4 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe

4–1
Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
4
Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
W niniejszych notatkach, oprócz literatury wymienionej na stronie internetowej, korzystam też z następujących artykułów:
• A. Bressan, Hyperbolic conservation laws. An illustrated tutorial , notatki na stronie internetowej Pennsylvania State University.
• P. D. Lax, The formation and decay of shock waves, Amer. Math.
Month. 79 (1979) (3), 227–241.
4.1
Prawa zachowania
Załóżmy, że u = u(t, x) jest miarą gęstości pewnej substancji w punkcie
x ∈ R i w chwili t ­ 0. Zakładamy, że substancja ta nie powstaje ani nie
znika (czyli jest zachowywana), może tylko przepływać (i też nie dyfunduje).
Ponadto, zakłada się, że strumień (ang. flux ) substancji w danym punkcie
(czyli chwilowa prędkość przepływu substancji z lewa na prawo) zależy tylko
od gęstości substancji w tym punkcie (i zadany jest funkcją f = f (u)).
Zmiana masy substancji na przedziale [x1 , x2 ] od chwili t1 do chwili t2 jest
równa
Zx2
x1
u(t2 , x) dx −
Zx2
x1
u(t1 , x) dx =
Zt2
f (u(t, x1 )) dt −
t1
Zt2
f (u(t, x2 )) dt.
t1
Jako że x1 , x2 , t1 , t2 są dowolne, otrzymujemy, przy założeniu że wszystkie
funkcje są na tyle regularne, że można zmieniać kolejność różniczkowania i
całkowania, itp., następujące skalarne prawo zachowania w przestrzeni jednowymiarowej :
(PZ)
ut + (f (u))x = 0.
Jako przykład może służyć ruch samochodów po autostradzie. Niech u =
u(t, x) będzie gęstością (w samochodach na kilometr). Oczywiście, zakładamy, że samochody to substancja ciągła (niewątpliwie jest to idealizacja). Następne idealizujące założenie to takie, że prędkość samochodów jest zależna
tylko od gęstości w danym punkcie, f = f (u).
W przykładzie powyższym naturalnym założeniem jest, że zależność prędkości od gęstości ma ujemną pochodną.
Zakładamy odtąd, że w prawie zachowania (PZ) znana funkcja f : R → R
jest klasy C 1 .
4–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Przykład. W różnych działach fizyki pojawia się równanie
ut + uux = 0,
zwane równaniem Burgersa(1) bez lepkości, równaniem Riemanna, równaniem Kortewega(2) -deVriesa(3) bez dyspersji, i in.
Warunek początkowy dla (PZ) to
(PZ-WP)
u(0, x) = u0 (x),
x ∈ RR,
gdzie u0 : R → R jest znaną funkcją.
Rozważmy zagadnienie początkowe
(PZ-ZP)

