Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Krzywe stożkowe
Lekcja VI: Parabola
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Czym jest parabola?
Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka
płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością
stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z tworzącą
stożka.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.
Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich
odległość punktu F jest równa odległości od prostej k.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.
Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich
odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.
Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich
odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}
Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do kierownicy.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.
Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek
paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 .
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.
Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek
paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:
m = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Równanie kanoniczne paraboli
Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica
jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niech
dany będzie wierzchołek paraboli W = (x0 , y0 ). Wtedy równanie
kanoniczne paraboli ma postać
(y − y0 )2 = 2p(x − x0 )
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
(1)
Równanie kanoniczne paraboli
Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica
jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niech
dany będzie wierzchołek paraboli W = (x0 , y0 ). Wtedy równanie
kanoniczne paraboli ma postać
(y − y0 )2 = 2p(x − x0 )
(1)
W drugim wypadku dostajemy:
(x − x0 )2 = 2p(y − y0 ).
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
(2)
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć
równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane
jako:
x = x0 + pt 2 , y = y0 + 2pt
(3)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć
równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane
jako:
x = x0 + pt 2 , y = y0 + 2pt
(3)
W drugim zaś jako:
x = x0 + 2pt, y = y0 + pt 2
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
(4)
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe
paraboli ma postać:
p
(5)
ρ=
1 + cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe
paraboli ma postać:
p
(5)
ρ=
1 + cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kierownice i ogniska paraboli
Jeśli parabola jest postaci (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) to jej kierownica i
wierzchołek dane są:
k : x = x0 −
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
p
,
2
W = (x0 , 0)
Kierownice i ogniska paraboli
Jeśli parabola jest postaci (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) to jej kierownica i
wierzchołek dane są:
k : x = x0 −
p
,
2
W = (x0 , 0)
Jeśli parabola jest postaci (x − x0 )2 = 2p(y − y0 ) to jej kierownica i
wierzchołek dane są:
k : y = y0 −
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
p
,
2
W = (0, y0 )
Równanie stycznej do paraboli
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi
OX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0 )(y − y0 )
=p
(x1 − x0 ) + (x − x0 )
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Równanie stycznej do paraboli
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi
OX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0 )(y − y0 )
=p
(x1 − x0 ) + (x − x0 )
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi
OY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(x1 − x0 )(x − x0 )
=p
(y1 − y0 ) + (y − y0 )
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w
połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w
połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.
KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w
połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.
KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.
KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w
połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.
KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.
KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie
podziału.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Kreślenie paraboli
KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie
podziału.
KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tych
samych numerach to punkty przejścia paraboli.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola