Przestrzenie metryczne

Przestrzenie metryczne: metryki i zbieżność
Zadanie 1. Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metryki na płaszczyźnie R2 :
(i) (metryka euklidesowa) d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
q
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 ;
(ii) (metryka miejska, inaczej: taksówkowa) d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |y1 − x1 | + |y2 − x2 |;
(iii) (metryka „szachowa”) d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max {|y1 − x1 |, |y2 − x2 |};
(iv) (metryka pocztowa) dP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
(
=
d2 ((x1 , x2 ), (P1 , P2 )) + d2 ((P1 , P2 ), (y1 , y2 )),
0,
gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ),
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ),
gdzie P = (P1 , P2 ) ustalony punkt („poczta”);
(v) (metryka pocztowa w mieście) dmP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
(
=
d1 ((x1 , x2 ), (P1 , P2 )) + d1 ((P1 , P2 ), (y1 , y2 )),
0,
gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ),
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ),
gdzie P = (P1 , P2 ) ustalony punkt;
(vi) (metryka kolejowa) dK ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
=













d2 ((x1 , x2 ), (w1 , w2 )) + d2 ((w1 , w2 ), (y1 , y2 )),
d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )),
0,
gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ) i (w1 , w2 )
nie są współliniowe,
gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ) i (w1 , w2 )
są współliniowe,
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ),
gdzie w = (w1 , w2 ) ustalony punkt („węzeł kolejowy”);

| Im u − Im z|,
(vii) (metryka-rzeka) drz (u, z) = 
gdy Re u = Re z,
| Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|, gdy Re u 6= Re z,
gdzie u, z ∈ C ' R2 ;
(viii) (metryka „przymusowej kąpieli”)

0,
dkrz (u, z) = 
gdy u = z,
| Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|, gdy u 6= z,
gdzie u, z ∈ C ' R2 .
2
Zadanie 2. Zaznaczyć na płaszczyźnie
√ (R , d) następujące kule otwarte: B( (3, 2), 2), B( (3, 2),
B( (6, 4), 1), B( (6, 4), 3), B( (6, 4), 13), B( (6, 4), 4), B( (6, 4), 5), B( (6, 4), 8), B( (6, 4), 9),
gdzie d jest jedną z metryk z Zad. 1 (d2 , d1 , d∞ , dP , dmP , dK , drz , dkrz ).
Narysować kule domknięte o tych samych środkach i promieniach.
Zadanie 3. Sprawdzić, że poniższe wzory
zadają
odległość w
N:
a) d(x, y) = |x2 − y 2 |, b) d(x, y) = x1 − y1 , c) d(x, y) = x19 −
1
1 ,
y9
x
d) d(x, y) = 1+x
−
√
y .
1+y
17),
Zadanie 4. Sprawdzić, że poniższe wzory zadają odległość w Q oraz w R:
q
a) d(x, y) = |x3 − y 3 |,
b) d(x, y) = |x2 − y 2 | + |x5 − y 5 |,
c) d(x, y) = |x − y| ,
√
|x−y|
y x
− 1+|y|
,
e) d(x, y) = 3 |x2 − y 2 | + 2 |x3 − y 3 |, f) d(x, y) = √
,
d) d(x, y) = 1+|x|
g) d(x, y) = min {1, |x − y| }, h) d(x, y) = |arc tg x − arc tg y|,
i) d(x, y) =
Zadanie 5. Sprawdzić, czy poniższe wzory zadają metrykę w R:
a) d(x, y) = |x − y|3 ,
b) d(x, y) = |ln(1 + |x|) − ln(1 + |y|)|,
d) d(x, y) = e|x−y| − 1, e) d(x, y) =
x
arc sin 1+|x|
− arc sin
1+ |x−y|
|x−y|
.
1+2|x−y|
c) d(x, y) = ln(1
√ + |x − y|),
y ,
1+|y|
f) d(x, y) =
|x−y|
1+|x−y|
.
