Ćwiczenia ze Wstępu do Matematyki, I rok, matematyka. Zestaw 2

Ćwiczenia ze Wstępu do Matematyki, I rok, matematyka. Zestaw 2
1. Wykazać, że poniższe wyrażenia nie stanowią praw rachunku kwantyfikatorów.
((∃x∈X ϕ(x)) ∧ (∃x∈X ψ(x))) =⇒ (∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ),
((∀x∈X (ϕ(x)) ∨ ψ(x))) =⇒ ((∀x∈X ϕ(x)) ∨ (∀x∈X ψ(x))),
(∀y∈Y ∃x∈X φ(x, y)) =⇒ (∃x∈X ∀y∈Y φ(x, y)),
(∃y∈Y ∀x∈X φ(x, y)) =⇒ (∀y∈Y ∃x∈X φ(x, y)),
((∀x∈X ϕ(x)) =⇒ (∀x∈X ψ(x))) =⇒ (∀x∈X (ϕ(x) =⇒ ψ(x))).
2. Określić prawdziwość tych formuł, które są zdaniami (∅ =
6 A ⊂ R):
∃y∈Q y 2 − 1 = (y − 1)(y + 1), ∀y∈Q y 2 − 1 = (y − 1)(y + 1),
∃x∈R x2 = 2,
∀x∈R x2 = 2,
∀x∈Z ∃y∈Q x < y,
∃y∈Q ∀x∈Z x < y,
∃x∈R (x + y)2 = 3x,
[ ∃M >0 ∀x∈A |x| 6 M ] =⇒ [ ∃g∈R ( ∀x∈A x 6 g ) ∧ ( ∀h∈R (∀x∈A x 6 h) =⇒ g 6 h ) ] ,
[ ∃M >0 ∀x∈A x > M ] =⇒ [ ∃g∈A ( ∀x∈A x > g ) ∧ ( ∀h∈R (∀x∈A x > h) =⇒ g > h ) ] .
3. Podać elementy zbiorów:
{∅}
{{{a}}, {a}, a}
{{a, b}, {a, {a, b}}, ?}
{{Ψ}, {t, Ψ}, t, Ψ}
{x ∈ R : x2 + 1 > 0} {x ∈ Q : (x + 1)2 6 0}
{x ∈ Q : (x + 1)2 = 2} {x ∈ N : |3 − x| < 3} {x ∈ Z : |3 − x3 | < 11}
4. Jakie zachodzą relacje inkluzji pomiędzy parami zbiorów?
a)
b)
c)
d)
A = {{a, b}, {c, d}, c, d}
A = {{Ψ, t}, {Ψ}, t, t, ∅}
A = {x ∈ N : x2 > 4}
A = {x ∈ Q : x3 − 5x + 3 = 0}
B
B
B
B
= {c, {a, b}}
= {{∅}, ∅, t}
= {x ∈ Z : x > 2}
= {x ∈ R : x4 + 1 = 0}
5. Dla podanych par zbiorów A, B obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A = {a, b, c}
A = {{a, {b}}, {b}, c, {c}, {a, b}}
A = {x ∈ Q : x2 6 1}
A = {x ∈ R : x < 1}
A = {x ∈ N : x > 0 ∧ log2 x < 5}
A = {x ∈ Q : x2 6 3}
B
B
B
B
B
B
= {c, d}
= {{a, b}, c, {b}}
= {y ∈ R : 2y 3 − 5y 2 + 4y = 0}
= {x ∈ Z : x > −13}
= {x ∈ Z : | sin π2 x | = 1}
= {x ∈ R : x2 > 3}
6. Zbadać, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(A ∩ B) ∪ (C ∩ B) = B,
A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C),
(A ∪ B) \ (A ∪ C) = A ∪ (B \ C),
A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C,
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C),
(A ∪ B) \ (B ∩ C) = A ∩ C,
(A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D),
(A \ B) ∪ B = A,
(A ∪ B) \ B = A.
7. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D prawdziwe są zdania
A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B,
A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A,
A ⊂ B =⇒ B 0 ⊂ A0 ,
((A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D)) =⇒ (A ∩ C ⊂ B ∩ D),
((A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D)) =⇒ (A \ D ⊂ B \ C),
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B =⇒ B ∩ C = ∅.
