Zadania - proste na płaszczyźnie i w przestrzeni

Proste i płaszczyzny__zadania
Zadania - proste na płaszczyźnie i w przestrzeni i płaszczyzny
1. Pod jakim kątem nachylona jest do osi x prosta o równaniu:
y = -√3*x + 3.
2. Znaleźć punkt przecięcia prostych:
i
ii
iii
5 x  y  1  0

3 x  2 y  1  0
3 x  2 y  1  0

y  3  2t
x  2  t
 x  1  2t

x  t  2
y  2  3t
y  1 t
tR
tR
tR
3. Znaleźć rzut prostokątny punktu M= (7, 1, 0) na proste :
l: y = -3x + 2
m: x = -1 + 2t
y = -2 + 5t
z = -1 -tt ε R
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach: A = (3,4)
B = (5,1)
C = (-3,3)
Znaleźć równanie środkowej i wysokości z wierzchołka A w tym trójkącie.
5. Czy przecinają się poniższe proste::
i
ii
4 x  3 y  1  0

2 x  7 y  5  0
 x  0.2 y  3  0

 5 x  y  15  0

6. Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej :
4x - 3y + 11 = 0
i przechodzącej przez punkt powyższej prostej o odciętej równej 1.
7. Dane są 2 proste k i l o równaniach:
k:
3x - y + 18 = 0
l:
x+y-2=0
oraz punkt A = (3, -1). Na osi OX znajdź taki punkt P, aby wektory AP oraz AB były
prostopadłe, wiedząc, że punkt B jest punktem wspólnym prostych k i l.
8. Wierzchołkami trójkąta są punkty A = (-1,3), B = (-2,0), C = (2,-3).
i Napisz równania prostych zawierających boki tego trójkąta .
ii Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka A.
iii Wyznacz współrzędne punktu D tak, aby czworobok ABCD był równoległobokiem.
9. Dany jest punkt A = (3,-5) oraz prosta y = 3x.
Znajdź punkt symetryczny do A względem danej prostej.
10. Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora a na oś MN, gdzie
a = [1 -3 1]
M = (-5, 7, -6) N = (7, -9, 9)
11. Dana jest prosta m w przestrzeni:
m: x = -1 + 2t
y = -2 + 5t
z = -1 -tt ε R
oraz punkt A = (5,1,2).
Znaleźć punkt symetryczny do A względem prostej m.
12. Obliczyć odległość punktu P( -3, 1, 2) od prostej l:
x = -3 + 3t
y = 0 z = 2 + 4t
13. Dla jakiej wartości parametru t proste:
y = 2x + 7
i y = tx + 12
i
są równoległe?
ii
są prostopadłe?
14. Dla jakich wartości parametru k proste o równaniach
kx + 2y + 2 = 0
i kx + ky + 1 = 0
i
są równoległe?
ii
są prostopadłe?
15. Czy proste :
l:
6x + y – 4 = 0 i m: x = -t + 1 t є R
są równoległe?
1
y = 6t - 2
16. Znaleźć punkt przecięcia prostej:
x = 2 + t;
y=1-t;
z = -1 + 2 t
tєR
z płaszczyzną : x + y + z -1 = 0 oraz kąt między prostą i płaszczyzną.
17. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do dwózh prostych :
krawędzi: 2x-4y-4y + z-1 = 0
x+3y +5 = 0
oraz prostej: x = 2 + 4t ; y = -1 –t; z = -3 + 2t
18. Poprowadzić płaszczyznę przez punkt M (1,3,2) i prostą: x = 1 – t; y = 2t; z = 2 + t
19. Czy płaszczyzny :
i 2x - 3y + 6z -4 = 0
-x + 1.5y - 3z + 5 = 0
ii 2x - y + 3z + 2 = 0
4x + 2y + 6z + 4 = 0
są do siebie równoległe?
20. Czy płaszczyzny:
i 5x -y + z - 1 = 0
x + 8y + 3z - 2 = 0
ii 2x - y + 3z + 2 = 0
x + 8y - z - 4 = 0
są do siebie prostopadłe?
21. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (3,1,-2) i równoległej do
płaszczyzny x -2y + z + 5 = 0.
22. Znaleźć punkt przecięcia trzech płaszczyzn :
2x - y + 3z + 2 = 0
x + 8y - z - 4 = 0
-x + 3y - 2z + 1 = 0
23. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P, Q, R:
P = (1, 3, 5)
Q = (1, 0, -1)
R = (0, 4, 1)
24. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1 = (2, -1, 5) i P2 = (-1, 3, 2) i
prostopadłą do płaszczyzny :
x - 2y + 4z -1 = 0.
25. Czy punkty A = (1, 2, 3), B = (-1, 5, 2), C = (-1, 5, -9) i D = (-5, 11, -11) leżą na jednej
płaszczyźnie?
26. Napisać równanie parametryczne krawędzi płaszczyzn:
3x + 5y - 4z - 1 = 0
4x + y + z + 1 + 0.
27. Poprowadzić płaszczyznę przez punkty M(3,-1,0) i N(-2,4.-3) prostopadle do płaszczyzny:
4x – y +3 = 0.
28. Znaleźć kąt między płaszczyznami: x-4y-8z-8 = 0
x+2y-2z+1 = 0
29. Znaleźć odległość punktu M(1,2,-2) od płaszczyzny: x+2y-2z+1 = 0
30. Znaleźć odległość między dwoma równoległymi płaszczyznami: 3x+2y-6z-35 = 0 i 3x+2y6z-56 = 0
31. Znaleźć punkt przecięcia 3-ech płaszczyzn:
3x+ 4y -3z+37 = 0
6x-7y+2z-95 = 0
5x +2y-8z + 53 = 0
32. Znaleźć równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny 20x – 4y -5z + 7 = 0 i odległej od
niej
o 6 jednostek.
2