Zadanie 6. Sprawdzić, czy poniższe
wzory zadają
metrykęqw R3 :
q
q
a) d( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |,
b) d( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = ln ( (1 + |x1 − y1 |) (1 + |x2 − y2 |) (1 + |x3 − y3 |)).
Zadanie 7. Niech d i D będą metrykami w X, a > 0 ustaloną liczbą, zaś f : X → X dowolną
bijekcją. Sprawdzić, że ρ też jest metryką, gdy:
d(x,y)
a) ρ(x, y) = a · d(x, y),
b) ρ(x, y) = min {a, d(x, y)},
c) ρ(x, y) = a+d(x,y)
,
d) ρ(x, y) = d(x, y) + D(x, y), e) ρ(x, y) = max{d(x, y), D(x, y)}, f) ρ(x, y) = d(f (x), f (y)).
Zadanie 8. W których spośród metryk z Zad. 1 (d2 , d1 , d∞ , dP i dmP z pocztą P = (3, 2), dK z
węzłem w = (3, 2), drz , dkrz ) zachodzą zbieżności:
a) 3 − n1 , 2 n→∞
−→ (3, 2),
c) 3 −
e) 6 −
g) 1 −
Wyniki
d2
a +
b +
..
.
1
1
,
2
−
−→ (3, 2),
2
2
n
n n→∞
3
2
−→ (6, 4),
n , 4 − n n→∞
1
−→ (1, 0),
n2 , 0 n→∞
zebrać w tabeli
d1 d∞ dP dmP
+ + +
+
+ + +
+
dK
+
+
drz
+
−
b) 3 − n1 , 2n+1
−→ (3, 2),
n+1 n→∞
√1
n
d) 3, 2 +
−→ (3, 2),
n→∞
f) 6 − n1 , 4 − n1 n→∞
−→ (6, 4),
h)
q
3
27 +
√ 1 3n
−→
n, n
n→∞
(3, 0).
dkrz
−
−
Zadanie 9. (Zbieżność po współrzędnych) Wykazać, że w (R2 , d)
d
(xn , yn ) n→∞
−→ (x, y) ⇔ xn n→∞
−→ x ∧ yn n→∞
−→ y,
gdzie d jest którąkolwiek z metryk d2 , d1 , d∞ z Zad. 1.
Zadanie 10. (X, d) – przestrzeń metryczna. Udowodnić, że:
a) |d(x, z) − d(y, z)| 6 d(x, y),
b) | dist(x, A) − dist(y, A)| 6 d(x, y),
gdzie x, y, z ∈ X, ∅ =
6 A ⊂ X, dist(x, A) = inf a∈A d(x, a).
Zadanie 11. Udowodnić, że:
a) ciąg (xn )∞
n=1 elementów przestrzeni metrycznej X jest zbieżny do x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy,
∞
∞
gdy każdy podciąg (xnk )∞
k=1 ciągu (xn )n=1 zawiera podciąg (xnkl )l=1 zbieżny do x0 ,
b) ciąg Cauchy’ego zawierający pewien podciąg zbieżny jest zbieżny,
c) jeśli xnk → x0 dla podciągów nk = 2k i nk = 2k + 1, to xn → x0 .
Zadanie 12. Podać przykład takiego ciągu (xn )∞
n=1 , który nie spełnia warunku Cauchy’ego, ale
a) d(xn , x3n ) n→∞
−→ 0,
b) d(xn+1 , xn ) n→∞
−→ 0,
c) ∀k∈N d(xn+k , xn ) n→∞
−→ 0.
2
Przestrzenie metryczne: otwartość i domkniętość
Zadanie 13. Zbadać domkniętość/otwartość następujących podzbiorów prostej R:
a) [2, 3], (−1, 3), (2, 5], [3, 5),
b) [−2, −1] ∪ {0}, [−3, −2) ∪ {1},
c) [1,
∞),
(−π,
∞),
(−∞,
5]
∪
(10,
∞),
d)
[0, 1] ∩ Q, [0, 2] \ Q, (0, 2) \ Q,
n
o
n
o
1
1
1
e) n : n ∈ N ∪ {0}, n + m : n, m ∈ N .
