Dr. inŜ. Ewa Szlachcic Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Dr. inŜ. Ewa Szlachcic Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Dr. inŜ. Ewa Szlachcic
Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki
Wydział Elektroniki
Kier: Elektronika
Zadania optymalizacji nieliniowej bez
ograniczeń i z ograniczeniami
Zadania testowe
Przykładowe zadania testowe dla problemów nieliniowych
Zadania optymalizacji bez ograniczeń postaci:
min f ( x)
x∈R n
Postać minimalizowanej funkcji celu
Lp. f(x)
2
2
1
f(x)=(x1 –2) +(x2 –2)
2
f(x) =2x12-2x1*x2+x22
3
f(x) =x12+x1*x2+0,5x22-x1-x2
Przykładowy
punkt startowy
x0 f(x0)
x0=[5 3]
f(x0)=10,0
x0=[2 4]
f(x0)=8,0
x0=[3 3]
f(x0)=16,5
x0=[1 1]
Funkcja z czterema minimami lokalnymi
f(x0)=0,76
4
f(x)= x14 + x24–0,62x12 –0,62x22
*
x0=[1 1]
Funkcja z czterema minimami lokalnymi
f(x0)=0
5
x14
+
x24–x12
–x2
*
f(x)=
*
Funkcja Engwall’a
6
*
2
f(x)= x14 + x24–2x12x2-4x1+3
Funkcja Rosenbrock’a:
x0=[2 3]
f(x0)=-86
x0=[-1,2; 1,0]
f(x0)=24,2
f(x)=100(x2- x12)2+(1-x1)2
W pewnym zakresie zmiennych hesjan nie jest
dodatnio określony. Dla niektórych wartości
zmiennych moŜe być osobliwy.
Funkcja Woode’a:
x0=[-3,0; 2
2 2
2 2
8 f(x)=100((x2-x1 ) +(x1-1) +90(x4- x3 ) +(11,0; -3,0; x3)2+10,1[(x2 –1)2+(x4-1)2]+19,8(x2-1)(x4-1)
1,0]
f(x0)=19192,0
Funkcja Powell’a
x0=[3,0;-1,0 ;
9
0,0; 1,0]
f(x)=(x1+10x2)2+5(x3-x4)2+(x2-2x3)2+10(x1- x4)4 f(x0)=215,0
W min. hesjan tej funkcji jest osobliwy
x0=[100,0;
Funkcja Zangwill’a
10
-1,0 ; 2,5]
f(x)=(x1-x2+ x3)2+(-x1+x2+x3)2+(x1+x2-x3)2
f(x0)=29726,75
Punkt optymalny:
x*
f(x*)
*
x =[2,0; 2,0]
f(x*)=0
x*=[0,0; 0,0]
f(x*)=0
x*=[0,0; 1,0]
f(x*)=-0,5
x*(i)=[ ±
0,55672;
±0,55672]
f[x*(i)]=0,19219
i=1,...,4 dla
kaŜdej ćwiartki
układu
współrzędn.
x*(i)=[ ±
0,7071; ±0,7071]
f[x*(i)]=-0,5
i=1,...,4 dla
kaŜdej ćwiartki
Ukł.współrzędn.
x*=[1,3090;
0,9498]
f(x*)=-1,74109
x*=[1,0; 1,0]
f(x*)=0,0
7
*
*
*
x*=[1,0; 1,0;
1,0; 1,0]
f(x*)=0,0
x*=[0,0; 0,0;
0,0; 0,0]
f(x*)=0,0
x*=[0,0; 0,0;
0,0]
f(x*)=0,0
Trudna funkcja dla metody Nelder’a-Meade’a
(pełzającego simpleksu).
Funkcja Goldsteina-Price’a z czterema
minimami lokalnymi:
x0=[-0,4;
-0,6]
*
*
11 f(x)=[1+(x1+x2+1)2(19-14 x1+3x12-14x2+6x1x2
+3x22)]*[30+(2x1-3x2)2(18-32x1+12x12+48x2-36
x1*x2+27x22)].
Punkt startowy jest punktem siodłowym.
