Zadania z geometrii B

Zadania z geometrii B
Zestaw 6: proste i płaszczyzny
Zadania 1- 8 dotyczą płaszczyzny euklidesowej R2 (ze zwykłym iloczynem skalarnym), zaś pozostałe dotyczą
przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej R3 .
1. Zamienić równanie ogólne Ax + By + C = 0 prostej na równanie parametryczne.
2.
x
x0
x
Zamienić równanie parametryczne
=
+ λ 1 prostej na równanie ogólne.
y
y0
y1
3. Napisać równania
(a) ogólne
(b) parametryczne
prostej na płaszczyźnie
(a) przechodzącej przez punkty P (x1 , y1 ),Q(x2 , y2 )
(b) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i równoległej do prostej Ax + By + C = 0
x
x1
x
(c) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i równoległej do prostej
=
+λ 2
y
y1
y2
(d) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i prostopadłej do prostej Ax + By + C = 0
x
x1
x
(e) przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) i prostopadłej do prostej
=
+λ 2
y
y1
y2
4. Wykazać, że wektor [A, B] jest wektorem normalnym do prostej Ax + By + C = 0.
5. Obliczyć odległość początku układu wpółrzędnych od prostej Ax + By + C = 0. Przesuwając układ
współrzędnych wyprowadzić wzór na odległość dowolnego punktu od tej prostej.
√
√
Obliczyć kąt między prostymi x + 3y + 5 = 0, 3x + y + 7 = 0
6.
7. Sprawdzić, czy prosta o równaniu
(a) 9x + 4y + 14 = 0
(b) 3x + y + 4 = 0
należy do pęku zadanego przez proste 5x + 7y + 9 = 0, 4x − 3y + 5 = 0
√
√
8. Znaleźć dwusieczne kątów zadanych przez proste x + 3y = 0, 3x + y = 0.
——————————————————————————————
9.
10.
11.
12.
Zamienić równanie ogólne płaszczyzny x − 2y − z = 1 na równanie parametryczne,
Zamienić równanie ogólne płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 na równanie parametryczne.
Wykazać, że wektor [A, B, C] jest wektorem normalnym do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0.
Obliczyć odległość początku układu wpółrzędnych od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Przesuwając
układ współrzędnych wyprowadzić wzór na odległość dowolnego punktu od tej płaszczyzny.
√
√
√
√
√
√
Obliczyć kąt między płaszczyznami 2x + 2 3y + 2z + 5 = 0, 2 3x − 2y + 2z + 7 = 0
13.
14. Znajdź równanie ogólne płaszczyzny (1, −1, 1) + lin ([1, 2, 0], [2, 1, −1]).
15. Uzasadnij,
że płaszczyzna
(x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ], [x3 , y3 , z3 ]) ma równanie ogólne


X − x1
det  Y − y1
Z − z1
x1
y2
z2
x1
y2  = 0
z3
16. Znaleźć równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty P = (2, −5, 1),
Q = (−1, 0, 3), R = (1, 1, 0).
17. Uzasadnij, że płaszczyzna przechodząca przez
trzy niewspóliniowe punkty