Znaleźć ich domknięcia, wnętrza i brzegi.
Zadanie 14. Zbadać domkniętość/otwartość następujących podzbiorów płaszczyzny euklidesowej
(R2 , d2 ):
a)
(0, 1) × (1, 2),
[1, 2] × [0, 1],
(0, 1] × [1, 2),
(−1, 1) × [−2, 2],
b)
(−1, 1) × ([−2, 2] ∪ {3}),
([−3, −2)
(−π, ∞),
n ∪ {1}) × o
1
c)
([0, 2] ∩ Q) × ([0, 2] \ Q),
[0, 1] × n : n ∈ N ∪ {0} ,
d)
{(x, y) ∈ R2 : x < 2 + y},
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y < 1},
{(x, y) ∈ R2 : x y < 4},
2
2
2
2
e)
{(x, y) ∈ R : x − y 6 1, 2x 6 1, y > 0},
{(x, y) ∈ R : (x − 1)2 + y 2 > 8},
f)
{(x, y) ∈ R2 : |x + 1| + |y − 2| < 7},
{(x, y) ∈ R2 : max{|x|, |y|} 6 4},
g)
{(x, y) ∈ R2 : xp + y p = 7} (p ∈ N),
{(x, y) ∈ R2 : x2 − 4y 2 6 4, x > 0},
2
2
2
h)
{(x, y) ∈ R : x + y − 2x − 6y + 6 6 0},
{(x, y) ∈ R2 : ex−y < 4, x > 0},
i)
{(x, y) ∈ R2 : x5 y 3 + 6 xy 2 < 0}, n {(x, y) ∈ R2 : x5 − 7y 2 <o 3, y < −2},
2
j)
{(x, y) ∈ R2 : e−x + xy 6 3},
(x, y) ∈ R2 : ex + |y|3 6 4 .
Znaleźć ich domknięcia, wnętrza i brzegi. Co w sytuacji innych metryk z Zad. 1 ?
Zadanie 15. (X, d) – przestrzeń metryczna. Uzasadnić, że:
(i) ∅ = ∅, X = X, Int ∅ = ∅, Int X = X, (ii) Int A ⊂ A ⊂ A,
(iv) A ⊂ B ⇒ [Int A ⊂ Int B ∧ A ⊂ B],
(v) A ∪ B = A ∪ B, Int(A ∩ B) = Int A ∩ Int B,
(vi) A = X \ Int(X \ A), Int(A) = X \ X \ A,
(viii) znaleźć kontrprzykład dla równości
(iii) A = A, Int(Int A) = Int A,
S
(vii) Int(A ∪ B) ⊃ Int A ∪ Int B, A ∩ B ⊂ A ∩ B ;
At =
t∈T
S
At , gdzie {At }t∈T -rodzina podzbiorów X; czy
t∈T
domkniętość zbiorów At wpływa na słuszność wzoru?
(ix) A = A ∪ Fr A, Int A = A \ Fr A, (x) A = A ∪ Ad , gdzie Ad - zbiór punktów skupienia A; co można
powiedzieć o wzajemnych relacjach pomiędzy Ad a Fr A ?
Ze wzorów (i), (ii), (iii) i (v) na domknięcie wyprowadzić pozostałe wzory na domknięcie.
Korzystając dodatkowo z (vi) wyprowadzić również wszystkie wzory na wnętrze.
