Fale mechaniczne - Instytut Fizyki

Transkrypt

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
11. Fale mechaniczne
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
FALA
 Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się w
przestrzeni) zaburzenie (odkształcenie, drganie).
Drgania: x(t)
Fale: y(x,t)
 Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii.
 Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane są wtedy ze
zmianą parametrów takiego ośrodka, jak np. ciśnienie i gęstość w gazach w
przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka
materialnego do propagacji (fale elektromagnetyczne).
 Rodzaje fal:
- fale mechaniczne;
- fale elektromagnetyczne;
- fale materii (cząstki).
FALA
 Fala poprzeczna – gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do
kierunku rozchodzenia się fali.
 Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do
kierunku rozchodzenia się fali.
Równanie falowe:
 1
 2 2
2
r
v t
2
Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja
argumentu:
u  x  vt
2
(u)
FALA
 Przykłady rozwiązań równania falowego:
 Fala harmoniczna:
 x
 t x
  A cos   t    A cos 2     A cost  kx
 v
T  
 Fala płaska:
 
  A exp it  exp ik  r 
 Fala kulista:
 
A
  expit  exp ik  r 
r
FALA
 Przykład: fala biegnąca
 2

y x, t   y0 cos  x  vt 
 

dla dowolnej, ustalonej wartości t:

v
 2

y x, t  const   y0 cos  x   
 

- to długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali, np.
„grzbietami”);
- prędkość przesuwania się „grzbietu” fali, czyli prędkość fazowa fali;
(a co dla ustalonej wartości x?)
FALA
 Wielkości opisujące falę:
- Związki między prędkością, okresem i długością fali:


v   f 
T
2
T - okres fali;  - częstość kołowa; f
k
- Liczba falowa (wektor falowy):
- Prędkość fazowa:
v
- częstotliwość;

k
2

(to nie jest definicja!)
FALA STOJĄCA
Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem fazy
równym  radianów:
 t x
 t x
y  A sin 2     A sin 2    
T  
T  
2x
2t
 2 A sin
cos

T
Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą – taki rodzaj
drgań ośrodka, który charakteryzuje się regularnym
występowaniem na przemian miejsc, gdzie amplituda
drgań jest równa zeru (węzły) i gdzie jest maksymalna równa 2A (strzałki).
FALA STOJĄCA
Generowanie fal stojących:
 Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b – można na niej
wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożeniu się na każdej
krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej długości fali –
figury Chladniego.
NAKŁADANIE SIĘ FAL
 Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i
zbliżonych częstotliwościach 1 i 2 :
yt   a cos1t   a cos2t 
 Jako falę wypadkową otrzymujemy:
yt   2a cos t cos t 
gdzie:
  1  2  2
  1  2  2
2a cos t 
to funkcja modulująca (obwiednia) [zakładamy, że
częstości różnią się nieznacznie]
– PACZKA FALOWA
 „Dokładamy” trzecią falę o częstości

i amplitudzie 2a :
 Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych według podobnej reguły:
– PACZKA FALOWA
 Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją
Gaussa:
    2 
G    exp
2 
2







jest odchyleniem standardowym – tu: rozrzut częstości
 Suma nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją:


t2
 G cost d  exp 21  2  cos t 
– PACZKA FALOWA


t2
G



cos


t

d


exp

cos t 
2


 21   
 Odchylenie standardowe tego rozkładu:
szerokością paczki fal.
Funkcja
t  1 
nazywane
G  to transformata Fouriera paczki fal.
jest
– PACZKA FALOWA
1
 Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale
harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach
i 2 oraz zbliżonych liczbach falowych k1 i k 2 :
y x, t   a cos1t  k1 x   a cos2t  k2 x 
 Jako falę wypadkową otrzymujemy:
yt   2a cos t  kxcos t  k x 
gdzie:
  1  2  2
k  k1  k2  2
  1  2  2
k  k1  k2  2
NAKŁADANIE SIĘ FAL –
PRĘDKOŚĆ PACZKI FALOWEJ
 Funkcja modulująca jest teraz równa:
i ma ona maksimum dla:
a stąd otrzymujemy:
2a cos t  kx
 t  kx  0
x 

t k
– PACZKA FALOWA
 Prędkość grupowa vg – prędkość rozchodzenia się paczki fal
sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu”
obwiedni):
d
vg 
dk
 Prędkość fazowa vf - prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali
składowej osobno):
vf 
i
ki
FALE AKUSTYCZNE
 Jest to rodzaj fal sprężystych – rozchodzących się w ciągłym ośrodku
materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w
ciałach stałych).
 Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych,
polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza.
 Założenia:
• lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu;
• zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu;
• nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząstek gazu.
FALE AKUSTYCZNE
 Równanie falowe dla fali dźwiękowej w powietrzu:
2 f
2 f
 2
2
t
x
gdzie:
 p 
 v  
   p  p0
2

- gęstość
Po wykorzystaniu prawa Hooke’a i równania Clapeyrona:
v  
B

gdzie:
(moduł ściśliwości)
B
p
V V
FALE AKUSTYCZNE
 Natężenie fali dźwiękowej:
I
P 1
 v 2 sm2
S 2
P - szybkość przenoszenia energii (moc);
sm
- amplituda fali;
 Ludzkie ucho odbiera dźwięk o amplitudzie od 10-5 m do 10-11 m, czyli
stosunek natężeń dla tych dwóch granic wynosi 1012 ! Stąd zamiast natężenia
fali dźwiękowej używa się głośności dźwięku 
  10dB log
I 0  1012 W m2 - to standardowe natężenie odniesienia.
I
I0

Fale mechaniczne - Instytut Fizyki

Transkrypt

Podobne dokumenty

Plik 0 - Instytut Fizyki

Drgania i fale

Natura światła Dyfrakcja Interferencja

program ćwiczeń

Generuj PDF z tej stronie - Centralny Ośrodek Szkolenia Straży

Plik 11 - Instytut Fizyki

Generuj PDF z tej stronie - Straż Graniczna Centralny Ośrodek

Widmo ciągłe światła białego Widmo fal

Plik 9 - Instytut Fizyki