Hesjan w wielu punktach nie jest dodatnio
określony.
f(x0)=35,0
Punkt siodłowy
Funkcja celu szczególnie przeznaczona do
testowania algorytmów genetycznych
Max f(x)=exp[-2log(2)*(x-0,08)2/0,8542]*
12 sin6(5Π(x3/4-0,05))
x∈[0 1]
*
Zmodyfikowana funkcja Himmelblau’a
f[x*(3)]=30,0
x∈[-5 5]
13 f(x)= (x12+x2-11)2+(x1+x22-7)2-200
*
Funkcja celu szczególnie przeznaczona do
testowania algorytmów genetycznych
14 Max f(x)=exp[-2log(2)*(x-0,08)2/0,8542]*
sin6(5Π(x3/4-0,05))
*
Funkcja Ackley’a
15
*
x∈[0 1]
− 30 ≤ xi ≤ 30

1 n
 dla i=1,...,n
1 n 2
f ( x ) = −20 exp − 0.2 ∑ xi  − exp ∑ cos(2πxi )
n i =1 
 n i =1


Funkcja Rastrigina
16 Minima lokalne są umieszczone na siatce
prostokątnej:
n
[
]
f ( x ) = ∑ x − cos(18 xi )
2
i
− 1 ≤ xi ≤ 1
Minimum globalne
x*=[0,0; -1,0]
f(x*)=3,0
3 minima
lokalne:
x*(1)=[1,2; 0,8]
f[x*(1)]=840,0
x*(2)=[1,8; 0,2]
f[x*(2)]=84,0
x*(3)=[-0,6; 0,4]
Pięć nierówno
rozlokowanych
optimów
lokalnych o
róŜnych
wartościach
funkcji
Cztery
identycznej
wartości minima
lokalne
Pięć nierówno
rozlokowanych
optimów
lokalnych o
róŜnych
wartościach
funkcji
Jedno minimum
globalne:
x*=0,
f(x*)=-20-e
Jedno minimum
globalne:
dla i=1,...,n
x*=0, f(x*)=-n
Dowolny punkt
startowy
6 minimów
lokalnych, w tym
dwa globalne:
I min. Glob.
x*=(-0,08984;
0,71266)
II min. Glob.
x**=(0,08984; 0,71266)
f(x*)=f(x**)=1,0316285
Dwa minima
w róŜnych
ćwiartkach
układu
współrzędnych
i =1
*
Funkcja testowa Geem’a
17
*
18
f ( x ) = 4 x12 − 2.1x14 +
1 6
x1 + x1 x 2 − 4 x 22 + 4 x 24
3
f ( x) = sin( x1 ) * sin( x 2 ) * exp(−( x12 + x 22 ))
*
19
*
Funkcja celu szczególnie przeznaczona do
testowania algorytmów genetycznych
20
*
Jedno minimum
f ( x) = x1 * exp(−( x12 + x 22 ))
f ( x) = sin 6 (5.1π x + 0.5)
21
f ( x) = 2 x + 4 x1 * ( x 2 )^3 − 10 x1 * x 2
2
1
Kilka minimów
lokalnych
x∈R
x ∈ R2
Zadania optymalizacji z ograniczeniami postaci:
min f ( x)
X = {x : g i ( x) ≤ 0; i = 1,..., m}
x∈X
Postać minimalizowanej funkcji celu
f(x)
Funkcja Engwall’a
4
4
Obszar ograniczeń X
x1 + x 2 ≥ 4
Punkt optymalny:
*
*
f(x )
x
*
x =[1,9550; 2,0451]
x 2 ≥ x12
f(x )= 4,0001
*
x =[1; 1]
*
2
f(x)= x1 + x2 –2x1 x2-4x1+3
2
1 f(x)=(x1 –2) +(x2 –1)
2
2 f(x)=(x1 –2) +(x2 –1)
2
x1 + x 2 ≤ 2
x1 − 2 x 2 + 1 = 0
2
x12
− x 22 + 1 ≥ 1
4
x∈[-10; 10]
3 Zmodyfikowana funkcja Himmelblau’a
2
2
2
f(x)= (x1 +x2-11) +(x1+x2 -7)
2
4 Funkcja typu dno butelki
4
4
2
2
f(x)= x1 + x2 - x1 - x2
5
f ( x) = 2 x12 + 4 x1 * ( x 2 )^3 − 10 x1 * x 2
*
f(x )= 1
*
x =[0,82288; 0,91144]
*
−
f(x )= 1,3935
(x1 − 0,05)2 + (x2 − 2,5)2 ≤ 4,84
(x1 )2 + (x2 − 2,5)2 ≥ 4,84
x =[2,246826; 2,381865]
f(x*)=13,59085
x∈[0; 6]
x1 + x 2 ≤ 15
x =[5,01779; -0,04208]
x1 − x 22 ≥ 5
f(x*)=2,14859
3
+ x2 ≥ 0
2 x1
[x1 ( x2 )^2]* (2.4 + x2 ) ≤ 3
− 3 ≤ xi ≤ 3 dla i = 1,2
*
*
1 minimum lokalne
1 minimum globalne