Przestrzenie metryczne: Operacje na przestrzeniach
Zadanie 16. (Podprzestrzeń) (X, d) – przestrzeń metryczna, ∅ =
6 A ⊂ X. W A określamy odległość
d|A
d
d|A (x, y) = d(x, y) dla x, y ∈ A. Wykazać, że:
a) an −→ a0 ⇔ an −→ a0 , gdzie an , a0 ∈ A;
n→∞
n→∞
A
X
b) B (a0 , r) = B (a0 , r) ∩ A, gdzie r > 0, a0 ∈ A, B X – kula otwarta w X, B A – kula otwarta w A;
c) wszystkie zbiory G otwarte w (A, dA ) są postaci U ∩ A, gdzie U - otwarty w (X, d);
d) wszystkie zbiory F domknięte w (A, dA ) są postaci D ∩ A, gdzie D- domknięty w (X, d);
f -domknięcie w A, M -domknięcie w X.
f = M ∩ A, gdzie M ⊂ A, M
e) M
Zadanie 17. (Produkt) Niech (Xis
, di ), i = 1, . . . , k, będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że:
a) wzór %2 (xi )ki=1 , (yi )ki=1 =
k
P
[di (xi , yi )]2 metryzuje produkt
i=1
k
Q
Xi ,
i=1
(Wskazówka: nierówność Cauchy’ego-Schwarza);
b) wzory %1 (xi )ki=1 , (yi )ki=1 =
k
P
i=1
di (xi , yi ) oraz %∞ (xi )ki=1 , (yi )ki=1 = max di (xi , yi ) również
i=1,...,k
3
k
Q
metryzują produkt
Xi ;
c)%∞ 6 %1 6 %2 6
i=1
√
k %∞ ;
%
d
2
i
d) (zbieżność po współrzędnych) (xi (n) )ki=1 −→
(xi )ki=1 ⇔ ∀i=1,2,...,k xi (n) −→
xi ;
n→∞
n→∞
podobnie dla %1 i %∞ (Wskazówka: skorzystać z punktu c) );
e) jeżeli Ui są otwarte w (Xi , di ) (przy i = 1, . . . , k), to U1 × . . . × Uk jest otwarty w
k
Q
Xi ;
i=1
f) jeżeli Fi są domknięte w (Xi , di ) (przy i = 1, . . . , k), to F1 × . . . × Fk jest domknięty w
k
Q
Xi ;
i=1
g) B
Q
k
Q
(xi )ki=1 , r =
B Xi (xi , r) w metryce %∞ ;
h)
k
Q
Ai =
i=1
i=1
k
Q
Ai .
i=1
Uwaga: Przy k = 2 i Xi = R znajdujemy się w sytuacji Zad. 1 (i),(ii),(iii).
Zadanie 18. Porównać pomiędzy sobą przestrzenie:
(R3 , %2 ) = (R × R × R, %2 ), ( (R2 , d2 ) × R, %2 ), ( (R2 , d1 ) × R, %2 ), ( (R2 , d∞ ) × R, %2 ),
(R3 , %1 ), ( (R2 , d2 ) × R, %1 ), ( (R2 , d1 ) × R, %1 ), ( (R2 , d∞ ) × R, %1 ),
(R3 , %∞ ), ( (R2 , d2 ) × R, %∞ ), ( (R2 , d1 ) × R, %∞ ), ( (R2 , d∞ ) × R, %∞ ).
(Jak wyglądają w nich kule? Jak „wygląda” zbieżność?)
Zadanie 19. (Przestrzenie ciągów) Niech c0 ⊂ c ⊂ `∞ oznaczają:
N
c0 = {(xi )∞
i=1 ∈ R : lim xi = 0},
i→∞
N
N
c = {(xi )∞
`∞ = {(xi )∞
i=1 ∈ R : ∃g∈R g = lim xi },
i=1 ∈ R : ∃M ∀i |xi | 6 M }.
i→∞
∞
W zbiorach tych wprowadzamy odległość d∞ ( (xi )∞
i=1 , (yi )i=1 ) = supi∈N |xi − yi |. Sprawdzić, że:
a) c0 , c i `∞ są przestrzeniami
metrycznymi;
∞
∞
∞
∞
d∞
1
1
1
1
, i
∈ c0 oraz 1i + n1
−→
w każdej z przestrzeni c0 , c, `∞ ;
b) i + n
i
n→∞
i=1
c) c0 63 2 + 1i +
i=1
∞
d∞
1
−→
n i=1 n→∞
∞
d∞
1
−→
n i=1 n→∞
∞ i=1
1
wci
i i=1
∞
((−1)i )i=1 w `∞ ;
∞
2+
i=1
`∞ ;
d) c 63 (−1)i +
e) c0 jest domkniętym podzbiorem c i ` , a c jest domkniętym podzbiorem `∞ .
