Danuta Makowiec UKŁADY ZŁOONE

Transkrypt

Danuta Makowiec
Zaprasza na wykład pt:
UKŁADY ZŁOŻONE
2 godziny w tygodniu wykładu
+ 2 godziny ćwiczeń laboratoryjnych
Jak powstają własności
kolektywne w układach
zbudowanych z wielu
oddziałujących ze sobą
składników, jeśli te własności
nie dają się powiązać z
własnościami składników?
ISTOTA:
•
•
•
•
Mnogość elementów
Nieliniowość oddziaływań
Nieprzewidywalność własności
Stała zmienność
.
Gra Życie
• Łąka podzielona na kwadratowe rewiry komórki,w
których można żyć, jeśli tylko sąsiedztwo pozwoli
Sąsiedzi: ci, co okupują zielone komórki
Reguły życia i śmierci :
•Jeśli komórka ma dokładnie dwóch
żywych sąsiadów, to nic się z nią nie
dzieje.
•Jeśli komórka ma trzech żywych
sąsiadów, to zawsze komórka jest żywa.
•Jeśli liczba żywych sąsiadów jest 0, 1 , 4,
5, 6, 7, 8, to życie w komórce umiera.
Fizycy nie tylko
wszystko wiedzą,
oni wiedzą wszystko lepiej…
Nieprawda.!!!!
To komputerowcy od fizyki statystycznej
wiedzą wszystko najlepiej
Liczby losowe:
generatory
własności
“Każdy, kto rozważa arytmetyczne
metody produkcji liczb losowych, jest,
oczywiście, w stanie grzechu”
John von Neuman
(1951)
“Każdy, kto nie widział tego cytatu w
mniej niż 100 miejscach, to pewnie
jeszcze jest młody”
D.V. Pryor (1993)
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
Genarator
“Stauffera
O.K.
NIE O.K.
X(n-10) X(n-9) X(n-8) X(n-7) X(n-6) X(n-5) X(n-4) X(n-3) X(n-2) X(n-1)
Dodawanie modulo 2
wynik
Dodawanie modulo 2
wynik
X(n-9) X(n-8) X(n-7) X(n-6) X(n-5) X(n-4) X(n-3) X(n-2) X(n-1)
X(n-10)
Dodawanie modulo 2
wynik
X(n-9) X(n-8) X(n-7) X(n-6) X(n-5) X(n-4) X(n-3) X(n-2) X(n-1) wynik
Dodawanie modulo 16
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
Xn-10
Xn-7
Kanoniczny sposób inicjacji tego generatora:
Dodawanie modulo 16
przykład 1
0
0
0
0
Xn-10
0
1
0
Xn-7
0
0
0
0
0
0
Kanoniczny sposób inicjacji tego generatora:
przykład 2
1
0
0
0
Xn-10
0
1
0
Xn-7
0
0
0
0
0
0
Transformacja gęstości prawdopodobieństwa
X:
dx
f(x)
f(x)dx
x
x
y(x)
Y = y (X)
x
f(x)
X:
f(x)dx
x
x+dx
x
g(y) dy = f(x) dx
y(x)
dy
x
f(x)
f(x)dx
dx
x
Transformacja gęstości prawdopodobieństw przy zamianie
zmiennej losowej x na zmienną y=y(x).
y(x)
g(y)dy
dy
g(y) dy = f(x) dx
g(x)
x
f(x)
f(x)dx
dx
x
g(y) dy = f(x) dx
dx
g(y) = f(x)
dy
Transformacja gęstości prawdopodobieństw przy zamianie
zmiennej losowej x na zmienną y=y(x).
x=G(y)
dx
y
g(y) dy = dx
g(y)dy
dy
y
trafiony
lub
pudło
trafiony
lub
pudło
Generowanie liczb losowych o dowolnym rozkładzie
x=G(y)
dx
y
Transformacja gęstości
prawdopodobieństwa przy
zamianie zmiennej losowej o
rozkładzie jednostajnym X
na zmienną Y=y(X).
g(y) dy = dx
g(y)dy
dy
dG(y)=dx
G(y)= x
y
y=G-1(x)
Metoda akceptacji
i odrzucania
John von Neumann
trafiony
lub
pudło
x
d
g(y)
a
b
y
yi akceptujemy, jeśli :
x
xi < g ( yi )
d
g(y)
(yi, xi)
a
b
y
Warunek:
x
xi < g ( yi )
jest niespełniony.
yi odrzucamy
d
(yi, xi)
g(y)
a
b
y
Wydajność:
xi < g ( yi )
Warunek
akceptacji
yi
x
g ( yi )
xi <
s ( yi )
s(y) : gęstość dominująca
g(y)
(yi, xi)
a
b
y
P’(x)
P(x)
Metoda
Monte Carlo
Próbkowanie bezpośrednie:
f(x)
∆ ∆ ∆
xi
xmin
Systematycznie : xmin, =x0 ,
