Badanie regularnosci w słowach - Przypadek sekwencyjny

Transkrypt

Badanie regularności w słowach
Przypadek sekwencyjny
Marcin Piątkowski
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Edsger Wybe Dijkstra (1930 – 2002)
Computer science is no more about computers
than astronomy is about telescopes, biology is
about microscopes or chemistry is about beakers
and test tubes. Science is not about tools, it is
about how we use them and what we find out
when we do.
N
2 / 41
Wstęp
Alfabety i słowa
alfabet Σ – skończony zbiór symboli
słowo – skończony ciąg symboli ze zbioru Σ
Przykłady
Σ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
15432,
48, 5830281,
301528
Σ = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j, k, l , m, n, o, p, r , s, t, u, w , z}
kot, pies, dom, drzewo
Σ = {♠, F, , z, ♣, -}
FFzFz, ♣-F, ♠-♣-, -Fz
N
3 / 41
Wstęp
Monoid słów
Σ∗ – zbiór wszystkich skończonych słów nad alfabetem Σ
Konkatenacja:
a1 a2 . . . am · b1 b2 . . . bn = a1 a2 . . . am b1 b2 . . . bn
Łączność: (x · y ) · z = x · (y · z)
Element neutralny ε (słowo puste): x · ε = ε · x = x
N
4 / 41
Wstęp
Faktor
Słowo w jest faktorem słowa u jeśli u = x · w · y
Przykład:
faktor:
ababaabababaabababaabababaababaab
prefiks:
sufiks:
N
5 / 41
Wstęp
Morfizm
φ : M1 −→ M2
∀x, y ∈ M φ(x · y ) = φ(x) ◦ φ(y )
Przykład
M1 = (Σ∗ , ·),
M2 = (Z, +)
φ : M1 −→ M2
φ(x) = |x|
N
6 / 41
Maksymalne powtórzenia
N
7 / 41
N
7 / 41
N
7 / 41
Oznaczenia
ρ(w ) – liczba maksymalnych powtórzeń w słowie w
n
o
ρ(n) = max ρ(w ) : |w | = n
N
7 / 41
a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b a b a a b
N
8 / 41
Wartości ρ(n) dla 10 ¬ n ¬ 20
n
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ρ(n)
6
7
8
8
10
10
11
12
13
14
15
ρ(n)/n
0.6
0.636364
0.666667
0.615385
0,714286
0.666667
0.6875
0.705882
0.722222
0.736842
0.75
Słowo
aabaabbaab
aabaabbaabb
aabaabbaabaa
aaabaabbaabaa
aabaabbaabaabb
aaabaabbaabaabb
aabaabbaabaabbaa
aabaababbabaababb
aabaabbaabaabbaabb
aabaabbaabaabbaabaa
aababaababbabaababaa
N
9 / 41
Wartości ρ(n) dla 21 ¬ n ¬ 31
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
ρ(n)
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ρ(n)/n
0.714286
0.727273
0.73913
0.75
0.76
0.769231
0.777778
0.785714
0.793103
0.8
0.806457
Słowo
aaababaababbabaababaa
aabaababaababbabaababb
aabaababaababbabaababaa
aabaabbaabaabbabbaabbabb
aabaabbaabaaabaabbaabaabb
aababaababbabaababaababbab
aabaababaababbabaababaababb
aababaababbabaababaababbabaa
aababaababbabaababaababbababb
aababbabaababbababbabaababbaba
aababaababbabaababaababbabaabab
N
10 / 41
Maksymalne powtórzenia – oszacowanie
R. Kolpakov, G. Kucherov (1999)
∀n>0 ρ(n) ¬ c · n
Algorytm znajdowania wszystkich maksymalnych powtórzeń
w słowie długości n działający w czasie O(n)
Hipoteza
∀n>0 ρ(n) ¬ n
N
11 / 41
n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.44n
Rytter (2007)
n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
Puglisi et al. (2008)
3.44n
Rytter (2007)
n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
3.44n
Rytter (2007)
1.6n
Crochemore, Ilie (2008)
n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
3.44n
Rytter (2007)
1.6n
n
1.048n
Crochemore et al. (2008)
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
3.44n
Rytter (2007)
1.6n
1.048n
n
0.927. . . n
Franek et al. (2003)
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
3.44n
Rytter (2007)
1.6n
1.048n
n
0.944542. . . n
Kusano et al. (2008)
