Wzór całkowy Fouriera
Transkrypt
Wzór całkowy Fouriera
Wzór całkowy Fouriera Warunki Dirichleta Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale (a, b) pierwszy warunek Dirichleta, jeżeli jest ograniczona na tym przedziale i jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, na których funkcja f jest monotoniczna. Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale (a, b) drugi warunek Dirichleta, jeżeli jest ona ciągła na tym przedziale za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzalu oraz w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek 1 (f (x− ) + f (x+ )) . 2 f (x) = Twierdzenie Fouriera - wzór całkowy Fouriera Niech funkcja f określona na przedziale (−∞, ∞) będzie na tym przedziale bezwzględnie całkowalna, czyli, że spełnia warunek Z∞ |f (x)| dx < ∞∗ −∞ oraz niech ponadto spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na każdym ograniczonym przedziale [−l, l], gdzie l > 0. Wtedy funkcję f można dla każdego x ∈ R przedstawić wzorem (∗) f (x) = Z∞ [a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx] dω 0 gdzie funkcje a(ω) i b(ω) określone są wzorami 1 a(ω) = π Z∞ 1 b(ω) = π f (u) cos ωu du, −∞ Z∞ f (u) sin ωu du, −∞ π Całkę po prawej stronie równości we wzorze (ast) nazywamy oraz ω = l całką Fouriera funkcji f. ∗ Z∞ −∞ Przy czym całkę niewłaściwą rozumiemy tu w sensie tzw. wartości głównej, tj. f (x) dx = lim ZT T →∞ −T f (x) dx 1 Uwaga. Szereg trygonometryczny Fouriera i całka Fouriera stanowią klasyczny aparat matematyczny, stosowany do analizy przebiegów elektrycznych. Wzór całkowy Fouriera spełnia taką samą rolę dla funkcji nieokresowej jak szereg Fouriera dla funkcji okresowej i ma również podobną budowę z tym, że znak sumy zastąpiono znakiem całki. Zamiast współczynników Fouriera an , bn mamy we wzorze całkowym funkcje ciągłe a(ω) i b(ω). Współczynniki widma ciągłego Funkcje a(ω) i b(ω) nazywamy współczynnikami widma ciągłego lub widmem rzeczywistym funkcji f. Rozwinięcie funkcji f w szereg Fouriera można traktować jako przedstawienie ruchu okresowego w postaci sumy harmonicznych o częstotliwościach całkowitych. Z kolei całkę Fouriera funkcji f można traktować jako rozkład procesu opisanego funkcją na drgania harmoniczne o częstotliwości ω zmieniającej się w sposób ciągły. Cosinusowy wzór całkowy Fouriera Jeżeli funkcja f jest funkcją parzystą, to b(ω) = 0, 2 a(ω) = π Z∞ f (u) cos ωu du 0 i wzór całkowy Fouriera ma postać f (x) = Z∞ a(ω) cosωx dω 0 Sinusowy wzór całkowy Fouriera Podobnie, jeżeli funkcja f jest funkcją nieparzystą, to a(ω) = 0, 2 b(ω) = π Z∞ f (u) sin ωu du 0 i wzór całkowy Fouriera ma postać f (x) = Z∞ b(ω) sinωx dω 0 2 Niekiedy zachodzi potrzeba przedstawienia za pomocą całki Fouriera takiej funkcji, która jest określona tylko dla dodatnich wartości argumentu. Zakładając, że funkcja f jest bezwzględnie całkowalna na przedziale [0, ∞) oraz, że spełnia ona warunki Dirichleta na każdym przedziale (a, b), gdzie 0 ¬ a < b, to można ją w dowolny sposób przedłużyć na przedział (−∞, 0), a tym samym można ją przedstawić za pomocą różnych całek Fouriera. Zwykle funkcję f przedstawiamy za pomocą całek zawierających same cosinusy lub same sinusy. Postać zespolona wzoru całkowego Fouriera Wykorzystując wzory Eulera oraz tożsamości trygonomertyczne możemy wzór ∞ f (x) = Z [a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx] dω 0 przekształcić do postaci równoważnej 1 f (x) = 2π Z∞ iωx e dω −∞ Z∞ f (u)e−iωu du. −∞ Wzór ten nazywamy zespoloną całką Fouriera funkcji f . Wzór ten wyraża związek między wartością funkcji f w dowolnie obranym punkcie x, a wartościami tej funkcji we wszystkich punktach przedziału (−∞, ∞). Uwaga. Wzory całkowe Fouriera można z powodzeniem stosować do wyznaczania niektórych całek niewłaściwych. Przekształcenie Fouriera Transformata Fouriera Niech funkcja f spełnia założenia twierdzenia Fouriera. Przekształcenie dane wzorem ∞ fˆ(ω) = Z f (u)e−iωu du, −∞ przyporządkowujące funkcji f zmiennej rzeczywsitej t funkcję zespoloną fˆ zmiennej rzeczywistej ω nazywamy przekształceniem Fouriera funkcji f . Funkcję fˆ związaaną z funkcją f transformatą nazywamy F-transformatą Fouriera funkcji f i zapisujemy symbolicznie F {f (t)} = fˆ(ω). 3 Funkcjami F- transformowalnymi są wszystkie funkcji bwzwzględnie całkowalne na prostej. Funkcje okresowe np. sin czy cos nie mają transformat Fouriera, ponieważ ich całki niewłaściwe są rozbieżne. Również funkcje: 1, x, et , e−t , wielomiany, funkcje hiperboliczne nie są F-transformowlane. Przekształcenie Fouriera można stosować do funkcji określonych w przedziałach ograniczonych albo do funkcji, które w nieskończoności dążą dostatecznie szybko do 0, tak aby całka we wzorze definicyjnym była zbieżna. W wielu zagadnieniach praktycznych warunki te są spełnione. Odwrotne przekształcenie Fouriera Na podstawie zespolonej całki Fouriera f (t) = 1 2π Z∞ eiωt dω −∞ Z∞ f (u)e−iωu du −∞ mamy 1 f (t) = 2π Z∞ eiωt fˆ(ω) dω −∞ Zatem możemy wyznaczyć funkcję f , gdy znana jest jej transformata Fouriera. Przekształcenie to nazywamy odwrtoną transformatą Fouriera. Własności przekształcenia Fouriera W podanych poniżej własnościach transformaty Fouriera będzie zakładać, że występujące tu funkcje spełniają założenia twierdzenia Fouriera. Funkcje takie będziemy nazywali oryginałami. Liniowość F {f (t) + g(t)} = F {f (t)} + F {g(t)} , F {cf (t)} = cF {f (t)} , c ∈ R Przesunięcie argumentów oryginału F {f (t − t0 )} = e−iωt0 F {f (t)} . Różniczkowanie obrazu (−i)n F {tn f (t)} = fˆ(n) (ω), k = 1, 2, . . . 4 Transformata n-tej pochodnej oryginału Jeżeli funkcja f i jej pochodne f (k) dla k = 1, 2, . . . , n są oryginałami oraz lim f (k) (t) = lim f (k) (t) = 0 dla k = 0, 1, 2, . . . , n, t→−∞ t→∞ to n o F f (n) (t) = (iω)n F {f (t)} . W szczególności n ′ o F f (t) = iωF {f (t)} . Całkowanie oryginału Zt Jeżeli funkcja f oraz jej całka ϕ(t) = f (τ ) dτ , gdzie t0 ∈ R są bezwzględ- t0 nie całkowalne na prostej oraz lim ϕ(t) = lim ϕ(t) = 0, t→−∞ to F t Z t→∞ f (τ ) dτ, t0 = 1 F {f (t)} . iω Splot funkcji Splotem funkcji f , g na prostej R lub splotem dwustronnym nazwamy funkcję określoną wzorem Z∞ f (τ )g(t − τ ) dτ −∞ i oznaczamy symbolem f (t) ∗ g(t). Zatem f (t) ∗ g(t) = Z∞ f (τ )g(t − τ ) dτ. −∞ 5 Własności splotu f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t); f (t) ∗ [g(t) + h(t)] = f (t) ∗ g(t) + f (t) ∗ h(t); [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] [cf (t)] ∗ g(t) = c [f (t) ∗ g(t)] . Transformata splotu Jeżeli funkcje f , g są oryginałami, a ponadto ich splot jest bwzwzględnie całkowalny, to F {f (t) ∗ g(t)} = F {f (t)} · F {g(t)} . 6