PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 2-3 (226-227)
2013
Rok LIX
Krzysztof DĘBOWSKI
Politechnika Śląska w Gliwicach
O WPŁYWIE KSZTAŁTU FUNKCJI PRZYNALEŻNOŚCI
NA WYNIK OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W UKŁADZIE
JEDNOFAZOWYM Z NIEIDEALNYM ŹRÓDŁEM NAPIĘCIA
OKRESOWEGO ODKSZTAŁCONEGO
Streszczenie. W artykule przedstawione zostało zastosowanie rozmytego programowania matematycznego w optymalizacji jednofazowego obwodu elektrycznego
z nieidealnym źródłem napięcia okresowego odkształconego i liniowym odbiornikiem.
Przeanalizowany został wpływ kształtu funkcji przynależności, opisujących zmienność
parametrów układu na wynik optymalizacji, oraz uogólniona została postać ograniczenia
rozmytego, pozwalająca opisać to ograniczenie dla dowolnego kształtu funkcji
przynależności. Prąd optymalny jako rozwiązanie problemu optymalizacji otrzymywany
jest jako rzeczywisty (nierozmyty) w dziedzinie częstotliwości, i rozumiany jest jako
wynik optymalizacji rozmytej, czyli w przypadku kiedy warunek mocy czynnej nie musi
być spełniony dokładnie.
Słowa kluczowe: prąd optymalny, optymalizacja obwodu elektrycznego, straty mocy, zbiory rozmyte
ABOUT THE IMPACT OF THE SHAPE OF MEMBERSHIP FUNCTIONS
ON RESULT OF FUZZY OPTIMIZATION IN ONE-PHASE SYSTEM
WITH NON-IDEAL PERIODICAL NONSINUSOIDAL VOLTAGE SOURCE
Summary. In the paper has been presented the application of fuzzy mathematical
programming in optimization problem of one-phase electrical system with non-ideal
periodical nonsinusoidal voltage source and linear load. Moreover, in the paper has been
analyzed the impact of the shape of membership functions describing the potential
changes of parameters of the on optimization results as well the form of fuzzy constraint
has been generalized. This form makes enable to describe the constraint for any shape of
membership function. The optimal current as the solution of optimization problem is
obtained as a real (not fuzzy) result, in frequency domain, and it is the result of fuzzy
optimization, i.e. in case that the constraint of active power needs not to be fulfilled
precisely.
Keywords: optimal current, optimization of electrical system, power losses, fuzzy sets
K. Dębowski
80
1. WPROWADZENIE
W przypadku optymalizacji rozmytej [1] zakłada się, że ustalany warunek dodatkowy
optymalizacji powinien być spełniony w sensie rozmytym, a więc spełniony będzie w przybliżeniu, a nie dokładnie jak w przypadku optymalizacji klasycznej. Optymalizacja rozmyta
obwodu elektrycznego, polegająca na minimalizacji wartości skutecznej prądu źródła przy
konieczności spełnienia dodatkowego warunku mocowego (sformułowanego np. jako
warunek dostarczenia do odbiornika zadanej mocy czynnej), pozwala wyznaczyć wartość
prądu optymalnego w układach, w których parametry układu nie są stałe w sensie swoich
charakterystycznych wartości [2]. W artykule przedstawiony został problem i jego
rozwiązanie dla przypadku optymalizacji rozmytej układu, w którym zmianom podlegają
parametry źródła napięcia oraz parametry jego impedancji wewnętrznej. W artykule została
uogólniona postać ograniczenia rozmytego, a także przeanalizowano możliwy wpływ kształtu
funkcji przynależności, opisujących charakter zmian parametrów układu opisanych za
pomocą liczb rozmytych, na wynik optymalizacji rozmytej.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Rozpatrywany układ został przedstawiony na rys. 1.
Rys. 1. Rozpatrywany układ jednofazowy ze źródłem napięcia okresowego odkształconego z impedancją wewnętrzną, opisany jako liczby rozmyte
Fig. 1. The considered one-phase system with the nonsinusoidal periodical voltage source with inner
impedance described as fuzzy numbers
W przedstawionym układzie zakłada się, że zarówno napięcie źródła, jak i jego
impedancja wewnętrzna są opisane liczbami rozmytymi, które reprezentuje sobą potencjalne
zmiany, jakim w sposób naturalny mogą podlegać wspomniane wielkości, np. wskutek zmian
w strukturze sieci zasilającej (zmiany w układzie zastępczego źródła i jego impedancji
wewnętrznej) [3, 4]. Zadanie optymalizacyjne zostanie sformułowane w dziedzinie
częstotliwości, natomiast w dziedzinie czasu przebieg napięcia okresowego odkształconego
O wpływie kształtu funkcji…
81
źródła stanowi rozmytą funkcję czasu, w której wartości skuteczne kolejnych harmonicznych
opisane są liczbami rozmytymi. W szczególności źródło napięcia może być opisane jako
rozmyta funkcja czasu:
e~ t  
N