1
8. Niech A1 , . . . , An - zbiory. Definiujemy B1 := A1 , B2 := A2 \ A1 ,
k−1
[
B3 := A3 \ (A1 ∪ A2 ), . . . , Bk := Ak \
!
Ai
(2 6 k 6 n).
i=1
Sprawdzić, że: a) Bk ∩ Bl = ∅ ∀k6=l ,
b)
n
S
j=1
Aj =
n
S
Bj .
j=1
9. Aksjomatyczna teoria mnogości gwarantuje m.in. istnienie singletonu {a} dla dowolnego elementu
a oraz istnienie pary {a, b} dla dowolnych elementów a, b. Pozwala to poprawnie zdefiniować parę
uporządkowaną elementów a i b jako zbiór
(a, b) = { {a}, {a, b} }.
Podobnie można zdefiniować trójkę uporządkowaną elementów a, b i c:
(a, b, c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c} }.
Inna możliwa definicja trójki uporządkowanej wyraża ją w terminach pary:
< a, b, c >= ( (a, b), c ), bądź też [a, b, c] = ( a, (b, c) ).
a) Zweryfikować definicję pary uporządkowanej pod kątem jej własności wyróżniania poprzednika
i następnika
(a, b) = (b, a) ⇔ a = b, (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
b) Zweryfikować podane definicje trójki uporządkowanej pod kątem własności:
(a, b, c) = (a0 , b0 , c0 ) ⇔ a = a0 ∧ b = b0 ∧ c = c0 ,
< a, b, c >=< a0 , b0 , c0 >⇔ a = a0 ∧ b = b0 ∧ c = c0 ,
[a, b, c] = [a0 , b0 , c0 ] ⇔ a = a0 ∧ b = b0 ∧ c = c0 .
c) Sprawdzić, że (a, b) 6= {a, b}, [a, b, c] 6=< a, b, c >6= (a, b, c) 6= {a, b, c}.
d) Dlaczego ani zbiór {a, b} ani zbiór {a, {b} } nie może funkcjonować jako definicja pary uporządkowanej (patrz: punkt a) ?
10. Ustalmy pewien zbiór X. Przez 2X rozumiemy rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X; „nieformalnie” 2X = {A : A ⊂ X}. W zbiorze 2X wprowadzamy działanie M różnicy symetrycznej następująco:
A M B = (A \ B) ∪ (B \ A) dla A, B ∈ 2X . Sprawdzić, że:
a) A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
b) działanie M jest przemienne;
c) działanie M jest łączne;
d) działanie M ma element neutralny E ∈ 2X tj. E M A = A = A M E ∀A∈2X ; jaki zbiór pełni tę
rolę?
e) każdy A ∈ 2X ma element przeciwny A0 ∈ 2X tj. A M A0 = E = A0 M A, gdzie E – element
neutralny działania M;
f) rozwiązać równania
A M Z = C, A M Z M B = C,
gdzie A, B, C ∈ 2X – dane „współczynniki”, Z ∈ 2X - niewiadoma.
11. Uzasadnić, że A ∪ B jest najmniejszym zbiorem zawierającym A i B, tzn.
C = A ∪ B ⇔ [C ⊃ A ∧ C ⊃ B ∧ ∀D (D ⊃ A ∧ D ⊃ B ⇒ D ⊃ C)] .
12. Niech A – zbiór skończony. Oznaczmy N (A) =„liczba elementów zbioru A”. Oczywiście dla rozłącznych A i B mamy N (A ∪ B) = N (A) + N (B). Wywnioskować stąd, że dla dowolnych zbiorów C i
D zachodzi N (C ∪ D) = N (C) + N (D) − N (C ∩ D).
13. (Zadanie Lewisa Carrola) W pewnej bitwie spośród 100 piratów 70 utraciło oko, 75 – ucho, 80 –
rękę, 85 – nogę. Ilu co najmniej piratów straciło w walce wszystkie trzy narządy ?
15.10.1999
Krzysztof Leśniak
Radosław Pietkun
2