x1=x0 +∆,
.......
x1+i=xi +∆,
….. ... ,
xmax
xi +1
xmax
x max
I =
∫
f ( x ) dx =
x min
lim
n→ ∞
x max − x min
n
n
∑
i =1
f ( xi )
f(x)
xmin
xi +1
xi
xmax
Losowo: xi: xmin, ,....., xmax
xmax
I=
∫
xmin
n
f ( x)dx = lim n →∞
xmax − xmin
f ( xi )
∑
n
i =1
In-1
ε
Zbieżność
liczbowa
In+1
In
In+1
In-1
ε
In
Zbieżność
probabilistyczna:
Liczba In taka , że |I - In | < ε może być uzyskana
z określonym prawdopodobieństwem
Mocne prawo wielkich liczb
Pr
{ lim n→∞ I n = I }
n
1
I n = ∑ f ( xi )
n i =1
=1
Z centralnego twierdzenia granicznego:
∞
Pr
2
σ λσ
= ∫ f 2 ( x ) µ ( x ) dx
{ | I n − I |≤
}
−∞
n
=
λ
2π
∫λe
−
− x2 / 2
1
n
dx + O( )
Błąd metody trapezów:
∆I ∝
1
n
2/d
Błąd metody Monte Carlo:
1
∆I ∝
n
Metoda
Monte Carlo:
I =∫
S
f ( x)
f ( x)dx = ∫
p ( x)dx =
p( x)
S
Generowanie zmiennych losowych
o rozkładzie p(x)
Układy dynamiczne nieliniowe
Odwzorowanie
logistyczne
x n + 1 = ax n (1 − x n )
Diagram bifurkacyjny
Odwzorowanie Henona
x n + 1 = 1 − ax n2 + y n
y n + 1 = bx n
(I) Dyskretna przestrzeń
z
s=(x,y,z;t)
y
x
(0,2,0)
s=(i, j, k;t)
(0,0,2)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(2,0,0)
2-wymiarowa sieć:
(0,2)
(0,1)
(1,2)
S(1,1)
(2,2)
(2,1)
1-wymiarowa sieć:
(0,0)
1
2
S(3)
4
5
6
(1,0)
(2,0)
(II) Lokalna reguła iteracyjna
s(i,j,k;t)= R({ s(i ±1,0
1,0 , j ±1,0,
1,0, k ±1,0
1,0 ; t-1)})
(III) Dyskretna przestrzeń
stanów
Gaz sieciowy:
1
Łańcuch spinów:
Automat komórkowy:
4
5
6
Elementarny automat komórkowy
L
C
P
najbliżsi sąsiedzi dowolnej komórki: Lewa, Centralna i Prawa
reguła działania: zmień kolor na czerwony, jeśli albo Lewa albo Prawa jest czerwona
zmień kolor na żółty, jeśli obie komórki Lewa i Prawa są w tym samym kolorze
T=0
XOR
Żółty
Czerwony
Żółty
Żółty
Czerwony
Czerwony
Czerwony
Żółty
periodyczne
warunki
brzegowe
L
C
P
XOR
Żółty
Czerwony
Żółty
Żółty
Czerwony
Czerwony
Czerwony
Żółty
periodyczne
warunki
brzegowe
T=0
T=1
synchroniczne
updata-owanie
L
C
P
XOR
Żółty
Czerwony
Żółty
Żółty
Czerwony
Czerwony
Czerwony
Żółty
periodyczne
warunki
brzegowe
T=0
T=1
T=2
T=3
T=4
synchroniczne
updata-owanie
Dywan Sierpińskiego:
bi(t+1)= bi-1(t) XOR bi+1(t)
Elementarne automaty
komórkowe:
bi i ∈{0,1} ,
bi-1
bi
b i+1
i∈Z
komórkowe:
bi i ∈{0,1} ,
bi-1
najbliżsi sąsiedzi komórki
Reguła automatu:
bi
i∈Z
b i+1
i : {i-1, i, i+1}
f : ( bit−1 , bit , bit+1 ) 
→ bit +1
komórkowe:
bi i ∈{0,1} ,
bi-1
bi
i∈Z
b i+1
i : {i-1, i, i+1}
f : ( bit−1 , bit , bit+1 ) 
→ bit +1
Reguła automatu:
000
001
010
011
100
101
110
111
komórkowe:
bi i ∈{0,1} ,
bi-1
bi
i∈Z
b i+1
i : {i-1, i, i+1}
f : ( bit−1 , bit , bit+1 ) 
→ bit +1
Reguła automatu:
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
1
0
1
1
0
0
komórkowe:
bi i ∈{0,1} ,
bi-1
bi
b i+1
i : {i-1, i, i+1}
f : ( bit−1 , bit , bit+1 ) 
→ bit +1
Reguła automatu:
Reguła 54:
i∈Z
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
1
0
1
1
0
0
0* 20 + 1* 21 + 1* 22 +
0* 23 +
1* 24 + 1* 25+ 0* 26+ 0* 27
Przestrzeń stanów i
baseny przyciągania
Dla sieci o rozmiarze n, niech B jest jednym z
możliwych stanów , np..: 001010….. 0001
Część trajektorii B w przestrzeni stanów:
C to następnik, A to poprzednik- graf
skierowany buduje się