h 1
~
2 E h sinht   h  ,
(1)
~
gdzie E h – wartości skuteczne napięcia źródła dla kolejnych harmonicznych jako liczby
rozmyte.
1.00
μIEI
0.75
0.50
0.25
IE I
V
0.00
370
380
390
Eα=0, L Eα=0.5, L
400
Eα=1, L=
=Eα=1,U
410
420
430
Eα=0.5, U Eα=0, U
Rys. 2. Wartość skuteczna pierwszej harmonicznej napięcia jako liczba rozmyta z zaznaczonymi
α-przekrojami
Fig. 2. The RMS value of basic harmonic of the voltage as fuzzy numbers with marked α-cuts
200
~
µ=0,5
e(t)[V]
µ=1
µ=0
150
100
µ=0
50
µ=0,5
t [ms]
0
0
5
-50
Rys. 3. Przebieg napięcia źródła jako rozmyta funkcja czasu e~t 
Fig. 3. The waveforms of-100
voltage source as fuzzy time function e~t 
-150
-200
10
15
20
K. Dębowski
82
Na rys. 2 został przedstawiony przykład wartości skutecznej napięcia jako liczby rozmytej
~
~
E  400 V , a rys. 3 przedstawia przebieg napięcia źródła jako rozmytą funkcję czasu dla
wartości
skutecznych
kolejnych
harmonicznych
w
postaci
liczb
rozmytych
~
100
~
Eh 
V;  h  0; h  1,3,5,7,9 . Celem artykułu jest przenalizowanie wpływu kształtu
h
funkcji przynależności parametrów układu, opisywanych liczbami rozmytymi, na wynik
optymalizacji rozmytej, polegającej na wyznaczeniu prądu optymalnego układu (o minimalnej wartości skutecznej) przy jednoczesnym spełnieniu ograniczenia rozmytego. Na rys. 4
i 5 przedstawione zostały przykłady różnych kształtów funkcji przynależności napięć źródła
dla harmonicznych pierwszej i trzeciej. Podobnie jak wartości skuteczne napięcia źródła,
również impedancja wewnętrzna źródła może być opisana jako liczba rozmyta.
1
μIE3I
μIE1I
1
0,75
0,75
0,5
0,5
0,25
0,25
IE1I
0
V
280
320
0 L
E1
360
1 L
400
E1
440
1 U
94
480
E1
0 U
IE3I
0
E1
107
0 L
E3
120
1 L
133
E3
146
1 U
E3
159
0 U
V
E3
Rys. 4. Funkcje przynależności napięcia źródła pierwszej i trzeciej harmonicznej o kształcie trapezoidalnym
Fig. 4. Membership functions of basic and third harmonics of voltage source with trapezoidal shapes
1
μIE3I
μIE1I
1
0,75
0,75
0,5
0,5
0,25
0,25
0
280
320
0 L
E1
360
400
440
480
0 U
E1
IE1I
V
IE3I
0
94
107
0 L
E3
120
133
146
159
0 U
V
E3
Rys. 5. Funkcje przynależności napięcia źródła pierwszej i trzeciej harmonicznej o kształcie funkcji
Gaussa
Fig. 5. Membership functions of basic and third harmonics of voltage source with Gaussian shapes
O wpływie kształtu funkcji…
83
Na rys. 6 został przedstawiony przykład rezystancji wewnętrznej źródła opisanej jako
liczba rozmyta. Zmiany wartości skutecznych napięcia oraz impedancji wewnętrznej źródła
powodują również zmiany mocy czynnej, pobieranej przez odbiornik.
μRz
μRz
1
1
0,75
0,75
0,5
0,5
0,25
0,25
Rz
0
0,8
0,85
0,9
0L
0,95
Rz
1L
1
Rz
1,05
1U
Rz
1,1
0U
Rz
0
Ω
0,8
1,15
0,85
Rz
0,9
0L
Rz
0,95
1L
1
Rz
1,05
1U
Rz
1,1
0U
1,15
Ω
Rz
Rys. 6. Funkcje przynależności rezystancji wewnętrznej źródła napięcia opisanej jako liczba rozmyta
funkcją trapezoidalną i kształtem funkcji Gaussa
Fig. 6. Membership functions of inner resistances of voltage source described as fuzzy numbers
with trapezoidal and Gaussian shapes
Na rys. 7 został przedstawiony przykład mocy czynnej układu opisanej jako liczba
rozmyta. Do rozwiązania zadania optymalizacji, związanego z opisem parametrów układu za
pomocą liczb rozmytych, zastosowano technikę rozmytego programowania matematycznego
[1].
μP
μP
1
1
0,75
0,75
0,5
0,5
0,25
0,25
0
5000
P
6500
8000
P
1 L
0 L
P
9500
11000
12500
1 U
P
14000
0 U
15500
0
5000
W
P
P
6500
8000
P
1L
0L
P
9500
11000
12500
1U
P
14000
0U
15500
W
P
Rys. 7. Funkcje przynależności mocy czynnej opisanej jako liczba rozmyta funkcją trapezoidalną
i kształtem funkcji Gaussa
Fig. 7. Membership functions of active power described as fuzzy numbers with trapezoidal
and Gaussian shapes
Rozpatrywany jest problem minimalizacji:
2
min J  min i ,
(2)
i
przy ograniczeniu rozmytym (warunku na moc czynną układu) - moc czynna wydawana przez
źródło napięcia jest w przybliżeniu taka sama przed i po optymalizacji:
K. Dębowski
84