 P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x2 , y2 , z2 )
X − x1
R = (x3 , y3 , z3 ) ma równanie ogólne det  Y − y1
Z − z1
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
18. W przestrzeni R3 znaleźć:
(
x − 2y − z = 1
(a) równanie parametryczne prostej
,
2x − 3z = 2
(b) równanie ogólne prostej (1, −1, 2) + lin ([3, −5, 1]),
1
x3 − x1
y3 − y1  = 0
z3 − z1
(c) równanie ogólne i parametryczne prostej przechodzącej przez punkty P = (2, −5, 1), Q = (−1, 0, 2).
19. Uzasadnij, że w przestrzeni R3 prosta (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) ma równanie ogólne (jest to tzw. postać
kanoniczna)
X − x1
Y − y1
Z − z1
=
=
x2
y2
z2
Uwaga! W przypadku, gdy któraś ze współrzędych x2 , y2 , z2 jest równa zero powyższe równości należy
traktować jako równości odpowiednich iloczynów „na krzyż”.
20. Uzasadnij, że w przestrzeni R3 prosta przechodząca przez dwa różne punkty P = (x1 , y1 , z1 ),
Q = (x2 , y2 , z3 ) ma równanie ogólne
X − x1
Y − y1
Z − z1
=
=
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
21. Znajdź równanie ogólne prostej
(a)
(b)
(c)
(d)
(1, −1, 1) + lin ([2, 1, −1]),
(−2, −1, 0) + lin ([3, 0, −1]),
(5, −1, 1) + lin ([0, 2, 0]),
af ((0, −1, 2), (1, 3, 2)).
22. Znajdź równanie ogólne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni R3 :
(a)
(b)
(c)
(d)
af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)),
af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)),
(1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1]),
(1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1], [0, 1, 0]).
23. Znajdź równanie parametryczne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni R3 :
(a) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)),
(b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)),
(c) x + y = 1
(
x−y =1
(d)
.
2x + y + z = 0
24. W przestrzeni R3 znajdź równanie kanoniczne prostej
(a) af ((1, 1, 3), (2, 2, , 5),
(b) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, −1]),
(
x−y =1
(c)
.
y+z =0
0
0
0
0
0
0
25. Uzasadnij, że prosta (x1 , y1, z1 ) + lin
 ([x2 , y2 , z2 ]) jest równoległa do prostej (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ])
x2
wtedy i tylko wtedy, gdy r  y2
z3
x02
y20  = 1
z30
26. Sprawdź, czy prosta (−2, 0, 1) + lin ([1, −1, 3]) jest równoległa do prostej
27.
(a) af ((0, 1, −1), (2, −1, 5)),
y
z−2
x−1
=
=
.
(b)
2
−1
3
Uzasadnij, że prosta (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) jest równoległa do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy
Ax2 + By2 + Cz2 = 0.
28. Sprawdź, czy prosta
y
z−2
x−1
=
=
,
2
−1
3
(b) af ((1, 0, 2), (2, 1, 3)
(a)
jest równoległa do płaszczyzny 2x + y − z = 1.
29. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny H, gdzie:
(a) P = (1, −3, 1),
H = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 1], [1, 0, 3]),
2
(b) P = (1, −1), H : x + 2y − z = 1),
(c) P = (−1, −3, 1), H = af ((1, −2, 0), (1, 0, 1), (2, −1, 1)).
30. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostej L, gdzie:
(a) P = (1, −3, 1),
L = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 1]),
(
x + 2y − z = 1
,
(b) P = (1, −1, 0), L :
2x + z = 0
(c) P = (−1, −3, 1), L = af ((1, −2, 0), (2, −1, 1)).
31. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostych L1 i L2 , gdzie:
(a) P = (1, 0, 1), L1 = (1, 2, 0) + lin ([1, −1, 2]), L2 = af ((1, 0, 0), (2, 3, −1)),
(
x + 2y − z = 1
x−1
y
z−2
, L2 :
(b) P = (−1, 2, 1), L1 :
=
=
.
2
−1
3
2x + z = 0
32. Uzasadnij, że w przestrzeni proste L = (x1 , y1 , z1 ) + lin ([x2 , y2 , z2 ]) i L0 = (x01 , y10 , z10 ) + lin ([x02 , y20 , z20 ])
leżą w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy
 0
x1 − x1 x2
 y10 − y1 y2
z10 − z1 z2

x02
y20  ¬ 2
z20
33. Zbadaj wzajemne położenie prostych L1 i L2 , gdzie:
x−1
y
z−2
=
=
,
2
−1
3
x−2
y+1
z−2
x−3
y+2
z−5
(b) L1 :
=
=
, L1 :
=
=
,
1
−1
3
2
1
3
(c) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([0, 1, −1]), L2 = af ((1, 1, 0), (2, −1, 1)).
(a) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([1, 2, −1]), L2 :
34. W przestrzeni A(R3 ) zbadaj wzajemne położenie
(a) płaszczyzn H1 = af ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)), H2 : y = 2,
(b) prostych L1 = af ((1, 1, 1), (2, 1, 1)), L2 = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]),
(c) prostej L = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]) i płaszczyzny H : x − z = 5).
35. Poprowadzić przez punkt P prostą przecinającą proste L1 i L2 , jeżeli

(a) P = 

(b) P = 

(c) P = 
3
2
1
1
2
1
2
3
1


2
3
, L1 =  3  + lin ( 1
−1
0




0
−1
, L1 =  3  + lin ( 1
3
1

x+y
=0
 , L1 :
x−y+z+4=0





1
4
), L2 =  −1  + lin ( 1 ),
1
2

 


3
2
), L2 =  5  + lin ( 3 ),
1
1
x + 3y
−1=0
, L2 :
.
y−z−2=0


3