Stan B może być uzyskany z wielu innych
niż A stanów : {przeciwobrazy stanu B} .
Mamy charakterystyke B przez in-degree
Przeciwobrazy stanu B mają swoje
przeciwobrazy albo nie mają żadnego.
Stany bez przeciwobrazów nazywamy
Rajskim Ogrodem
Każdy stan w wyniku ewolucji musi trafić
na konfiguracje, w której już był.
Układ jest skończony - atraktorem zawsze
jest cykl.
Dla każdego stanu cyklu budujemy jego
własne drzewo przeciwobrazów
Czasem takie drzewo może być puste.
Generuje się basen przyciągania dla danego
cyklu.
Tutaj już cała przestrzeń stanów 2n
podzielona na baseny przyciagania do
różnych cykli.
n=13
k=3
n=3 rule 193, L=10, seed singleton
n=3 rule 193, L=15,
seed 110011000001101
Equivalent transient
trees suppressed
n=3 rule 41
L=15,
seed 110011000001101
n=3 rule 18, L=18,
seed 101000000101000000
n=3 rule 33, L=16,
seed 0111111111100000
Equivalent transient trees suppressed.
n=3 rule 60, L=24,
seed 011011011011011011011011
Discrete Dynamics Lab
Andy Wuensche
www.cogs.susx.ac.uk/users/andywu/ddlab.html
G-density:
gęstość
Rajskiego
Ogrodu
set of k=7 totalistic rules,
n=16,
The complete basin of attraction field was generated
for each rule and garden-of-Eden states counted.
Gdensity
:
gęstoś
ć
Rajskie
go
Ogrodu
The G-density plotted against system size system size n, for the ordered, complex and chaotic rules.
The the entire basin of attraction field was plotted for n = 7 to 22, and garden-of-Eden states counted.
Ordered
CA
dynamics
Complex
CA
dynamics
Chaotic
CA
dynamics
Space-time patterns
Rule 54
Alternatywne prezentacje czaso-przestrzennych obrazów reguły 54 (n=150). Po odfiltrowaniu
wzoru podstawowego reguły, wydobywamy skomplikowany układ oddziałujących obiektówgliderów, wiekszych niż pojedyncza komórka.
Niefiltrowane i częściowo przefiltrowane obrazy czaso-przestrzenne dla reguły18.
Ujawnia się nieciągłość przy chaotycznym wzorze podstawowym reguły.
Przeróżne szybowce o różnych prędkościach i różnych tłach, na których żyją
Przykłady szybowcowych dział
Input- entropy
2k
S (t ) = −∑i =1 ( p log p )
t
i
t
i
Entropy-density scatter plots.
Input-entropy is plotted against
the density of 1s relative to
a moving window of 10 time-steps.
k=5, n=150.
About 1000 time-steps
are plotted from several
random initial states
for each rule.
Entropia
vs gęstość 1
I klasa
II klasa
II klasa
IV klasa
Stauffer D. , J. Phys A.24, 909 (1991)
Computer simulations of cellular automata,
Multi-spin coding
n[1...L]= { 0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,.....}
L
LL=L/32
nn[1..LL]
Multi-spin coding
n[1...L]= { 0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,.....}
L
LL=L/32
nn[1..LL]
L=960 , LL=30
nn[ 1]={n[ 1], n[31], n[61], ...., n[931]}
nn[ 2]={n[ 2], n[32], n[62], ...., n[932]}
nn[ 3]={n[ 3], n[33], n[63], ...., n[933]}
...
...
...
nn[30]={n[30], n[60], n[90], ...., n[960]}
Multi-spin coding
n[1...L]= { 0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,.....}
L
LL=L/32
nn[1..LL]
L=960 , LL=30
{n[960], n[30], n[60], ...., n[930]}
nn[ 1]={n[ 1], n[31], n[61], ...., n[931]}
nn[ 2]={n[ 2], n[32], n[62], ...., n[932]}
