Mathcad - skurcz.xmcd

Procedura wyznaczania naprężeń spowodowanych skurczem
betonu w przęsłowych przekrojach zespolonych
Materiały dydaktyczne.
Opracowanie: mgr inż. Maciej Kulpa
Pobrano ze strony http://kulpa.sd.prz.edu.pl
Poniższe wyliczenia są przewidziane jako pomoc dydaktyczna przy
wykonywaniu projektu z przedmiotu Mosty Metalowe i tylko w tym celu mogą
być wykorzystywane.
1 Charakterystyki przekroju zespolonego
1.1 Założenia wyjściowe i stałe materiałowe
moduł sprężystości podłużnej stali
Ea = 205 GPa
stosunek modułów stal/beton z uwzględnieniem pełzania n s = 16.8
efektywny moduł sprężystości betonu
końcowe odkształcenie skurczowe
Eb.eff =
Ea
=
ns
205GPa
16.8
= 12.2GPa
ε s = 0.024%
wymiary przekroju dźwigara stalowego
półka dolna:
szerokość:
b = 500mm
0
środnik:
b
półka górna:
b
wymiary półki betonowej
współpracująca część płyty żelbetowej
wysokość:
h = 35mm
0
1
= 12mm
h
2
= 400mm
h
szerokość:
b
= 1200mm
2
= 25mm
wysokość:
= 2500mm
3
1
h
3
indeks określający liczbę składowych elementów w przekroju poprzecznym
uwzględnienie różnicy materiałów poszczególnych
elementów składowych przekroju
n :=
wysokość całkowita przekroju
H =
i = 0 .. 3
1 if i < 3
i
= 220mm
n s otherwise
 1 
1 
n=
 1 
 16.8


 h i = 1.480m
i
odległość środków ciężkości poszczególnych
elementów składowych od włókien dolnych przekroju
i
y =
i

i= 0
h
h −
i
i
2
 0.018
0.635
y=
m
 1.247
 1.370


1.2 Płyta żelbetowa
3
pole przekroju płyty żelbetowej brutto
Ab =
2
 (bi hi) = 0.550 m
i= 3
sprowadzone pole przekroju płyty żelbetowej
2
Ab
0.550m
2
Ab.eff =
=
= 0.0327 m
16.8
ns
moment statyczny płyty żelbetowej względem włókien
dolnych przekroju
Sb =
odległość środka ciężkości płyty żelbetowej od włókien
dolnych przekroju
yb =
3
 (bi hi yi) = 0.754 m
3
i= 3
Sb
= 1.371 m
Ab
1.3 Dźwigar stalowy
2
odległość środka ciężkości dźwigara stalowego
od włókien dolnych przekroju
Aa =
b h

i i
n
i= 0
2
moment statyczny dźwigara stalowego względem
włókien dolnych przekroju
Sa =
ya =
i
b h y

i i i
n
i= 0
odległość środka ciężkości dźwigara stalowego
od włókien dolnych przekroju
2
= 0.0419 m
3
= 0.0219 m
i
3
Sa
0.0219m
=
Aa
2
= 0.523 m
0.0419m
1.4 Przekrój zespolony (sprowadzony)
sprowadzone pole przekroju zespolonego
Ac =
moment statyczny sprowadzonego przekroju
espolonego
Sc =
odległość środka ciężkości przekroju sprowadzonego
od spodu przekroju
yc =
b h

i i
n
i
i

b h y
i i i
n
i
2
= 0.0746 m
3
= 0.0668 m
i
3
Sc
=
Ac
0.0668m
2
= 0.895 m
0.0746m
b h

b h
 i ( i)
i i
2
4
 12 n + n ( yi − yc)  = 0.0249 m
i
i


3
sprowadzony moment bezwładności przekroju
zespolonego
Ic =

i
odległość środka ciężkości płyty żelbetowej od osi
obojętnej sprowadzonego przekroju zespolonego
ab = y b − y c = 1.371m − 0.895m = 0.476 m
odległość środka ciężkości dźwigara stalowego od osi
obojętnej sprowadzonego przekroju zespolonego
aa = y c − y a = 0.895m − 0.523m = 0.372 m
odległość włókien dolnych dźwigara stalowego od
y 1 = y c = 0.895 m
środka ciężkości sprowadzonego przekroju zespolonego
odległość włókien gónych dźwigara stalowego oraz
włókien dolnych płyty żelbetowej od środka ciężkości
sprowadzonego przekroju zespolonego
2
y2 =

i= 0
h − y c = 0.365 m
i
odległość włókien górnych płyty żelbetowej od środka
ciężkości sprowadzonego przekroju zespolonego
y 3 = H − y c = 1.480m − 0.895m = 0.585 m
2 Naprężenia w przekroju przęsłowym
2.1 Siły wewnętrzne i zewnętrzne
siła zastępcza dla efektów skurczu
2
3
Ns = ε s Eb.eff Ab = 0.024% 12.2GPa 0.550m = 1.61 × 10 kN
moment wywoływany siłą zastępczą
3
M s = Ns ab = 1.61 × 10 kN 0.476m = 766 kNm
moment zginający od efektów izostatycznych i
hiperstatycznych w przekroju:
przęsłowym
M s1 = 351kNm
podporowym
M s2 = −830 kNm
2.1 Schemat 1
naprężenia w dźwigarze stalowym
włókna dolne
3
Ns
M s1
1.61 × 10 kN
351 kN m
σ1a = −
+
y1 = −
+
0.895m = −9.0 MPa
2
4
Ac
Ic
0.0746m
0.0249m
włókna górne
3
Ns
M s1
1.61 × 10 kN
351 kN m
σ2a = −
+
⋅ −y 2 = −
+
⋅ −0.365m = −26.7 MPa
2
4
Ac
Ic
0.0746m
0.0249m
naprężenia w płycie żelbetowej
włókna dolne
3
Ns
M s1
1.61 × 10 kN
351 kN m
σ'1b = −
+
⋅ −y 2 = −
+
⋅ −0.365m = −1.6 MPa
n s Ac
2
4
n s Ic
16.8 0.0249m
16.8 0.0746m
włókna górne
3
Ns
M s1
1.61 × 10 kN
351 kN m
σ'2b = −
+
⋅ −y 3 = −
+
⋅ −0.585m = −1.8 MPa
n s Ac
2
4
n s Ic
16.8 0.0249m
16.8 0.0746m
2.2 Schemat 2
naprężenia w płycie żelbetowej
włókna dolne
3
Ns
1.61 × 10 kN
σ''1b =
=
= 2.9 MPa
Ab
2
0.550m
włókna górne
3
Ns
1.61 × 10 kN
σ''2b =
=
= 2.9 MPa
Ab
2
0.550m
2.3 Podsumowanie naprężeń skurczowych
naprężenia w dźwigarze stalowym
włókna dolne
włókna górne
σ1a = −9.0 MPa
σ2a = −26.7 MPa
naprężenia w płycie żelbetowej
włókna dolne
σ1b = σ'1b + σ''1b = −1.6MPa + 2.9MPa = 1.3 MPa
włókna górne
σ2b = σ'2b + σ''2b = −1.8MPa + 2.9MPa = 1.1 MPa