Proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym 1. Załóżmy

Proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym
1. Załóżmy, że straty netto Y1 , . . . , Yn są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie N (1, 2). Pokaż, że ψ(u) = 1 dla dowolnego u > 0.
2. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ U (−3, 1). Wyznacz P(R(u) ≤ 2), gdzie R(u)
moment ruiny przy kapitale początkowym u.
3. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ N (−µ, σ 2 ), µ > 0. Podaj ograniczenie Lundberga na prawdopodobieństwo ruiny.
4. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ N (−1, 4). Podaj ograniczenie Lundberga
na prawdopodobieństwo ruiny. Ponadto wyznacz granicę ciągu zmiennych
losowych u − Y1 + . . . + Yn przy n → ∞ dla ustalonego u.
Proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym
1. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz funkcję generującą momenty
PN (t)
dla złożonego procesu Poissona Z(t) =
i=1 Xi , gdzie {N (t) : t ≥ 0}
jest procesem Poissona o intensywności λ oraz X1 , . . . , Xn -iid, EX1 = µ,
V arX1 = σ 2 .
2. Niech X1 , . . . , Xn ∼ E(1/µ). Wyznacz prawdopodobieństwo ruiny dla parametrów:
a) u = 0, µ = 1, λ = 5, c = 10,
b) u = 100, µ = 2, λ = 5, c = 10.
3. Załóżmy, że Xi mają rozkład skupiony w punkcie µ = 1 oraz λ = 4 i c = 8.
Niech L1 będzie wielkością pierwszego rekordu w dół. Oblicz:
a) H(x) = P(L1 ≤ x),
b) G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞),
c) ψ(0),
d) wartość oczekiwaną zmiennej opisującej stan procesu w ustalonym czasie
t, czyli


N (t)
X
E u + ct −
Xi  ,
i=1
e) funkcję tworząca momenty tej zmiennej, czyli
 

N (t)
X
E exp r u + ct −
Xi  .
i=1
4. Niech λ = 3, c = 2 oraz Xi mają rozkład o dystrybuancie P (x) = 1 −
dla x > 0. Oblicz:
a) H(x) = P(L1 ≤ x),
b) G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞),
c) ψ(0).
1
1
(1+x)4
Proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym
1. Załóżmy, że straty netto Y1 , . . . , Yn są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie N (1, 2). Pokaż, że ψ(u) = 1 dla dowolnego u > 0.
2. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ U (−3, 1). Wyznacz P(R(u) ≤ 2), gdzie R(u)
moment ruiny przy kapitale początkowym u.
3. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ N (−µ, σ 2 ), µ > 0. Podaj ograniczenie Lundberga na prawdopodobieństwo ruiny.
4. Niech straty netto Y1 , . . . , Yn ∼ N (−1, 4). Podaj ograniczenie Lundberga
na prawdopodobieństwo ruiny. Ponadto wyznacz granicę ciągu zmiennych
losowych u − Y1 + . . . + Yn przy n → ∞ dla ustalonego u.
Proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym
1. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz funkcję generującą momenty
PN (t)
dla złożonego procesu Poissona Z(t) =
i=1 Xi , gdzie {N (t) : t ≥ 0}
jest procesem Poissona o intensywności λ oraz X1 , . . . , Xn -iid, EX1 = µ,
V arX1 = σ 2 .
2. Niech X1 , . . . , Xn ∼ E(1/µ). Wyznacz prawdopodobieństwo ruiny dla parametrów:
a) u = 0, µ = 1, λ = 5, c = 10,
b) u = 100, µ = 2, λ = 5, c = 10.
3. Załóżmy, że Xi mają rozkład skupiony w punkcie µ = 1 oraz λ = 4 i c = 8.
Niech L1 będzie wielkością pierwszego rekordu w dół. Oblicz:
a) H(x) = P(L1 ≤ x),
b) G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞),
c) ψ(0),
d) wartość oczekiwaną zmiennej opisującej stan procesu w ustalonym czasie
t, czyli


N (t)
X
E u + ct −
Xi  ,
i=1
e) funkcję tworząca momenty tej zmiennej, czyli
 

N (t)
X
E exp r u + ct −
Xi  .
i=1
4. Niech λ = 3, c = 2 oraz Xi mają rozkład o dystrybuancie P (x) = 1 −
dla x > 0. Oblicz:
a) H(x) = P(L1 ≤ x),
b) G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞),
c) ψ(0).
2
1
(1+x)4