nn[ 3]={n[ 3], n[33], n[63], ...., n[933]}
...
...
...
nn[30]={n[30], n[60], n[90], ...., n[960]}
{n[31], n[61], n[91],...., n[ 1]}
Nagel, Schreckenberg, J.Phys. I , France 2, 2221 (1992)
Model Na-Sch
Startujemy-
A) przyśpieszanie:
B) hamowanie :
C) przypadkowe hamowania:
Jedziemy....
D.Chowdhury, cond-mat/9910173 12 Oct 1999
p=0.25
ρ=0.2
p=0.0
ρ=0.5
< v >= min(v max ,
1
ρ
− 1)
Moore 1962
Synchronizacja salwy
Generał
żołnierze
Problem:
W chwili t=1 generał dostaje sygnał z zewnątrz.
Tak skonstruować stany automatów komórkowych i reguły przejścia, aby wszystkie automaty w
jednej chwili i po raz pierwszy znalazły się w stanie wyróżnionym OGNIA
MacCarthy-Minsky (1965)
krok 3
krok 2
krok 1
Model Bak-Tang-Wiesenfeld
P.Bak, C.Tang,K.Wiesenfeld, Phys.Rev.Lett.59,381 (1987)
h
z1
zn > 2
n
zn= h(n) - h(n+1)
n+1
Jeśli zn > 2 , to
N
zn-1 → zn-1 + 1
zn → zn - 2
zn+1 → zn+1 + 1
A self-organized critical model on a fractal lattice
Znaki stanu samo-organizującej się krytyczności (SOC):
dystrybucja rozmiarów s lawiny :
D(s) ∝ s
−τ
τ =1.0 dla D=2
dystrybucja czasów życia T lawiny :
D(T ) ∝T
−α
α = 0.43 dla D=2
A self-organized critical model on a fractal lattice
Znaki stanu samo-organizującej się krytyczności (SOC):
dystrybucja rozmiarów s lawiny :
D(s) ∝ s
−τ
τ =1.0 dla D=2
dystrybucja czasów życia T lawiny :
D(T ) ∝T
−α
α = 0.43 dla D=2
Toom’s North-East-Center
(NEC) voting model
Ni
Ci
•A.L.Toom et.al. : Stochastic Cellular Systems: Ergodicity, Memory,
Morphogenesis. (Manchester University Press, Manchester, 1990)
• Ch.H. Bennett, G.Grinstein, Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 657
• J.L.Lebowitz, Ch. Maes, E.R. Speer,. J. Stat. Phys. 59 (1990) 117
• R.Fernandez , Physica A 263 (1999) 117
-nonergodic
-irreversible
=1
=-1
Ei
a stochastic rule:
 sgn( N i + E i + C i )
C 'i = 
− sgn( N i + E i + C i )
1
2
1
with prob.
2
with prob.
(1 + ε )
(1 − ε )
in a thermodynamic way:
1
2
P (C ' i | ( N i , Ei , C i )) = [1 + ε C ' i sgn( N i + E i + C i )]
Gaz sieciowy FHP
Konfiguracja początkowa
propagacja
zderzenia
U.Frisch,B.Hasslacher,Y.Pomeau,Phys.Rev.Lett.56,1505(1986)
zderzenia
Model Rothmana- Kellera nie
mieszających się molekuł
Separacja faz: gazowej i ciekłej
Reaktywne gazy sieciowe
Model Schlogl :
k0
A
X
k1
X
2X +B
3X
k3
A
k2
3X
2X + B
Mikrodynamika:
•propagacja
•zderzenie elstyczne
•zderzenie
nieelastyczne- reakcja
chemiczna
LGA
LB
CML
P.Marcq, H.Chate, P.Manneville, Phys.Rev.E 55,2606 (1997)
Miller Huse,93
t+1
i, j
t
i, j
t
i−1, j
t
i+1, j
t
i, j−1
t
i, j+1
x = (1−4g) f (x ) + g[ f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x )]
g ∈ [0, 14 ]
σ it, j = sgn( xit, j )
1
-1
-1/3
-1
1/3
1
fk
Hipoteza:
Typy komórek kształtują się
wskutek różnej aktywności genów w
obecności innych genów
fi
Ilość
różnych
komórek
∝ N
Pojedyncze mutacje mogą implikować
zjawiska krytyczne
http://necsi.org/projects/gavin/interact.html
Navier-Stokes Equations
r
∇ ⋅u = 0
r
r
r
r 1
du
2r
= −(u ⋅ ∇)u − ∇p + ν∇ u + f
ρ
dt
convection
pressure
viscosity
external
forces
dX
= S( X − Y )
dt
dY
= RX − Y − XZ
dt
dZ
= XY − BZ
dt
S=10.0
R=28
B=8/3
ComplexFluidDynamics
pi , j +1
vi , j + 1
2
ui − 1 , j