u
+ (f (u))x = 0,
u(0, x) = u0 (x),
t
t ­ 0, x ∈ R
x ∈ R,
gdzie f : R → R jest funkcją klasy C 1 , a u0 : R → R jest funkcją.
Niech x = x(t), x(0) = x0 , będzie krzywą klasy C 1 taką, że wzdłuż niej
rozwiązanie u zagadnienia (PZ-ZP) jest stałe. Musi zatem zachodzić
0≡
d
dx
u(t, x(t)) = ut + ux ,
dt
dt
więc dx/dt jest stale równe f 0 (u). Z drugiej strony, u jest stałe na tej krzywej,
i równe u0 (x0 ).
Półprostą x = x0 + f 0 (u0 (x0 ))t, t ­ 0, nazywamy rzutem charakterystycznym równania (PZ) przechodzącym przez punkt (0, x0 )(4) .
Powyższe rozważania dają oczywistą metodę szukania rozwiązań zagadnienia początkowego (PZ-ZP): dla x ∈ R bierzemy półprostą przechodzącą
przez (0, x), o współczynniku kierunkowym f 0 (u0 (x)), i na tej półprostej zadajemy wartość u równą u0 (x).
Jednak mogą się tutaj pojawić pewne trudności.
• Jeśli u0 jest funkcją nieciągłą, może się zdarzyć, że istnieją punkty na
otwartej prawej półpłaszczyźnie, i to dowolnie blisko prostej t = 0, które
nie leżą na żadnym rzucie charakterystycznym. Zatem metoda powyższa nie daje nam przepisu na wartości rozwiązania w takich punktach.
Należy zaznaczyć, że często w zastosowaniach występuje zagadnienie
Riemanna, polegające na znalezieniu rozwiązania zagadnienia (PZ-ZP)
gdy u0 jest funkcją kawałkami stałą mającą tylko skok w x = 0.
(1)
Jan (Johannes Martinus) Burgers (1895–1981), fizyk holenderski
Diederik Johannes Korteweg (1848–1941), matematyk holenderski.
(3)
Gustav deVries (1866–1934), matematyk holenderski.
(4)
W wielu opracowaniach półprostą taką nazywa się charakterystyką.
(2)
4–3
Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
• Gdy u0 jest funkcją ciągłą, dowodzi sie, że dla ustalonego przedziału [x1 , x2 ] ⊂ R można znaleźć takie T > 0, że dla dwóch różnych
x01 , x02 ∈ [x1 , x2 ] odcinki rzutów charakterystycznych przechodzących
przez (0, x01 ) i (0, x02 ) odpowiadające t ∈ [0, T ] są rozłączne. Wynika
stąd istnienie otoczenia prostej {0}×R w [0, ∞)×R na którym rozwiązanie zagadnienia początkowego PZ-ZP jest dobrze określone. Jeśli u0
jest C 1 , wtedy to „lokalne” rozwiązanie jest rozwiązaniem klasycznym.
Gdy f 0 ◦ u0 jest funkcją niemalejącą, wówczas rzuty charakterystyczne
odpowiadające różnym punktom na prostej {0} × R nigdzie się nie
przecinają. Zatem rozwiązanie można wtedy dobrze określić na całej
półpłaszczyźnie [0, ∞)×R (i będzie to rozwiązanie klasyczne gdy f 0 ◦u0
jest klasy C 1 ).
Natomiast gdy f 0 ◦ u0 jest funkcją rosnącą, rzuty charakterystyczne
odpowiadające różnym punktom na prostej {0} × R zawsze się przetną.
W takim przypadku, nawet gdy u0 jest bardzo regularne, nie można
mieć nadziei na istnienie rozwiązania klasycznego określonego na całej
półpłaszczyźnie [0, ∞) × R. Trzeba wtedy szukać rozwiązań słabszych
niż klasyczne.
4.2
Rozwiązania słabe
Definicja. Funkcję istotnie ograniczoną u : Ω → R, gdzie Ω ⊂ 0, ∞) × R jest
otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R(5) , nazywamy słabym rozwiązaniem zagadnienia początkowego (PZ-ZP), gdy dla każdej funkcji ϕ : [0, ∞) ×
R → R klasy C 1 , o zwartym nośniku(6) zawartym w Ω, zachodzi
(4.1)
Z∞ Z∞
(u(t, x)ϕt (t, x) + f (u(t, x))ϕx (t, x)) dt dx +
−∞ 0
Z∞
u0 (x)ϕ(0, x) dx = 0.
−∞
Fakt 4.1. Każde klasyczne rozwiązanie u : Ω → R, gdzie Ω jest otwartym
i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R, zagadnienia (PZ-ZP) jest rozwiązaniem
słabym (PZ-ZP).
Dowód. Niech ϕ : [0, ∞) × R → R będzie klasy C 1 , o zwartym nośniku zawartym w Ω. Wówczas zachodzi
Z∞ Z∞
(ut + f (u)x )ϕ dt dx = 0.
−∞ 0
(5)
Przez otwarty podzbiór domkniętej prawej półpłaszczyzny [0, ∞)×R rozumiemy zbiór
postaci U ∩ ([0, ∞) × R), gdzie U jest otwartym podzbiorem R2 .
(6)
Nośnik funkcji to domknięcie przeciwobrazu zbioru R \ {0} przez tę funkcję.
4–4
Skompilował Janusz Mierczyński
Całkując przez części, otrzymujemy, dla każdego x ∈ R,