0.927. . . n
N
12 / 41
5n
Rytter (2006)
3.48n
3.44n
Rytter (2007)
1.6n
1.048n
0.944542. . . n
Kusano et al. (2008)
0.927. . . n
N
12 / 41
Miary regularności słów
Liczba maksymalnych powtórzeń
0.944n ¬ ρ(n) ¬ 1.048n
N
13 / 41
0.944n ¬ ρ(n) ¬ 1.048n
Liczba maksymalnych powtórzeń kubicznych
0.41n ¬ ρ(3) (n) ¬ 0.5n
(Crochemore et al., 2010)
N
13 / 41
0.944n ¬ ρ(n) ¬ 1.048n
0.41n ¬ ρ(3) (n) ¬ 0.5n
Suma wykładników maksymalnych powtórzeń
2.035n ¬ se(n) ¬ 4.1n
N
13 / 41
0.944n ¬ ρ(n) ¬ 1.048n
0.41n ¬ ρ(3) (n) ¬ 0.5n
Suma wykładników maksymalnych powtórzeń
2.035n ¬ se(n) ¬ 4.1n
Całkowita długość maksymalnych powtórzeń
n2
47n2
¬ TRL(n) ¬
8
72
(Glenn et al., 2013)
N
13 / 41
Słowa Fibonacciego
Definicja
F−1 = b
F0 = a
Fn = Fn−1 · Fn−2
Przykład
F1 = ab
f1 = 2
F2 = aba
f2 = 3
F3 = abaab
f3 = 5
F4 = abaababa
f4 = 8
F5 = abaababaabaab
f5 = 13
F6 = abaababaabaababaababa
f6 = 21
F7 = abaababaabaababaababaabaababaabaab
f7 = 34
N
14 / 41
Słowa Fibonacciego
R. Kolpakov, G. Kucherov (1999)
∀n4 ρ(Fn ) = 2|Fn−2 | − 3
Asymptotyka
lim
n→∞
ρ(Fn )
= 0.763932 . . .
|Fn |
N
15 / 41
Słowa standardowe
Słowa Fibonacciego
F−1 = b
F0 = a
Fk = Fk−1 · Fk−2
Słowa standardowe – Sw(γ0 , γ1 , . . . , γn )
x−1 = b
x0 = a
xk = xk−1 · xk−1 · . . . · xk−1 ·xk−2
|
{z
}
γk−1
N
16 / 41
Słowa standardowe
γ = (1, 2, 1, 3, 1)
x−1 = b
x0 = a
x1 = (x0 )1 · x−1 = a · b
x2 = (x1 )2 · x0 = ab · ab · a
x3 = (x2 )1 · x1 = ababa · ab
x4 = (x3 )3 · x2 = ababaab · ababaab · ababaab · ababa
x5 = (x4 )1 · x3 = ababaabababaabababaabababa · ababaab
Sw(1, 2, 1, 3, 1) = ababaabababaabababaabababaababaab
N
17 / 41
Słowa standardowe
Definicja
Dla ciągu kierunkowego γ = (γ0 , γ1 , . . . , γn ) określamy
(
hγi :
a −→ aγi b
b −→ a
dla 0 ¬ i ¬ n.
N
18 / 41
Słowa standardowe
Definicja
Dla ciągu kierunkowego γ = (γ0 , γ1 , . . . , γn ) określamy
a −→ aγi b
(
hγi :
b −→ a
Sw(1) = h1 (a)
Sw(3, 1) = h3 Sw(1)
dla 0 ¬ i ¬ n.
= ab
= aaaba
Sw(1, 3, 1) = h1 Sw(3, 1)
= abababaab
Sw(2, 1, 3, 1) = h2 Sw(1, 3, 1)
= aabaaabaaabaaabaaba
Sw(1, 2, 1, 3, 1) = h1 Sw(2, 1, 3, 1) = ababaabababaabababaabababaababaab
N
18 / 41
|w| = 33
|w|a = 19
|w|b = 14
a
b
b
a
b
a
Słowo Christoffela (dolne):
a
b
a
a
a
b
a
bababaabababaabababaabababaababaa
b
a
b
a
b
b
a
b
a
a
Słowo Christoffela (górne):
a
b
a
a
b
a
b
b
a
b
b
a
aababaabababaabababaabababaababab
a
a
a
Słowa standardowe:
b
a
a
b
a
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
b
a
ababaabababaabababaabababaabababa
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
b
N
19 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
|w|b = 14
b
19
5
9
24
23
10
4
29
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
b
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5
9
24
23
10
4
29
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
ba
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5 b
9
24
23
10
4
29
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
bab
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5 b
9
24 a
23
10
4
29
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
baba
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5 b
9
24 a
10 b
29
23
4
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
babab
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5 b
9
24 a
10 b
29
23
4
a
18
15
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
bababa
N
20 / 41
|w| = 33
28
|w|a = 19
0
14
b
|w|b = 14
19 a
5 b
9
24 a
10 b
29
23
4
a
18
15
a
32
1