pi −1, j
2
ui + 1 , j
2
pi , j
vi , j − 1
2
pi , j −1
pi +1, j
Równania różniczkowe są
przybliżeniem - opisem różnych
aspektów rzeczywistości
Automaty komórkowe są innym
przybliżeniem - opisem
rzeczywistości,
ale czy gorszym?
Wymień stany sąsiednich komórek
Przepływ wokół NACA 9620
przy 30o kącie ataku.
CAM z siecią 4095x2048
Magnetyzacja spinu w modelu z ferromagnetycznym oddziaływaniem
Jak przejście fazowe obserwować
w układach z oddziaływaniem
antyferromagnetycznym ?
J
J’
Frustracja:
konflikt pomiędzy
oddziaływaniami
czy innymi czynnikami
porządkującymi taki, że
wszystkie nie mogą być
spełnione równocześnie
<> 0 dla pewnych „temperatur”
Parametr porządku
ŚWIAT, GDZIE NIE PRACUJE
PRZYBLIŻENIE POLA ŚREDNIEGO
= 0 dla pewnych „temperatur”
Fluktuacje parametru porządku –
korelacje parametru porządku
Zjawisko krytyczne
Bezpośrednie modyfikacje modelu Isinga:
długozasięgowe ferromagnetyczne
długozasięgowe antyferromagnetyczne
długozasięgowe mieszane
Żelazo w złocie: FexAu1-x
Przejście szkliste:
R (1 | −1) ∝ e − β∆E
Temperatura niższa czas oczekiwania
na kolejny przeskok coraz dłuższy
Odcisk
przejścia
szklistego:
Temperatura
przejścia
zależy od
tempa
chłodzenia
Cechy – klucze, szkła spinowego
J>0
J<0
Model Mattisa
Twierdzenie ergodyczne
Utożsamienie średnich uzyskanych z obserwacji
długoczasowych pojedynczego układu ze średnimi
otrzymanymi w zespole statystycznym
WYGENEROWAĆ
EWOLUCJĘ
ZGODNĄ
Z ROZKŁADEM
ZESPOŁU
Algorytm Metropolisa et.al.
 λ
P ( s ' | s ) =  P ( s ')
λ
 P(s)
(53)
P( s ' ) ≥ P( s )
P( s ' ) < P( s )
praktyka λ=1
Główny program
(A) wprowadź konfiguracje początkową α ,
Główny program
(B) wygeneruj nową konfigurację β ,
Główny program
(C) oblicz prawdopodobieństwo przejścia P(β
β|α )
α
β
Główny program
β |α)
(D) wygeneruj liczbę losową r z [0,1) (rozkład
jednostajny)
Główny program
β|α)
(D) wygeneruj liczbę losową r z [0,1) (rozkład jednostajny)
(E) Jeśli r < P
zaakceptuj nowy stan: α := β
wykonaj test na niezależność konfiguracji
Główny program
β|α)
(E) Jeśli r < P
zaakceptuj nowy stan : α := β
•jeżeli konfiguracje są niezależne, to wylicz O
dla tej konfiguracji i zmagazynuj wynik
Główny program
β|α)
(E) Jeśli r < P
•jeżeli konfiguracje są niezależne, to wylicz O dla tej
konfiguracji i zmagazynuj wynik
(F) wróć do (B)
β|α)
(E) Jeśli r < P
(F) wróć do (B)
(G) wyznacz średnią zmagazynowanych wyników
(A) wprowadź konfiguracje początkową α , ustal temperaturę T
β|α)
(E) Jeśli r < P
(F) wróć do (B)
(H) obniż temperaturę
Przepis Metropolisa et.al. w zespole kanonicznym
λ
{λe
P(β | α) =
−(1/ kT)[E( β )−E(α )]
gdy
gdy
E(β ) ≤ E(α
)
E(β ) > E(α )
Spin-flip dynamics :
Termostat (heat bath)
Pr{ s i = 1} =
Glauber
Q2R:
sąsiadów
e
− β E ( s i =1 )
e − β E ( s i =1 ) + e − β E ( s i = − 1 )
Pr{ si − > − si } = 12 [1 + tanh βE ( si )]
z prawdopodobieństwem p obróć spin jeśli ilość
w stanie +1 jest identyczna z ilością w stanie -1
Kawasaki:
zamień stany dowolnie wybranej pary spinów
Głosowanie większościowe : z prawdopodobieństwem p wybierz stan identyczny
z większością sąsiadów.
kTc
2
=
= 2.269..
J
ln(1 + 2)
kT/J
(A)wprowadź konfiguracje początkową α , ustal energię D(demona)
