (maksymalne i minimalne) w punktach najbardziej
oddalonych od osi obojętnej, czyli 2(3.87a;1.4a) i 4(− 2.85a,−3.87a ) , oraz sporządzamy wykres naprężeń
normalnych (rys. P2.2):
P
P
σ x2 = 3 (0.684 ⋅ 3.87 + 0.368 ⋅ 1.4 ) = 3.16 2 = σ max
a
a
σ x4 =
M
[0.684 ⋅ (− 2.85) + 0.368 ⋅ (− 3.87)] = −3.37 P2 = σ min
4
a
a
Rys. P2.2
6