Zadania

Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta - cd
1. Pokazać, że układ
1
e0 (t) = √ , en (t) =
π
2
cosnt, n = 1, 2, . . .
π
jest ortonormalny zupełny w przestrzeni L2 (0, π).
2. Pokazać, że układ
en (t) =
2
sinnt, n = 1, 2, . . .
π
jest ortonormalny zupełny w przestrzeni L2 (0, π).
3. Wypisać nierówność Bessela dla układu trygonometrycznego w przestrzeni L2 (−π, π).
4. Zbadać, które z podanych układów tworza baze ortogonalna w l2 , a które nie:
(i) (1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, . . . ), . . . ,
(ii) (1, −1, 0, 0, . . . ), (1, 1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, −1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, 1, 0, 0, . . . ) . . . .
acych
układów:
5. Wykazać zupełność nastepuj
2
(i) {sinnx}∞
n=1 w przestrzeni L (0, π),
π
2
(ii) {sin(2n − 1)x}∞
n=1 w przestrzeni L (0, 2 ),
(iii) {1, t3 , t6 , . . . } w przestrzeni L2 (0, 1),
(iv) {1, t2 , t4 , t6 . . . } w przestrzeni L2 (0, 1).
Czy ostatni z tych układów jest zupełny w L2 (−1, 1)?
6. Wykazać, że jeśli szereg trygonometryczny funkcji f ma postać:
∞
a0 +
(an cosnx + bn sinnx) ,
2
n=1
gdzie
1 π
an =
f (x)cosnx dx n = 0, 1, 2, . . . ,
π −π
1 π
f (x)sinnx dx n = 1, 2, . . . ,
bn =
π −π
to
1
1
1
c0 = a0 , cm = (am − ibm ) , c−m = (am + ibm ) ,
2
2
2
gdzie m = 1, 2, . . . i c0 , cm , c−m sa wyrażone wzorami Eulera-Fouriera.
7. Podać postać tożsamości Parsevala w przypadku rzeczywistym i zespolonym dla funkcji
Arkusz 11
f ∈ L2 (π, π) i jej szeregu Fouriera określonego wzgledem
trygonometrycznego układu orto
normalnego.
8. Wyznaczyć współczynniki Fouriera i zadać zbieżność szeregu Fouriera dla funkcji określonych w przedziale < −π, π) wzorami:
(i) f (t) = t,
(ii) f (t) = |t|,
(iii) f (t) = sgnt,
(iv) f (t) = et .
9. Podać postać tożsamości Parsevala dla trzech pierwszych funkcji z poprzedniego zadania
w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Wykonać bezpośredni rachunek.
10. W przestrzeni L2 (−π, π) obliczyć współczynniki Fouriera i rozwinać
w szereg trygonometryczny funkcje f (t) = t(π − t) określona na przedziale < 0, π > . Rozważyć dwa przypadki:
(i) przedłużenie parzyste funkcji,
(ii) przedłużenie nieparzyste funkcji.
Zbadać zbieżność otrzymanego szeregu.
11. Wykazać, że jeśli funkcja f : R → R jest nieparzysta i 2π-okresowa, to jej szereg Fouriera
zależy tylko of funkcji sinus, a jeśli jest parzysta, to od funkcji cosinus.
2π-okresowa i g(x) =
12. Niech g : R → R bedzie
π−x
2
2
dla x ∈< 0, 2π). Znaleźć jej szreg
Fouriera i zbadać jego zbieżność.
wzorem f (x) = sin3x. Znaleźć jej szereg Fouriera i zba13. Niech f : R → R dana bedzie
dać jego zbieżność.
14. Funkcje f :< 0, π >→ R dana wzorem f (x) = ex przedstawić w postaci sumy szeregu
∞
n=1 bn sinnx.
15. Funkcje g(x) = sinx przedstawić w postaci sumy szeregu a0 +
∞
n=1
an cosnx na przedziale
(0, π).
16. W przestrzeni L2 (0, 2π) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (t) = t2 na podprzestrzeń
liniowa rozpiet
a na funkcjach
1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . .
i obliczyć norme tego rzutu.
Arkusz 12
17. W przestrzeni L2 (−1, 1) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (t) = e−t na podprzestrzeń
liniowa rozpiet
a na funkcjach
1, t, t2 , . . .
i obliczyć norme tego rzutu.
18. W przestrzeni L2 (0, 1) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (t) = t na podprzestrzeń liniowa rozpiet
a na funkcjach układu Rademachera i obliczyć norme tego rzutu.
19. Wykazać, że
∞
π
(−1)k
= .
4
k=0 2k + 1
(Wsk. Rozwinać
w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje f (x) = x określona na przedziale
(−π, π), zbadać jej zbieżność i policzyć wartość dla x = π2 .)
20. Użyć równości Parsevala, aby wykazać, że
(i)
(ii)
∞
π2
1
n=1 n2 = 6 ,
∞ 1
π4
n=1 n4 = 90 .
(Wsk. Skorzystać z odpowiedniej postaci równości Parsevala dla szeregu trygonometrycznego i
2
rozwinać
w szereg funkcje f (t) = t i f (t) = t na < −π, π > dla i) i ii) odpowiednio.)
21. Niech f ∈ L2 (−π, π). Znaleźć rzut ortogonalny f na podprzestrzeń M = lin {e−int , . . . , eint } ,
n ∈ N i znaleźć odległość f od M.
(Wsk. Wykazać, że wektory
eint
2π
n
k=−n
sa ortonormalne.)
Arkusz 13