N ~
 ~
~
C (i ) : Re   E h I h*  I h Z z h I h*   P ,
h1

(3)
gdzie:
~
~ ~
E h , Z z h , P – liczby rozmyte;
~
P – stanowi moc czynną pobieraną przez odbiornik przed optymalizacją rozpatry-
waną jako liczba rozmyta;
~
~
~
Z z h  Rz  jX z h – zespolona impedancja wewnętrzna źródła jako liczba rozmyta.
Jeśli zostanie założone, że wartość skuteczna napięcia źródła dla poszczególnych
harmonicznych jako liczba rozmyta jest określona w postaci:
~
~
E h  E h e j h ;  h  0 ,
(4)
a prąd źródła dla danej harmonicznej reprezentowany jest przez zależność:
I h  I ah  jI bh ,
(5)
wówczas warunek ograniczenia rozmytego C (i ) można zapisać jako:
N
C (i ) :

h 1
E~
h I ah


~
~
 Rz I a2h  I b2h  P .
(6)
W celu rozwiązania problemu stosuje się podejście z wykorzystaniem pojęcia
 -przekroju (rys. 2). Przy założeniu że symbol E h,  0, L oznacza dolną granicę liczby
~
rozmytej Eh dla  -przekroju  =0, a symbol E h,  0, U oznacza górną granicę liczby
~
rozmytej Eh dla  -przekroju  =0, to problem optymalizacyjny można zapisać jako:
min J  min
i