Zadanie 20. (Przestrzeń funkcji ograniczonych) Niech (X, d) będzie
dowolną przestrzenią metryczną, o
n
zaś T jakimkolwiek niepustym zbiorem. Definiujemy B(T, X) = f ∈ X T : f (T ) ⊂ X jest ograniczony .
W rodzinie funkcji ograniczonych zadajemy tzw. metrykę jednostajną (Czebyszewa) wzorem
%sup (f, g) = sup d [ f (t), g(t) ] .
t∈T
Pokazać, że:
a) %sup jest poprawnie zdefiniowana
stanowi metrykę;
i rzeczywiście
%sup
1
b) dla X = R, T = [0, 1], fn (t) = 1 + n · t, f (t) = t (przy t ∈ [0, 1]) zachodzi fn n→∞
−→ f ;
c) ciąg fn (t) = tn , fn : T = [0, 1] → R = X nie posiada granicy w ( B([0, 1], R), %sup ).
Wskazówka do c): zauważyć, że %sup (fn , f2n ) = 14 .
Uwaga: (`∞ , d∞ ) = ( B(N, R), %sup ).
∞
Zadanie 21. Sprawdzić, że d1 ( (xi )∞
i=1 , (yi )i=1 ) =
N
`1 = {(xi )∞
i=1 ∈ R :
P∞
i=1
∞
P
|xi − yi | zadaje metrykę w zbiorze
i=1
|xi | < ∞}.
Wskazówka: Poprawność wynika z prostej nierówności dla szeregów
∞
P
i=1
4
|xi − yi | 6
∞
P
i=1
|xi | +
∞
P
i=1
|yi |.
Przestrzenie metryczne: zupełność, zwartość, spójność
Zadanie 22. Zbadać, które spośród przestrzeni rozważanych w Zadaniach 1, 3, 4 są: ograniczone,
zupełne, zwarte, a które spójne?
Zadanie 23. Podać przykład podzbioru A ⊂ Rn , który jest:
a) zwarty i spójny,
b) zupełny, niezwarty i spójny ,
c) niezupełny i spójny,
d) zupełny, niezwarty i niespójny,
e) zwarty i niespójny,
f) niezupełny i niespójny.
Zadanie 24. (Podprzestrzeń) Niech X będzie przestrzenią metryczną zupełną [odpowiednio: zwartą].
Pokazać, że podprzestrzeń A ⊂ X jest zupełna [odpowiednio: zwarta] wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
A jest domknięty w X.
Zadanie 25. Wykazać, że jeśli A, B ⊂ X są zupełne [zwarte], to ich suma A ∪ B również.
Zadanie 26. (Produkt kartezjański) Iloczyn kartezjański skończonej ilości przestrzeni zupełnych
[odpowiednio: zwartych, spójnych] jest zupełny [zwarty, spójny].
Co dla produktu z metryką miejską? A co dla metryki „max”?
Wskazówka: Skoncentrować się na sytuacji dwóch czynników. W przypadku zupełności i zwartości
skorzystać z twierdzenia o zbieżności po współrzędnych.
Zadanie 27. (Przestrzenie ciągowe c0 , c, `∞ ) Niech c0 ⊂ c ⊂ `∞ oznaczają:
N
c0 = {(xi )∞
i=1 ∈ R : lim xi = 0},
i→∞
c=
{(xi )∞
i=1
N
∈ R : ∃g∈R g = lim xi }, `∞ = {(xi )∞
i=1 ∈ R : ∃M ∀i |xi | 6 M }.