(C) oblicz zmianę energii : ∆=E(β
β) - E( α)
(E) Jeśli ∆ < D
zaakceptuj nowy stan , popraw energie demona
D= D - ∆
(F) wróć do (B)
Mózg czy umysł
Najbardziej
złożony
obiekt we
Wszechświecie
Fakty:
1. Mózg ma masę o 1.1-2.0kg
2. Mózg ma pofałdowaną powierzchnię i wyraźne dwie półkule.
3. Powierzchnia zewnętrzna to kora mózgowa: inaczej
substancja szara (powierzchnia: 1.5- 2.0 m2).
Pod nią jest warstwa substancji białej.
4. Neurony to komórki, z których zbudowany jest mózg.
Masa neuronu średnio 10-9g (bywają i masy 10-6g).
Jest ich w układzie człowieka 100 * 10+9, są bardzo różne
5. Wokół neuronów : komórki glejowe i mielinowe
6 Aktywność mózgu to generowanie impulsów
elektrochemicznych ( moc mózgu: 20 W)
h
e
m
e
m
b
r
a
n
e
i
s
i
m
p
e
4 of 28
Figure 2.3 The membrane of a neuron. Embedded in the membrane
are protein channels that permit
certain ions to cross through the membrane at a controlled rate.
model
Hopfielda
j
wij
Neuron McCullocha-Pittsa
N
si (t ) = f (∑ wij s j (t − 1) − Ti )
j =1
i
Reguła Hebba:
1
wij =
N
i
Zapamiętaj zbiór p wzorców.
p
µ µ
ξ
∑ i ξj
µ =1
Po pokazaniu nowego wzorca,
sieć pokaże najbliższy mu
zapamiętany wzorzec
Warunek stabilności wzorców
ν
ν
ξ i = sgn( ∑ wij ξ j )
j
i = 1, 2 ,...., N
v = 1, 2 ...., p
Pojemność pamięci:
1
µ µ ν
C i = −ξ i
∑ ∑ ξ j ξi ξ j
N j µ ≠ν
ν
ν
ν
Ci < 0
ν
Ci < 1
ν
Ci ≥ 1
p
α = ≤ 0.138
N
w1
IN
w5
OUT
w7
w3
w4
w2
w6
w8
1
IN
1
OUT
1
1
1
1
1
1
1
1
IN
1
OUT
1
1
1
1
1
1
1
1
1
IN
1
1
OUT
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
IN
1
1
OUT
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
-1
1
IN
1
-1
OUT
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0.3
IN
0.3
0.2
OUT
0.1
0.2
0.02
− 0.1
− 0. 2
1 − 0. 2
-0.2
0. 3
-0.09
0.5 -0.045
-1
0.3
IN
-0.3
0.2
OUT
-0.02
0.2
-0.004
− 0.1
− 0. 2
1 − 0. 2
-0.2
0. 3
0.01
0. 5
0.005
IN
x
1
0
OUT
1
y
1
1
y
1
0
1
x
Algorytm propagacji wstecznej
IN
OUT
x1
y1
x2
y2
Iteracyjne metody
poszukiwania rozwiązania
optymalnego:
Metoda gradientowa
Symulowane wyżarzanie
Symulowane wyżarzanie
•Algorytmy genetyczne
Wykład XIII
Wierzchołki: komputery i routery
INTERNET
Krawędzie : fizyczne połączenia „druty”
GENOME
protein-gene
interactions
PROTEOME
protein-protein
interactions
METABOLISM
Bio-chemical
reactions
Citrate Cycle
Nature 408 307 (2000)
p53 network (mammals)
sieć regularna
Silnie sklastrowana
Średnia odległość duża
sieć regularna
Dane N wierzchołków.
Prawdopodobieństwo,
że dowolne dwa spośród nich
sa połączone jest p
Model
Erdös-Rényi
(1960)
sieć stochastyczna:
Graf losowy - ewolucja
p∝N
z
Graf losowy
a perkolacja:
Graf losowy:
kiedy
gigant
komponent?
Perkolacja:
kiedy
nieskończony
klaster?
Drzewo Cayley’a: drzewo, gdzie każdy wierzchołek
oprócz liści ma ten sam stopień z
z =3
Drzewo Cayley’a
i nieskończenie wymiarowa perkolacja
1
pc =
z −1
Klasa uniwersalności ta sama.
inaczej taki sam charakter funkcyjny
różnych wielkości w otoczeniu progu krytycznego
inaczej te same wartości wykładników krytycznych
przy potęgowym opisie zależności.
1
p < pc =
N
1
p < pc =
N
graf Prawdopodobieństwo pojawienia się giganta jest 0