Z∞
ut (t, x)ϕ(t, x) dt = −u(0, x)ϕ(0, x) −
0
Z∞
u(t, x)ϕt (t, x) dt,
0
i dla każdego t ­ 0,
Z∞
f (u)x (t, x)ϕ(t, x) dx = −
−∞
Z∞
f (u(t, x))ϕx (t, x) dx
−∞
(wykorzystujemy zwartość nośnika funkcji ϕ). Wystarczy teraz tylko zauważyć, że można zmieniać kolejność całkowania.
Funkcje ϕ występujące w definicji rozwiązania słabego nazywamy funkcjami próbnymi.
Niekiedy nie uwzględnia się warunku początkowego: mówimy o słabym
rozwiązaniu prawa zachowania (PZ), gdy
Z∞ Z∞
(u(t, x)ϕt (t, x) + f (u(t, x))ϕx (t, x)) dt dx = 0
−∞ 0
dla każdej funkcji próbnej ϕ o zwartym nośniku zawartym w Ω∩((0, ∞)×R).
Czasami w definicji rozwiązania słabego o funkcjach próbnych zakłada się,
że są to funkcje klasy C ∞ o zwartych nośnikach. Definicje te są równoważne,
choć dowód równoważności wymaga (żmudnego) wykazania, że funkcję klasy
C 1 o zwartym nośniku da się w odpowiedni sposób (w sensie normy C 1 )
przybliżać funkcjami klasy C ∞ o zwartych nośnikach.
4.2.1
Fale uderzeniowe. Warunek Rankine’a–Hugoniota
Wprowadzamy następujące założenie:
(FU) u : Ω → R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) ×
R, jest słabym rozwiązaniem równania (PZ), oraz następujące warunki są
spełnione:
(FU1) Ω = Γ ∪· Ω+ ∪· Ω− , z
Γ = { (t, x) : t ∈ I, x = ξ(t)}
Ω+ = { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x > ξ(t)}
Ω− = { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x < ξ(t)},
gdzie ξ : I → R jest funkcją klasy C 1 określoną na przedziale I;
4–5
Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
(FU2) u jest klasycznym rozwiązaniem równania (PZ) na Ω+ , i na Ω+ ;
(FU2) dla każdego t ∈ I istnieją granice jednostronne
u− (t) := lim − u(t, x),
x→ξ(t)
u+ (t) := lim + u(t, x),
x→ξ(t)
i zachodzi u− (t) 6= u+ (t).
Powyższe rozwiązanie u nazywa sie falą uderzeniową. Krzywa Γ to czoło
fali uderzeniowej , ξ 0 (t) to prędkość fali uderzeniowej.
Twierdzenie 4.2. Załóżmy, że u = u(t, x) spełnia założenie (FU). Wówczas
są spełnione warunki Rankine’a(7) –Hugoniota(8) :
(RH)
ξ 0 (t) =
f (u+ (t)) − f (u− (t))
u+ (t) − u− (t)
∀ t ∈ I.
Dowód. Niech ϕ będzie funkcją próbną taką, że ϕ(t, x) = 0 dla t = 0. Warunek (4.1) przybiera teraz postać
ZZ
(uϕt + f (u)ϕx ) dt dx +
Ω−
ZZ
(ϕt + f (u)ϕx ) dt dx = 0.
Ω+
Stosując do pierwszej z całek po lewej stronie twierdzenie o dywergencji otrzymujemy
ZZ
(uϕt +f (u)ϕx ) dt dx = −
Ω−
ZZ
Z
(ut +f (u)x )ϕ dt dx+ (u− ϕν1 +f (u− )ϕν2 ) ds,
Ω−
Γ
gdzie (ν1 , ν2 ) oznacza jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz.
Stosując do drugiej całki twierdzenie o dywergencji (i pamiętając, że jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz to teraz −(ν1 , ν2 )) otrzymujemy
ZZ
(uϕt +f (u)ϕx ) dt dx = −
Ω+
ZZ
Z
(ut +f (u)x )ϕ dt dx− (u+ ϕν1 +f (u+ )ϕν2 ) ds.
Ω+
Γ
Jako że u jest rozwiązaniem klasycznym na Ω+ i Ω− , zachodzi
ZZ
Ω−
(7)
(8)
(ut + f (u)x )ϕ dt dx =
ZZ
(ut + f (u)x )ϕ dt dx = 0.
Ω+
William John Macquorn Rankine (1820–1872), inżynier i fizyk szkocki
Pierre-Henri Hugoniot (1841–1887), inżynier i fizyk francuski
4–6
Skompilował Janusz Mierczyński
Ostatecznie otrzymujemy, że
Z (u− ν1 + f (u− )ν2 ) − (u+ ν1 + f (u+ )ν2 ) ϕ ds = 0.
Γ
Ponieważ ϕ było dowolne, musi zachodzić
ν1
f (u+ ) − f (u− )
=− .
u+ − u−
ν2
Ale
−
ν1
= ξ 0 (t),
ν2
co kończy dowód.
Uważna analiza powyższego dowodu wykazuje, że warunki Rankine’a–
Hugoniota są w istocie też warunkami wystarczającymi. Mówiąc dokładniej,
jeśli funkcja ograniczona u spełnia (FU1), (FU2), (FU3) oraz warunki (RH),
to jest rozwiązaniem słabym równania (PZ) na Ω.
Rzeczą naturalną jest spytać, co się stanie, gdy we wszystkich (czy nawet
niektórych) punktach krzywej Γ zachodzi u− = u+ . Dokładnie przyglądając się powyższemu dowodowi można zauważyć, że niepotrzebne są żadne
warunki na pochodną ξ 0 w takich punktach.
4.3
Przykłady
Rozważmy zagadnienie początkowe dla równania Burgersa bez lepkości