N
i→∞
∞
W zbiorach tych wprowadzamy odległość d∞ ( (xi )∞
i=1 , (yi )i=1 ) = supi∈N |xi −yi |. Wykazać, że przestrzeń
`∞ jest zupełna (podobnie c0 i c).
n
o∞
∞
Wskazówka: Bierzemy dowolny ciąg Cauchy’ego (xi (n) )∞
i=1 n=1 ⊂ ` . Sprawdzamy, że dla każdego
ustalonego wskaźnika i ∈ N ciąg liczbowy {xi (n) }∞
n=1 ⊂ R spełnia warunek Cauchy’ego (bo
∞
∞
|xi − yi |6 d∞ [(xi )i=1 , (yi )i=1 ] ). Dzięki zupełności R możemy położyć xi = n→∞
lim xi (n) . Wystarczy teraz
d
∞
∞
sprawdzić, że (xi (n) )∞
i=1 −→ (xi )i=1 .
n→∞
Zadanie 28.
że przestrzeń (X, d) jest zupełna [odpowiednio: zwarta, spójna] wtedy i tylko
Wykazać,
d
wtedy, gdy X, 1+d ma tę samą własność. Podobnie dla (X, min{1, d}).
∞
N
2
Zadanie 29. (Przestrzeń Hilberta `2 ) Niech `2 =q
{(xi )∞
i=1 |xi | < ∞}.
i=1 ∈ R :
P
∞
∞
2
2
a) Sprawdzić, że wzór d2 ( (xi )∞
i=1 , (yi )i=1 ) =
i=1 |xi − yi | zadaje metrykę w ` .
b) Udowodnić zupełność (`2 , d2 ).
c) Pokazać, że w przestrzeni `2 nie zachodzi twierdzenie o zbieżności po współrzędnych.
d) Wykazać, że kula domknięta D(θ, 1) = { x ∈ `2 : d2 (x, θ) 6 1 }, θi = 0, stanowi zbiór
domknięty, ograniczony i zupełny w `2 , lecz nie jest zwarta.
Wskazówki: ad (a) korzystając
z nierówności Minkowskiego
dla
sum skończonych udowodnić nierówność
qP
qP
qP
∞
∞
∞
2
2
2
Minkowskiego dla szeregów:
i=1 (ai + bi ) 6
i=1 ai +
i=1 bi (należy systematycznie przechodzić
P
n
Pn
o∞
(n) ∞
)i=1
i=1 do granicy przy n → ∞); ad (b) por. Zad. 27; ad (c) kontrprzykładu dostarcza ciąg (xi
n=1
( 1
√ ,
gdy
i
6
n,
n
⊂ `2 dany wzorem xi (n) =
ad (d) z ciągu jednakowo odległych „wersorów”
0,
gdy i > n;
(
1, gdy i = n,
(n)
(ε(n) )∞
=
nie sposób wybrać podciągu zbieżnego.
n=1 , εi
0, gdy i 6= n,
w
5
∞
Zadanie 30. (Przestrzeń ciągowa `1 ) Sprawdzić, że d1 ( (xi )∞
i=1 , (yi )i=1 ) =
P∞
∞
P
|xi − yi | zadaje metrykę
i=1
1
N
w zbiorze `1 = {(xi )∞
i=1 |xi | < ∞}. Udowodnić zupełność ` .
i=1 ∈ R :
Wskazówka: Poprawność wynika z prostej nierówności dla szeregów
∞
∞
∞
P
P
P
|xi − yi | 6
|xi | +
|yi |.
Na temat zupełności por. wskazówki do Zad. 27 i 29.
i=1
i=1
i=1
n
o
Zadanie 31. (Przestrzeń funkcji ograniczonych) Niech B(T, X) = f ∈ X T : f (T ) ⊂ X jest ograniczony ,
gdzie (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną, zaś T jakimkolwiek zbiorem. W rodzinie funkcji
ograniczonych zadajemy metrykę jednostajną (Czebyszewa) wzorem %sup (f, g) = supt∈T d [ f (t), g(t) ].