13
20
27
6
8
25
11
22
3
30
17
16
31
2
12
26
7
21
bababaa
N
20 / 41
|w| = 33
|w|a = 19
a
b 28
a
14
0
b
19 a
|w|b = 14
5 b
a 9
b
24 a
23
10 b
29
a 4
a
18
15
a
a
1
32
b
b
13
20
a
a
6
27
b
b
8
25
a
a
11
22
b 3
a
30
17
a 31
b 12
16
2 a
b
a
21 b
a 26 b 7 a
bababaabababaabababaabababaababaa
N
20 / 41
Ułamki łańcuchowe
Definicja
Ułamkiem łańcuchowym nazywamy wyrażenie postaci:
1
a0 +
,
1
a1 +
a2 +
1
a3 + .
.. + 1
an
zapisywane w uproszczeniu jako [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . , an ].
N
21 / 41
Przykład
19
14
N
22 / 41
Przykład
19
5
= 1+
14
14
N
22 / 41
Przykład
19
5
= 1+
= 1+
14
14
1
2+
4
5
N
22 / 41
Przykład
19
5
= 1+
= 1+
14
14
1
2+
4
5
1
= 1+
2+
1
1+
1
4
[1; 2, 1, 4]
N
22 / 41
Przykład
19
5
= 1+
= 1+
14
14
1
2+
4
5
1
= 1+
2+
1
1+
1
= 1+
1
4
1
2+
1+
1
3+
1
1
[1; 2, 1, 4]
[1; 2, 1, 3, 1]
N
22 / 41
Słowa standardowe
Fakt
Dla qp = [γ0 ; γ1 , . . . , γn ], gdzie p, q są względnie pierwsze, istnieje
jednoznacznie wyznaczone słowo w ∈ {a, b}∗ takie, że:
1
|w |a = p − 1
2
|w |b = q − 1
3
Słowo b · w · a jest dolnym słowem Christoffela.
4
Słowo a · w · b jest górnym słowem Christoffela.
5
Jedno ze słów w · a · b lub w · b · a jest słowem standardowym
zadanym przez ciąg kierunkowy γ = (γ0 , . . . , γn )
N
23 / 41
Słowa Sturma
Definicja
Słowa Sturma to nieskończone słowa binarne, które zawierają dokładnie n + 1 różnych podsłów długości n 0.
ababaabababaabababaabababaababaab ...
1
ababaabababaabababaabababaababaab...
2
3
4
N
24 / 41
Słowa standardowe – maksymalne powtórzenia
P. Baturo, M. Piątkowski, W. Rytter – 2008
Okres każdego maksymalnego powtórzenia w słowie standardowym Sw(γ0 , γ1 , . . . , γn ) jest postaci
u = (xi )j · xi−1 ,
gdzie 0 ¬ i ¬ n oraz 0 ¬ j < γi .
Oznaczenia:
Maksymalne powtórzenia z okresem nie dłuższym niż |x1 | nazywamy
krótkimi
Maksymalne powtórzenia z okresem dłuższym niż |x2 | nazywamy
długimi
Pozostałe maksymalne powtórzenia nazywamy średnimi
N
25 / 41
N
26 / 41
Zliczanie maksymalnych powtórzeń
Wzór na liczbę krótkich maksymalnych powtórzeń wyznaczony
w sposób bezpośredni.
Wzór na liczbę średnich maksymalnych powtórzeń wyznaczony
w sposób bezpośredni.
Rekurencyjna zależność dla długich maksymalnych powtórzeń.
N
27 / 41
i-partition
Każde słowo standardowe Sw(γ0 , . . . , γn ) może być reprezentowane
w jednej z dwóch postaci:
xiα1 xi−1 xiα2 xi−1 . . . xiαs xi−1 xi
lub xiβ1 xi−1 xiβ2 xi−1 . . . xiβs xi−1 ,
gdzie αk , βk ∈ {γi , γi + 1}.
x1
x1
x0
x1
x1
x1
x0
x1
x1
x1
x0
x1
x1
x1
x0
x1
x1
x0
x1
a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b a b a a b
x2
x1
x3
x2
x1
x3
x2
x2
x1
x3
x2
x2
x1
x3
a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b a b a a b
x4
x3
N
28 / 41
Fakt
Struktura wystąpień bloków xi (równoważnie xi−1 ) w reprezentacji i-partition słowa standardowego Sw(γ0 , . . . , γn ) odpowiada strukturze wystąpień liter a (równoważnie liter b) w słowie
Sw(γm , . . . , γn ).
i i-partition
Sw(γm , . . . , γn )
1
2
3
4
aabaaabaaabaaabaaba
abababaab
aaaba
ab
ab·ab·a·ab·ab·ab·a·ab·ab·ab·a·ab·ab·ab·a·ab·ab·a·ab
ababa·ab·ababa·ab·ababa·ab·ababa·ababa·ab
ababaab·ababaab·ababaab·ababa·ababaab
ababaabababaabababaabababa·ababaab
N
29 / 41
Okresy długich maksymalnych powtórzeń w słowach standardowych synchronizują się z morfizmami hi
aaba
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
a b
a b
a
a b
a b
a b
a
a b
a b
a b
a
a b
a b
a b
a
a b
a b
a
a b
h0
aba
ababa
ababaab
N
30 / 41
ρ(w ) =