u
t
+ uux = 0,
t > 0, x ∈ R,
= u0 (x), x ∈ R,
u(0, x)
gdzie
u0 (x) =



1



1−x
0
dla x < 0,
dla 0 < x < 1,
dla x > 1.
Zagadnienie powyższe ma, dla t ∈ [0, 1), rozwiązanie
u(t, x) =


1





1−x


1−t




0
dla x < t,
dla t < x < 1,
dla x > 1.
4–7
Prawa zachowania. Fale uderzeniowe
Rozwiązanie to jest jednoznaczne. Chcielibyśmy je przedłużyć dla t ­ 1.
Rzecz jasna, skoro rzuty charakterystyczne się przecinają, nie będzie to już
funkcja ciągła. Jednak chcemy, by to słabe rozwiązanie było rozwiązaniem
klasycznym przyjmującym stale wartość 1 poniżej pewnej krzywej Γ, i wartość 0 powyżej tej krzywej. Ponadto, punkt (1, 1) powinien leżeć na krzywej
Γ.
Warunki Rankine’a–Hugoniota przyjmują postać:
Dla każdego t ­ 1 zachodzi
2
(u+ (t))2
2
− (u−2(t))
u+ (t) + u− (t)
1
=
= .
ξ (t) =
u+ (t) − u− (t)
2
2
0
Zatem Γ to półprosta przechodząca przez (1, 1), o współczynniku kierunkowym 1/2.
Jako następny przykład, rozważmy zagadnienie początkowe Riemanna
dla równania Burgersa bez lepkości

u
+ uux = 0,
t > 0, x ∈ R,
u(0, x) = u0 (x), x ∈ R,
t
gdzie
u0 (x) =

0
1
dla x < 0,
dla x > 0.
Jako że żaden z rzutów charakterystycznych startujących z prostej t = 0 nie
przechodzi przez klin t > 0, 0 < x < t, nie mamy jednoznacznego przepisu
na znalezienie wartości rozwiązania w tym klinie.
Możemy spróbować falę uderzeniową (podobną do tej z poprzedniego
przykładu):

t


dla x < ,

0
2
u1 (t, x) =

t


1
dla x > .
2
Jest to rozwiązanie słabe zagadnienia, spełniające warunek Rankine’a–Hugoniota.
Jednak funkcja ciągła
u2 (t, x) =



0



x


t




1
dla x < 0,
dla 0 < x < t,
dla x > t,
4–8
Skompilował Janusz Mierczyński
(„fala rozrzedzeniowa”) też jest rozwiązaniem słabym.
Otrzymaliśmy więc dwa różne rozwiązania naszego zagadnienia Riemanna. Powstaje kwestia, które z tych rozwiązań (jeśli w ogóle) ma interpretację
fizyczną. Tutaj pomocne są rozważania wiążące się ze strzałką czasu, co w
literaturze fizycznej zwane jest też zasadą wzrostu entropii. Nie wchodząc
w szczegóły, chodzi o to, by czoło fali uderzeniowej było miejscem przecięcia rzutów charakterystycznych wychodzących z punktów odpowiadających
chwilom wcześniejszym. Natomiast pozbawiona interpretacji fizycznej jest sytuacja, gdy rzut charakterystyczny przechodzący przez pewien punkt przecina czoło fali uderzeniowej w chwili wcześniejszej.
Matematycznie przybiera to postać warunku wzrostu entropii:
f 0 (u− (t)) > ξ 0 (t) > f 0 (u+ (t)).
Wracając do rozwiązania u1 , zauważmy że w klinie t > 0, 0 < x < t
rzuty charakterystyczne to półproste o początku w (t/2, t/2) i współczynniku kierunkowym 0, oraz półproste o początku w (t/2, t/2) i współczynniku
kierunkowym 1.
Teoria rozwiązań praw zachowania jest bardzo rozbudowana. Okazuje się,
że gdy f jest funkcją jednostajnie wypukłą i klasy C 2 , to istnieje dokładnie
jedno tzw. rozwiązanie entropijne zagadnienia początkowego (PZ-ZP) określone na całej domkniętej prawej półpłaszczyźnie [0, ∞) × R. Wyraża się ono
wzorem Laxa(9) –Olejnik(10) , zbyt skomplikowanym by go przytaczać tutaj.
(9)
(10)
Peter David Lax (ur. w 1927), matematyk amerykański pochodzenia węgierskiego.
Olga Arseniewna Olejnik (1925–2001), matematyczka rosyjska.