 N
i 2  min  I a2h  I b2h
 h 1
 ,

(7)
a ograniczenie rozmyte przyjmie formę:
  E 
  
N
 0 ,1 h 1
  E 
N
0 ,1 h1


2
2
I  RZ ,1 , L I ha
 I hb
 P , L ;
h , L ha

I  RZ ,1 ,U I  I
h ,U ha
2
ha
2
hb
  P
 ,U
(8)
.
O wpływie kształtu funkcji…
85
W literaturze takie podejście nazywa się rozmytym programowaniem matematycznym [1].
Funkcjonał Lagrange’a wiążący ze sobą funkcję minimalizowaną (7) i warunek na moc
czynną (8) można zapisać w postaci (9):
L( I ah , I bh ,  ) 
 I a2h  I b2h     P , L  
N
h 1
1
 0

N

h 1
E 
h , L I ha




N

2
2 
    P , U   Eh , U I ha  RZ , 1 , U I ha
 I hb
.
 0 
h 1

1

2
2 
 RZ , 1 , L I ha
 I hb


(9)
W celu wyznaczenia minimum funkcjonału Lagrange'a (minimum wartości skutecznych
prądów źródła przy spełnieniu ograniczeń na moc czynną) należy spełnić warunki konieczne
Kuhna-Tuckera istnienia punktu siodłowego. Jako rozwiązanie problemu wyznaczony
zostanie prąd optymalny każdej harmonicznej prądu jako:
opt I h  opt I ah
 jopt I bh .
(10)
Rozwiązanie optymalne wyznaczane jest jako rozwiązanie nierozmyte, a więc w postaci
klasycznych liczb zespolonych. W dalszej części przedstawiony został przykład obliczeniowy
obrazujący zaprezentowane podejście.
3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Dla
układu z rys. 1 przebieg napięcia źródła opisany jest zależnością:
~
~
~
~
e~ t   2 E1 sint   2 E3 sin3t  V , gdzie: E1 , E3 – wartości skuteczne napięcia dla
rozpatrywanych harmonicznych jako liczby rozmyte przedstawione na rys. 4 i 5 (różne
kształty funkcji przynależności). Rezystancja wewnętrzna źródła napięcia została
przedstawiona na rys. 6, reaktancja wewnętrzną źródła dla podstawowej harmonicznej
~
~
opisana jest liczbą rozmytą X z  3  o funkcjach przynależności odpowiednio trapezoidalnej
i funkcji Gaussa, i podobnie jak dla rezystancji wewnętrznej źródła zakres zmian reaktancji
zawarty jest w granicach ±10% wartości środkowej 3  , a moc czynna przed optymalizacją
została przedstawiona na rys. 7 (różne kształty funkcji przynależności). Przed optymalizacją
dla charakterystycznych punktów funkcji trapezoidalnej otrzymuje się następujące wartości
normy prądów:
0L
i  27,02 A;
1L
i  30,26 A;
1U
i  36,73 A;
0U
i  39,08 A.
Jeśli zespolone wartości skuteczne prądów źródła dla poszczególnych harmonicznych będą
oznaczone jako: I1  I a1  jI b1 ; I 3  I a 3  jI b3 ,
K. Dębowski
86
to w wyniku minimalizacji funkcjonału Lagrange’a o postaci (9) można wyznaczyć:
a) dla funkcji trapezoidalnej prądy optymalne o wartościach:
h=1:
opt I1  opt I a1
 jopt I b1  26,72  j0 A; h=3:
a norma prądu wynosi wówczas:
opt
I opt I a3  jopt I b3  8,91  j0 A;
opt 3
i  28,17 A;
b) dla kształtu funkcji Gaussa prądy optymalne o wartościach:
h=1:
opt I1  opt I a1
 jopt I b1  25,19  j0 A; h=3:
a norma prądu wynosi wówczas:
opt
I opt I a3  jopt I b3  8,40  j0 A;
opt 3
i  26,55 A.
Jak widać z uzyskanych wyników, wyznaczone prądy optymalne mają normę bardzo zbliżoną
do wartości dolnego zakresu normy prądów
0L
i  27,02 A
przed optymalizacją,
uzyskiwanego dla dolnego zakresu wartości źródła napięcia (a więc małą wartość w stosunku