Prawdopodobieństwo pojawienia się klastera
perkol
nieskończonego jest 0
1
p < pc =
N
perkol
graf Komponenty to drzewa
klastery to fraktale
perkol
1
p < pc =
N
perkol
graf Komponenty to drzewa
klastery to fraktale
perkol
graf
perkol
Komponent_MAX ma ln(N) wierzchołków
klaster_MAX ma ln(N) wierzchołków
1
p = pc =
N
graf
perkol
pojawia się gigant
pojawia się klaster nieskończony
1
p = pc =
N
graf
pojawia się gigant
perkol
graf gigant to drzewo
nieskończony klaster to fraktal
perkol
1
p = pc =
N
graf
pojawia się gigant
perkol
graf gigant to drzewo
nieskończony klaster to fraktal
perkol
graf
perkol
Gigant ma (N)2/3 wierzchołków
Nieskończony klaster skaluje się jak (N)2/3
1
p > pc =
N
graf
perkol
N[f(p c N) − f(pN)]
Gigant rośnie:
Klaster nieskończony rośnie:
N[p c − p]
1
p > pc =
N
graf
perkol
N[f(p c N) − f(pN)]
Gigant rośnie:
Klaster nieskończony rośnie:
N[p c − p]
graf gigant ma złożoną strukturę: cykle,
grafy pełne
perkol nieskończony klaster nie jest fraktalem
Cechy mierzalne grafu
•Rozkład stopni wierzchołków
•Średnica grafu
•Współczynnik klastrowania
Graf losowy a sieć rzeczywista
Graf losowy a sieć rzeczywista
Większość sieci rzeczywistych ma
własność potęgowej postaci
dystrybucji stopnia wierzchołka:
−γ
Pk ∝ k
Sieć swobodna : Scale-free networks
Co to oznacza?
Dlaczego?
Stochastyczny graf swobodny:
ki zaczepów
i
j
kj zaczepów
ki zaczepów
i
j
kj zaczepów
Pk ∝ k
−γ
Czy w grafie losowym swobodnym, gdzie stopień
wierzchołka ma rozkład potęgowy:
• istnieje próg pojawiania się giganta?
• jak zmienia się rozmiar i topologia klastrów?
• kiedy graf staje się spójny?
0
γ
1
2
3.47875.....
Prawie na pewno jest
gigant kluster
Prawie
na
pewno
spójny
Gigant
rośnie
Prawie na
pewno
nie ma
giganta
Sieć:
„Small-world” : wszędzie jest blisko
Z prawdopodobieństwem p przekręcamy krawędź
O
r
i
g
i
n
S
F
(1) Liczba węzłów N w sieci nie jest stała
Sieci bez przerwy rosną : zwiększa się
ilość krawędzi i węzłów
Przykłady:
WWW : dodawanie nowych dokumentów
Citation : publikowanie nowych artykułów
(2) Dowiązywanie nowych wierzchołków
nie jest jednorodne
Nowy węzeł z większym
prawdopodobieństwem przyłączy się do
węzła “popularnego”
Przykłady :
WWW : nowe strony prawdopodobniej dołącza się
do stron wysoko połączonych: CNN, YAHOO,
NewYork Times, etc
Citation : dobrze znane a więc cytowane artykuły
będą z pewnością najczęściej cytowane
Barabasi-Albert model
A.-L.Barabási, R. Albert,
Science 286, 509 (1999)
(1) GROWTH :
W każdej chwili czasu nowy węzeł i m krawędzi się pojawia
: łączą one nowy węzeł z węzłami już obecnymi
(2) PREFERENTIAL ATTACHMENT :
Prawdopodobieństwo Π że nowy węzeł będzie
połączony do węzła i zależy od stopnia wierzchołka ki
ki
Π (ki ) =
Σ jk j
P(k) ~k-3
Mean Field Theory
∂ki
ki
ki
∝ Π (ki ) = A
=
, with initial condition ki (ti ) = m
k
t
∂t
2
∑j j
t
ki (t ) = m
ti
m 2t
m 2t
m 2t
P (ki (t ) < k ) = Pt (ti > 2 ) = 1 − Pt (ti ≤ 2 ) = 1 − 2
k
k
k (m0 + t )
∂P(ki (t ) < k ) 2m 2t 1
−3
~
∴ P(k ) =
=
k
3
∂k
mo + t k
γ=3
A.-L.Barabási, R. Albert and H. Jeong, Physica A 272, 173 (1999)
Model A
growth
preferential attachment
Π(ki) : uniform
∂ki
m
= AΠ (ki ) =
∂t
m0 + t − 1
 m0 + t − 1

