NT. Funkcja liniowa

Funkcja liniowa - podsumowanie
1. Funkcja - wprowadzenie
Założenie wyjściowe:
Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych XY. Oś X nazywana jest osią
odciętych (oś zmiennych niezależnych) , natomiast oś Y nazywa się osią rzędnych (oś zmiennych zależnych).
Funkcją, która odwzorowuje zbiór
każdemu elementowi
na zbiór Y, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym
(tzw. argumentowi funkcji) odpowiada dokładnie jeden element
(jest to wartość funkcji dla danego argumentu).
Zbiór wszystkich elementów należących do zbioru X (wszystkich argumentów funkcji) nazywa
się dziedziną funkcji D.
Zbiór wszystkich wartości danej funkcji (dla wszystkich jej argumentów) nazywa się przeciwdziedziną funkcji.
Miejsce zerowe funkcji - miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią X (osią zmiennych niezależnych). W miejscu tym wartość funkcji jest zerowa, tzn. jest to punkt o współrzędnych
.
Symboliczny zapis funkcji odwzorowującej zbiór X na zbiór Y:
Możliwe sposoby przedstawienia funkcji:
a. graf (użyteczny, jeżeli zbiór argumentów składa się ze stosunkowo małej liczby argumentów, których wartości
są liczbami nie tworzącymi zbioru ciągłego)
b. tabelka (uwaga jak wyżej; zgodna z powyższym grafem!)
x
y
Funkcja liniowa - podsumowanie
-5
4
-2
3
0
7
1
4
3
0
4
-1
Strona 1
c. wykres (zgodny z grafem i tabelką; żółte punkty na układzie współrzędnych)
Y
5
-5
X
5
-5
UWAGA:
Wykresem funkcji
jest zbiór wszystkich punktów, których współrzędne (jeśli
d. zapis w postaci wzoru:
, np.
) dane są następująco:
.
2. Funkcja liniowa w postaci kierunkowej - własności
Funkcję daną wzorem:
nazywa się funkcją liniową.
gdzie:
a - współczynnik kierunkowy prostej. Jeżeli
to funkcja jest malejąca, natomiast dla
to mamy do czynienia z funkcją rosnącą, dla
mamy do czynienia z funkcją stałą.
b - wartość tego współczynnika określa współrzędne punktu przecięcia z osią Y (osią rzędnych).
Funkcja liniowa - podsumowanie
Strona 2
Możliwe przypadki przedstawiono na poniższych wykresach.
Y
1
1
2
Y
Y
2
3
1
3
2
X
X
X
3
1:
2:
3:
1:
2:
3:
1:
2:
3:
Jeżeli dwie proste mają takie same wartości współczynników kierunkowych a, to są one do siebie równoległe.
W sytuacji gdy iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równy minus jeden, to takie proste
są do siebie prostopadłe:
W przypadku różnych wartości współczynników kierunkowych, dwie proste są względem siebie skośne, to znaczy
przecinają się. Wartość współczynnika kierunkowego jest związana również z kątem nachylenia prostej względem
dodatniej półosi osi X (osi odciętych). Jeżeli dwie proste mają różne dodatnie wartości tego współczynnika, to na
wykresie bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości „ a” (większa wartość kąta między daną prostą a
dodatnią półosią osi X). Natomiast gdy dwie proste mają różne ujemne wartości tego współczynnika, to bardziej
stromy przebieg ma prosta o większej wartości ujemnej współczynnika „a”. Pokazano to na poniższych wykresach.
Y
Y
X
Funkcja liniowa - podsumowanie
X
Strona 3
Funkcja liniowa dana zależnością:
 przecina oś rzędnych Y zawsze w punkcie (np. C) o współrzędnych:
 ma jedno miejsce zerowe, którego współrzędne (np. punkt D) dane są następująco:
Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych
i
, to wartości współczynników „a” i „b” tej prostej można znaleźć rozwiązując dowolną metodą następujący układ równań:
Wartość współczynnika kierunkowego prostej można również wyrazić następująco:
Y
y2
y1
2
1
α
x1
x2
X
Uwaga:
Wartość współczynnika kierunkowego prostej mówi nam o ile zmieni się wartość tej funkcji, jeżeli wartość jej
argumentu wzrośnie o 1.
przy czym, jeśli:
, to nastąpił wzrost wartości funkcji (funkcja rosnąca),
, to nastąpił spadek wartości funkcji (funkcja malejąca),
, to wartość funkcji się nie zmienia (funkcja stała).
Średnia watość funkcji liniowej w rozpatrywanym przedziale wartości argumentów x, jest równa średniej
arytmetycznej liczonej z wartości początkowej i końcowej tej funkcji w tym przedziale.