2A + 2B + ∆(γ) − 1






γ0 = γ1 = 1
(γ1 + 2)A + B + ∆(γ) − odd(n)
γ0 = 1; γ1 > 1


2A + 3B + ∆(γ) − even(n)




 (2γ + 1)A + 2B + ∆(γ)
1
γ0 > 1; γ1 = 1
γ0 > 1; γ1 > 1
A = |Sw(γ2 , γ3 , . . . , γn )|a
B = |Sw(γ3 , γ4 , . . . , γn )|a
∆(γ) = n − 1 − (γ1 + . . . + γn ) − unary(γn )
N
31 / 41
Wyznaczenie wartości |Sw(γ0 , . . . , γn )|a
|x−1 |a ← 0
|x0 |a ← 1
|x1 |a ← γ0 |x0 |a + |x−1 |a
|x2 |a ← γ1 |x1 |a + |x0 |a
..
.
|xn+1 |a ← γn |xn |a + |xn−1 |a
N
32 / 41
Wyznaczenie wartości |Sw(γ0 , . . . , γn )|a
|x−1 |a ← 0
|x0 |a ← 1
|x1 |a ← γ0 |x0 |a + |x−1 |a
|x2 |a ← γ1 |x1 |a + |x0 |a
..
.
|xn+1 |a ← γn |xn |a + |xn−1 |a








