Proces nadwyżki i teoria ruiny

Proces nadwyżki
i teoria ruiny
Matematyczne podstawy teorii
ryzyka i ich zastosowanie
R. Łochowski
Złożony proces Poissona jako
proces wypłaconych odszkodowań
• Niech Y - wysokość odszkodowania
wypłaconego w wyniku powstania pojedynczej
szkody z pewnego portfela ryzyk
• Y , Y1 , Y2 ,... - zmienne i.i.d.
• Nt - jednorodny proces Poissona modelujący
pojawianie się szkód o intensywności λ
• Łączna wartość odszkodowań za szkody
zaistniałe w okresie [0, t] wyraża się wzorem
St = Y1 + Y2 + ... + YNt
Proces nadwyżki
• Proces nadwyżki jest modelem procesu
akumulacji środków własnych w firmie
ubezpieczeniowej
• Niech u oznacza kapitał (nadwyżkę)
początkowy
• Niech c oznacza wielkość składki zebranej w
jednostce czasu
• Proces nadwyżki definiuje się jako
Ut = u + c it − St , t ≥ 0
Moment i prawdopodobieństwo
ruiny
• Jeżeli proces nadwyżki przyjmie wartość
ujemną, to znaczy, że suma wypłaconych
odszkodowań przekroczyła wpływy ze składek
powiększone o kapitał początkowy
• Moment ruiny definiuje się jako
T = inf {t ≥ 0 : Ut < 0}
• Prawdopodobieństwo ruiny definiuje się jako
ψ ( u, t ) = P (T < t )
Proces nadwyżki z czasem
dyskretnym
• Proces nadwyżki obserwowany tylko w
momentach t = 0,1,2,3,… nazywa się
procesem nadwyżki z czasem dyskretnym
Un = u + c in − Sn , n = 0,1, 2,...
• Przy założeniu c ≤ ES1 z prawa wielkich liczb z
prawdopodobieństwem 1 otrzymujemy
limn → ∞ (Un / n ) = c − ES1 ≤ 0
• czyli w tym przypadku
ψ ( u ) := ψ ( u, +∞ ) = P (T < ∞ ) = 1
Narzut bezpieczeństwa na składkę
netto
• Przy założeniu c > ES1 dla pewnego θ > 0
otrzymujemy
c = (1 + θ ) ES1
• Współczynnik θ > 0 nazywamy narzutem
bezpieczeństwa (na składkę netto)
• Z własności złożonego rozkładu Poissona
otrzymujemy
c
c
θ =
−1 =
−1
λE Y
ES1
Współczynnik dopasowania
• Przy dodatnim narzucie bezpieczeństwa na
składkę netto istnieje dokładnie jedno
dodatnie rozwiązanie R równania
e Rc = MS1 ( R ) = Ee RS1
które nazywa się współczynnikiem
dopasowania
• Równoważny wzór definiujący współczynnik
dopasowania to
λ + cR = λ MY ( R ) = λEe RY
Współczynnik dopasowania, c.d.
• Zadanie: Udowodnić, że przy dodatnim
narzucie bezpieczeństwa na składkę netto
istnieje dokładnie jeden współczynnik
dopasowania
• Zadanie: Obliczyć współczynnik dopasowania
w przypadku, gdy wysokość odszkodowania
wypłaconego w wyniku powstania pojedynczej
szkody Y ma rozkład Exp ( β )
Nierówność Lundberga
• Zachodzi nierówność ψ ( u ) ≤ e
• Uzasadnienie: niech dP ( y ) = P (Y ∈  y , y + dy ) )
oraz ψ n ( u ) oznacza, że ruina nastąpiła przed
− R iu
ψ
u
≤
e
napłynięciem n+1. szkody oraz n −1 ( )
wówczas
∞ ∞
ψ n ( u ) = ∫ ∫ ψ n −1 ( u + ct − y ) dP ( y ) λ e − λ t dt
− R iu
0
≤
∞
∞
0
0
∫ ∫
=e
− R iu
0
exp ( −R ( u + ct − y ) ) dP ( y ) λ e
λ
λ + cR
ΕeY i R = e − R iu
− λt
dt
Dokładny wzór na
prawdopodobieństwo ruiny
• Dla każdego momentu czasu zachodzi
Ee
− R iUt
=e
− Ru
=e
− Ru
e
= Ee
− Rct
e
− R ( u + ct + St )
λ t ( MY ( R ) −1)
=e
=e
− Ru − Rct
− Ru
(e
Ee
R i St
− Rc − λ + λ MY ( R )
• Zachodzi dokładny wzór na prawdopodobieństwo ruiny
− RU
− R iu


E e
| T < ∞  iψ ( u ) = e
T
t
)
Równanie funkcyjne na
prawdopodobieństwo ruiny
• Przy założeniu ψ ( u ) = 1 dla u<0 zachodzi
równanie
∞ ∞
ψ ( u ) = ∫ ∫ ψ ( u + ct − y ) dP ( y ) λ e − λ t dt
0 0
• Z powyższego równania otrzymujemy
c
λ
ψ ' (u ) = ψ (u ) −
= ψ (u ) −
∫
u
0
∫
∞
0
ψ ( u − y ) dP ( y )
ψ ( u − y ) dP ( y ) − P (Y > u )
• Zadanie: udowodnić powyższą formułę
Prawdopodobieństwo ruiny dla
rozkładu wykładniczego strat
• Przy założeniu dP ( y ) = β e − β y dy = p ( y ) dy ,
różniczkując jeszcze raz otrzymane równanie
dostajemy równanie różniczkowo-całkowe
c
λ
ψ '' ( u ) = ψ ' ( u ) − p ( 0 )ψ ( u )
u
+ β ∫ ψ ( z ) p ( x − z ) dz +p ( u )
0
• po zsumowaniu z wcześniejszym równaniem
tak aby wyeliminować całkę otrzymujemy
c
λ
ψ '' ( u ) + θψ ' ( u ) = 0