Pokazać, że:
a) Jeśli (X, d) jest zupełna, to ( B(T, X), %sup ) też jest zupelna.
b) Jeśli ( B(T, X), %sup ) jest zupełna, to (X, d) też jest zupełna.
c) Jeśli T jest zwartą przestrzenią metryczną, to C(T, X) = {f ∈ X T : f jest ciągła} stanowi
domkniętą podprzestrzeń B(T, X). Kiedy C(T, X) jest zupełna?
d) Przestrzenie B(I, I) oraz C(I, I), gdzie I = [0, 1], nie są zwarte. Kiedy przestrzenie B(T, X) i
C(T, X) są zwarte?
Wskazówki: ad (a) dla ciągu Cauchy’ego {fn }∞
n=1 ⊂ B(T, X) ustalić t ∈ T , wyznaczyć f (t) =
%sup
(X,d)
lim
fn (t), a na końcu sprawdzić, że fn −→ f , por. Zad. 27; ad (b) wziąć ciąg Cauchy’ego
n→∞
n→∞
∞
{xn }n=1 ⊂ X, przyjąć za {fn }∞
⊂
B(T,
X)
ciąg funkcji stałych fn ≡ xn , a następnie zauważyć,
n=1
%sup
∞
że {fn }n=1 jest ciągiem Cauchy’ego, wreszcie granica fn −→ f jest funkcją stałą, powiedzmy f ≡ x,
n→∞
skąd ostatecznie d(xn , x) = %sup (fn , f ) → 0; ad (c) (jeśli tu zaglądasz, to jeszcze nie przejrzałeś
zestawu); ad (d) wykorzystać stosowne ciągi funkcyjne z wcześniejszych Zadań.
Zadanie 32. Wykaż, że trójkąt T = {0} × [0, 1] ∪ [0, 1] × {0} ∪ { (x, y) ∈ R2 : x + y = 1, x, y > 0 }
jest spójnym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej:
a) z definicji,
b) za pomocą twierdzenia
Darboux (o zachowywaniu spójności przy przekształceniach ciągłych).
Zadanie 33. Pokazać, że jeśli S, M ⊂ X są spójne, to:
o ile w b) założymy S ∩ M 6= ∅.
a) S ⊂ X,
b) S ∪ M
są też spójne,
Zadanie 34. (Twierdzenie Arzeli) Niech F = {fα, m ∈ C([0, 1], R) : α ∈ (−2, 2], m ∈ [5, 6]}, gdzie
fα,m (x) = α x + m. Pokazać, że F jest jednakowo ciągła i wspólnie ograniczona, ale nie jest zwarta w
C([0, 1], R).
Wskazówki: |x − y| 6 δ ⇒ |fα,m (x) − fα,m (y)| 6 ε, gdzie δ = µε , µ = supα∈(−2,2] |α| = 2 (kres górny
„nachyleń”); %sup (fα,m , fβ,n ) = supx∈[0,1] |α x + m − β x − n| 6 |α − β| + |m − n|; rozważyć f−2+ 1 , 5 .
n
Zadanie 35. (Twierdzenie Arzeli) Uzasadnić zwartość rodziny F = {gα : α ∈ [2, 3]} ⊂ C([0, 1], R),
gdzie gα (x) = α x2 . Wskazówka: Por. z Zad. 34; skorzystać z twierdzenia Arzeli, aby otrzymać
relatywną zwartość F; następnie wykorzystać, że
%sup
jeśli gαn −→ h ∈ C([0, 1], R), to α = lim αn ∈ [2, 3] istnieje, a przy tym h = gα ,
n→∞
n→∞
celem uzyskania domkniętości F. Jak otrzymać relatywną zwartość F bez kryterium Arzeli?
Zadanie 36. Jeśli A ⊂ X posiada skończoną r-sieć S ⊂ X, to ma też skończoną 2r-sieć Σ ⊂ A.