(n + 1) razy







N
32 / 41
Słowa z dużą liczbą maksymalnych powtórzeń
vk = Sw (1, 2, k, k)
vk =
(ababa)k ab
k
ababa
|vk | = 5k 2 + 2k + 5
ρ(vk ) = 4k 2 − k + 3
ρ(vk )
8
−→
|vk |
10
N
33 / 41
∀n>0 ρ(n) ¬ 0.8 n
lim
n→∞
ρ(n)
= 0.8
n
N
34 / 41
∀n>0 ρ(n) ¬ 0.8 n
lim
n→∞
ρ(n)
= 0.8
n
M. Piątkowski, W. Rytter – 2011
Zwarty wzór na liczbę maksymalnych powtórzeń kubicznych w
słowach standardowych
ρ(3) (n)
= 0.36924841 . . .
n→∞
n
lim
N
34 / 41
Burrows-Wheeler Transform
BWT
Podstawy teoretyczne – David Wheeler, 1983
Zastosowanie praktyczne – Michael Burrows, 1994
Podstawa algorytmu kompresji bzip2
N
35 / 41
Algorytm
ABRAKADABRA
Wyznacz macierz M zawierającą
wszystkie cykliczne przesunięcia słowa
wejściowego
Posortuj wiersze M leksykograficznie
Zwróć zawartość ostatniej kolumny M
oraz numer wiersza zawierającego słowo
wejściowe
N
36 / 41
Algorytm
ABRAKADABRA
wejściowego
AABRAKADABR
ABRAABRAKAD
wejściowe
DABRAABRAKA
RAABRAKADAB
BRAABRAKADA
ADABRAABRAK
KADABRAABRA
AKADABRAABR
RAKADABRAAB
BRAKADABRAA
N
36 / 41
Algorytm
AABRAKADABR
wejściowego
ABRAABRAKAD
AKADABRAABR
wejściowe
BRAABRAKADA
ABRAKADABRA
ADABRAABRAK
BRAKADABRAA
DABRAABRAKA
KADABRAABRA
RAABRAKADAB
RAKADABRAAB
N
36 / 41
Algorytm
AABRAKADABR
wejściowego
ABRAABRAKAD
AKADABRAABR
wejściowe
BRAABRAKADA
ABRAKADABRA
ADABRAABRAK
BRAKADABRAA
DABRAABRAKA
KADABRAABRA
Wynik
(R D A K R A A A A B B, 3)
RAABRAKADAB
RAKADABRAAB
N
36 / 41
Własności BWT
Można pozbyć się numeru wiersza w wyniku dodając na końcu
kodowanego słowa znak specjalny.
Użycie samej tranformaty nie powoduje kompresji.
Zmienia strukturę przetwarzanych danych powodując
grupowanie identycznych znaków w bloki.
Pozwala zwiększyć stopień kompresji przy użyciu innych
algorytmów.
N
37 / 41
Burrows-Wheeler Transform – odwracanie
Wejście
Algorytm
Umieść słowo wejściowe w ostatniej
kolumnie macierzy M
Odzyskaj pierwszą kolumnę przez
sortowanie zawartości ostatniej
Wykorzystując dwie znane kolumny
odzyskaj kolejne elementy wiersza
zawierającego słowo wejściowe
N
38 / 41
Wejście
R
D
A
K
R
A
A
A
A
B
B
Algorytm
kolumnie macierzy M
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
A
A
A
A
B
B
D
K
R
R
R
D
A
K
R
A
A
A
A
B
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - - - A
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - - - A
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - - RA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - - RA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - BRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - - BRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - ABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - - ABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - DABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - - DABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - ADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - - ADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - KADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - - KADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - AKADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- - AKADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- RAKADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
A- RAKADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Wejście
Algorytm
kolumnie macierzy M
A
R
A
D
ABRAKADABRA
A
K
A
R
B
A
B
A
D
A
K
A
R
B
R
B
N
38 / 41
Burrows-Wheeler Transform – słowa standardowe
abaababaabaab
N
39 / 41
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
N
39 / 41
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
N
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
39 / 41
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
N
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
39 / 41
Fakt
Dla dowolnego słowa standardowego w :
BWT (w ) = bn ak
N
40 / 41
Dziękuję za uwagę

Badanie regularnosci w słowach - Przypadek sekwencyjny

Transkrypt

Podobne dokumenty

Gdzie? Mała wioska, jeden mały sklep, mała szkoła. Wiesz gdzie to

Wiersze dojrzałe

170201_Warszawa w 100 słowach

2. Posługa choralisty podczas Mszy Św. (dzwonki)

9. Prace konkursowe należy przesłać na adres:

Ankieta dla ucznia „Lećmy i nigdy nie obniżajmy lotu.” „Każdy nowy

Odzyskaj miasto dla mieszkańców!

Zarządzenie nr 70 /2008 z dnia 24 września 2008 r. Rektora

List motywacyjny – zareklamuj się!

Arkusz obserwacji gotowości do nauki czytania i pisania