) + 1
ki (t ) = m ln(
 m + ti − 1

e
k
−k
P (k ) = exp(− ) ~ e
m
m
Model B
growth
preferential attachment
∂ki
1
N ki 1
= AΠ (ki ) + =
+
∂t
N N − 1 2t N
2( N − 1)
ki (t ) =
t + Ct
N ( N − 2)
N
2 ( N −1)
2
~ t
N
P(k) : power law (initially)
⇒ Gaussian
Średnia odleglość
Współczynnik klastrowania
Pięta Achillesowa
Achilles’ Heel of complex network
failure
attack
Internet
Protein network
R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406 378 (2000)
Efekt kaskadowego załamania:
Power
grids
Internet
October 1986:
the first documented
Internet congestion
collapse
August 1996:
sag of just one
electrical line in
Oregon
August 2003:
initial disturbance
in Ohio
Drop in speed
of a factor 100
Blackout for 4 million
people in 9 different
States
Largest blackout in
the US’s hystory
Conclusions
Another bad news
• Scale –free degree networks are
vulnerable to spreading diseases such as
viruses.
• They propagate viruses efficiently .
• Hubs do a good job in passing them to
many connected vertices.
• This suggests immunizing hubs
as a good prevention strategy
Conclusions[1]
• The September 11, 2001 attack was a
devastating blow to the World Trade Center.
• We have seen some cascading effects on
our economy, industry, and society.
• BUT, all networks from Internet to complex
economic webs survived.
• This demonstrates the resilience of selforganized networks.
• In this sense the terrorists failed.

Danuta Makowiec UKŁADY ZŁOONE

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zestaw zadań z grafów planarnych Z. 1. Czy graf Petersena jest

MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI

Projekt ,,Bądź aktywny - wybierz przvszłość

Hasło jednostka

Modułowe stacje szybkiego napełniania CNG, GRAF C20 i GRAF

Bitdefender Family Pack ESD 36m - Dobry

KsiąŜki nagrodzone w Konkursie KsiąŜka Roku 2008

Grafy i metody ich przeszukiwania. Zastosowania

Bitdefender Family Pack ESD 24m - Dobry

Załącznik nr 6