Zadanie 37. (Twierdzenie Cantora o przekroju) Niech f : X → Y będzie ciągła, zaś {An }∞
n=1 będzie
zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych. Załóżmy, że zachodzi jeden z następujących warunków:
a) X jest przestrzenią zwartą, lub
b) X jest przestrzenią zupełną, a średnice δ(An ) −→ 0.
n→∞
T∞
T∞
T
Wówczas f ( n=1 An ) = n=1 f (An ). Ponadto, jeśli An 6= ∅ dla n ∈ N, to ∞
n=1 An 6= ∅.
6
Przestrzenie metryczne: jednostajna ciągłość, warunek Lipschitza
Zadanie 38. (X, d) – przestrzeń metryczna. Udowodnić, że:
a) d : X × X → R,
b) dist(·, A) : X → R.
W X × X rozważyć metrykę produktową euklidesową, miejską i „max”. Co z lipschitzowskością ?
Wskazówka: Por. Zad. 10.
Zadanie 39. Pokazać, że każda funkcja określona na przestrzeni dyskretnej jest ciągła. Czy musi
być jednostajnie ciągła? A lipschitzowska? Co można powiedzieć o (jednostajnej) ciągłości funkcji z
dyskretną przeciwdziedziną?
Zadanie 40. Sprawdzić, że są kontrakcjami w metryce miejskiej d1 , ale nie w metryce euklidesowej
d2 . Co się dzieje w metryce „max”
d∞ ?
1
8
2
2
(x + y) ,
a) f : R → R , f (x, y) = 10 (x + y), 10
5
(x + y + z), x+y+z
, x+y+z
,
8
8
8
x+y 5
x+z
3
3
c) f : R → R , f (x, y, z) = 8 , 8 (y + z), 8 .
(x,x), f (0,0) ]
Wskazówki: ad (a) d2d[2 f[ (x,x),
> 1, stała kontrakcji względem
(0,0) ]
b) f : R3 → R3 , f (x, y, z) =
d1 wynosi
9
;
10
ad (b), (c) podobnie.
Zadanie 41. (Twierdzenie Banacha o punkcie stałym) Niech X będzie zupełną przestrzenią metryczną
oraz f : X → X dowolną funkcją.
a) Podać przykład takiej funkcji f , która nie jest zwężająca, chociaż jej złożenie f ◦ f : X → X
już jest.
b) Udowodnić, że jeśli f ◦ f : X → X jest zwężające, to f posiada punkt stały i to dokładnie
jeden.
Wskazówki: ad (a) wystarczy szukać na prostej X = R; ad (b) niech a ∈ X, a = (f ◦ f )(a); rozpatrzyć
wyrażenie f (f ( f (a) )).
Zadanie 42. Z dokładnością do 0,001 znaleźć metodą kolejnych przybliżeń pierwiastek równania
a) x3 − 10x − 5 = 0 leżący w (−1, 0),
b) x3 + 5x2 − 15x = 7,
c) 2x + sin x = 1.
Wskazówka do c): podzielić obustronnie przez 2 i przekształcić do postaci x = f (x)
(ze względu na sinus pomocny kalkulator).
Literatura:
1. L. Górniewicz, R.S. Ingarden „Analiza matematyczna dla fizyków”
2. J. Banaś, S. Wędrychowicz „Zbiór zadań z analizy matematycznej”
3. J. Jędrzejewski, W. Wilczyński „Elementarne zadania z teorii przestrzeni metrycznych”
4. W. Rzymowski „Przestrzenie metryczne w analizie”
5. D. Brydak, E. Turdza „Zbiór zadań z teorii mnogości i teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych”
6. M. Malec „Przestrzenie metryczne”
7. A.B. Antoniewicz, P.N. Kniaziew, Ya.V. Radyno „Zadaczi i uprażnienija po funkcjonalnomu
analizu”, Wyszejszaja Szkoła, Mińsk 1978
7