Funkcja liniowa - podsumowanie
Strona 4
Jeżeli wykres pewnej zależności jest liniowy i przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie leżąc na
żadnej z osi tego układu), to można również powiedzieć, że wielkości opisane na tych osiach są do siebie wprost
proporcjonalne (tzw. propocjonalność prosta); prosta dana jest wtedy równanie:
(
). Oznacza to,
że jeżeli wartość jednej z nich rośnie np. dwa razy, to wartość drugiej z nich też rośnie dwa razy. Inaczej mówiąc
stosunek
ma stałą wartość równą
.
Jeżeli znana jest wartość współczynnika kierunkowego prostej
oraz współrzędne punktu
przez
który przechodzi, to równanie tej prostej dane jest w postaci:
Wynika stąd, że jeśli znane są współrzędne innego punktu (np.
), przez który ta prosta przechodzi, to
równanie takiej prostej dane jest zależnością:
W zagadnieniach fizycznych, związanych z funkcją liniową, często przedstawiane są zmiany pewnej wielkości
fizycznej od czasu, na przykład zależność prędkości od czasu
odniesienia
czy zależność odległości ciała od punktu
.
3. Inne postacie funkcji liniowej
3.1 Postać ogólna
Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci:
gdzie współczynniki A i B nie mogą równocześnie przyjmować wartości równej zero, nazywa się równaniem
ogólnym prostej.
Jeśli dane są dwie proste w postaci ogólnej:
to:
 proste te są do siebie prostopadłe, jeżeli spełniony jest warunek:
 proste te są do siebie równoległe, jeżeli spełniony jest warunek:
Funkcja liniowa - podsumowanie
Strona 5
3.1 Postać odcinkowa
Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci:
gdzie:
b - wartość rzędnej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią Y,
c - wartość odciętej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią X.
to nazywana jest ona postacią odcinkową prostej.
Uwaga:
 wartość współczynnika b jest taka sama, jak jego wartość w równaniu kierunkowym,
 wartość współczynnika c wynosi tyle co współrzędna przecięcia prostej z osią X, tzn.:
 każda prosta dana równaniem:
, tzn. mająca przebieg pionowy nie jest funkcją!
Interpretacja geometryczna postaci odcinkowej prostej:
Y
b
X
0
c
Zadanie domowe
1. Dana jest funkcja liniowa przechodząca przez punkty A i B (patrz: poniższy wykres):
Y
A
6
2
-3
Funkcja liniowa - podsumowanie
B
2
X
Strona 6
a. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci kierunkowej. [2 pkt]
b. Oblicz współrzędne punktu C będącego miejscem zerowym tej funkcji. [1 pkt]
c. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci odcinkowej. [1 pkt]
d. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci ogólnej. [1 pkt]
e. Sprawdź rachunkowo, czy punkt
leży na prostej przechodzącej przez punkty A i B. [1 pkt]
f. Oblicz, o ile zmieni się wartość rozpatrywanej funkcji, jeżeli wartość jej argumentu wzrośnie o 15. [1 pkt]
g. Oblicz odległość punktu A od początku układu współrzędnych. [1 pkt]
h. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt
.
[1 pkt]
i. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt
. [1 pkt]
j. Oblicz pole powierzchni trójkąta ograniczonego wykresem tej prostej i osiami układu współrzędnych. [1pkt]
k. Oblicz wartość parametru m, dla którego prosta
, będzie się przecinać z rozpa-
. [1pkt]
trywaną prostą w punkcie o współrzędnych
l. Znajdź współrzędne punktu przecięcia rozpatrywanej prostej z prostą [2 pkt]:
2. Funkcję opisaną w poniższej tabelce, przedstaw w postaci grafu i na wykresie. [2 pkt]
x
y
-6
-3
-4
-1
-2
3
0
1
3
0
3. Zależność szybkości samochodu od czasu ruchu opisuje równanie:
6
-4
[m/s].
a. Oblicz wartość prędkości samochodu w chwili początkowej. [1pkt]
b. Po upływie ilu sekund ruchu szybkość samochodu wyniesie 10 m/s? [1pkt]
c. Oblicz wartość zmiany prędkości samochodu pomiędzy czwartą a ósmą sekundą ruchu samochodu. [1pkt]
d. Oblicz wartość szybkości samochodu po upływie 20 sekundy ruchu. [1pkt]
e. Narysuj wykres tej zależności dla
. [2pkt]
4. *Miasta A i B znajdują się w odległości 200 km od siebie. O godzinie 16 00 z miasta A wyjechał samochód i jadąc
ze stałą prędkością 100 km/h skierował się do miasta B. O godzinie 16 30 z miasta B wyjechał motorowerzysta i
jadąc ze stałą prędkością 50 km/h skierował się do miasta A. O której godzinie nastąpi ich spotkanie na drodze?
Rozwiąż zadanie rachunkowo i graficznie, zakładając, że początek układu odniesienia ( np. osi X) znajdował się w
połowie odległości między tymi miastami. [6 pkt]
Funkcja liniowa - podsumowanie
Strona 7