do uzyskanych zmian prądów przed optymalizacją), ale dodatkowo minimalizują również
moc bierną dla każdej z rozpatrywanych harmonicznych (wartości urojone prądów
optymalnych są równe zeru:
opt I b1
 0;
opt I b3
 0 ). Porównując wyniki z wariantów a) i b)
(funkcje trapezoidalne i kształty funkcji Gaussa), uzyskuje się wyniki zbliżone, ale nie
identyczne. Różnica w uzyskanych wynikach sięga kilku procent, a więc można stwierdzić, że
kształt funkcji przynależności opisujących zmienność parametrów układu elektrycznego z rys.
1 ma istotny wpływ nawet w przypadku, kiedy rozpatrywane funkcje są symetryczne, tym
bardziej rozpatrywany wpływ może być jeszcze bardziej znaczący, w przypadku kiedy
funkcje przynależności będą niesymetryczne.
4. WNIOSKI
Przedstawiona w artykule metoda optymalizacyjna do wyznaczania prądu optymalnego
układu jednofazowego z nieidealnym źródłem napięcia okresowego odkształconego
w warunkach niestałości parametrów źródła napięcia (zmienność zarówno wartości napięć,
jak i impedancji wewnętrznej) wykorzystuje pojęcie rozmytego programowania matematycznego, i pozwala wyznaczyć wartości prądu optymalnego w sensie rozmytym, a więc
w przypadku kiedy dodatkowe ograniczenie minimalizacji prądu nie musi być spełnione
dokładnie. W przedstawionym przykładzie przeanalizowano wpływ kształtu funkcji
przynależności ograniczenia rozmytego na wynik optymalizacji i wykazano, że w przypadku
uwzględnienia dwóch różnych kształtów funkcji przynależności zmiennych parametrów
układu uzyskuje się co prawda, zbliżone wyniki optymalizacji. ale nie jednakowe (wyniki
różnią się pomiędzy sobą o około 6%). Oznacza to, że kształt funkcji przynależności
ograniczenia rozmytego (a więc również kształt funkcji przynależności liczb rozmytych
opisujących parametry obwodu) ma wpływ na wynik optymalizacji rozmytej. Oznacza to, że
O wpływie kształtu funkcji…
87
w przypadku wyznaczania wartości prądów optymalnych w rozpatrywanym układzie
powinien zostać właściwie określony kształt funkcji przynależności poszczególnych
parametrów układu, a przez to kształt funkcji przynależności ograniczenia rozmytego.
BIBLIOGRAFIA
1. Kacprzyk J.: Zbiory rozmyte w analizie systemowej. PWN, Warszawa 1986.
2. Abdul-Rahman K.H., Shahidehpour S.M.: Reactive power optimization using fuzzy load
representation. „IEEE Transactions on Power Systems” 1994, Vol. 9, p. 898-905.
3. Dębowski K.: Fuzzy mathematical programming as a tool in optimization of one-phase
electrical circuits. „Przegląd Elektrotechniczny” 2008, nr 11, p. 253-256 (IX ConferenceSeminar International School on Nonsinusoidal Currents and Compensation (ISNCC),
Łagów, Poland 2008, IEEE digital object identifier: 10.1109/ISNCC.2008.4627501).
4. Dębowski K.: Zastosowanie zbiorów rozmytych w opisie i optymalizacji właściwości
energetycznych obwodów elektrycznych jako rozwinięcie i uogólnienie metod
klasycznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej (monografia habilitacyjna), Gliwice
2011.
Dr hab. inż. Krzysztof DĘBOWSKI
Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
e-mail: [email protected]