Zestaw zadań z grafów planarnych Z. 1. Czy graf Petersena jest
Transkrypt
Zestaw zadań z grafów planarnych Z. 1. Czy graf Petersena jest
Zestaw zadań z grafów planarnych Z. 1. Czy graf Petersena jest planarny? Z. 2. Które grafy pełne, a które pełne dwudzielne są planarne? Z. 3. Przedstawić graf nieplanarny, który nie jest homeomorficzny ani ściągalny do K5 oraz K3,3 . Z. 4. W pewnym wielościanie wszystkie ściany są pięciokątami i sześciokątami. Ile jest ścian pięciokątnych, jeżeli w każdym wierzchołku spotykają się dokładnie trzy ściany? Z. 5. Pokazać, że dla spójnego, prostego grafu planarnego bez trójkątów G = (V, E) o co najmniej trzech wierzchołkach zachodzi |E| ¬ 2 |V | − 4. Z. 6. Pokazać, że spójny graf planarny G o co najmniej jednym wierzchołku posiada wierzchołek o stopniu nie większym niż 5. Z. 7. Uzasadnić, że w grafie płaskim G = (V, E) o f ścianach i k 1 składowych spójnych zachodzi |V | − |E| + f = k + 1. Z. 8. Ile spójnych składowych ma graf planarny o 121 wierzchołkach, 53 krawędziach oraz 30 ścianach? Z. 9. Podać przykład klas grafów, w których każde dwa są homeomorficzne. Z. 10. Uzasadnić, że twierdzenie Wagnera jest równoważne twierdzeniu Kuratowskego.