Kąty w okręgu

Joanna Ochremiak, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
Kąty w okręgu
Twierdzenie: Miara kąta środkowego opartego na łuku AB jest
dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym
łuku.
Wniosek: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równą
miarę.
) OAB =
1. (6 test próbny VII OMG) Punkty A i B leżą na okręgu o środku O, przy czym <
◦
45 . Punkt C leży na dłuższym łuku AB tego okręgu (rys. 1). Wynika z tego, że
T
) ACB = 45◦ ;
b) <
N
) ABC < 130◦ .
c) <
) ACB = 40◦ . Punkt P leży
2. (13 test VII OMG) Dany jest trójkąt ABC, w którym <
◦
) AP B = 80 . Wynika z tego, że
wewnątrz trójkąta ABC, przy czym <
N
c) punkt P jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
rys. 1
rys. 2
rys. 3
3. (4 1 etap V OMG) Dany jest 18-kąt foremny A1 A2 ...A18 (rys. 3). Wykaż, że czworokąt
ograniczony prostymi A2 A7 , A3 A15 , A6 A12 i A10 A17 jest prostokątem. Czy ten prostokąt
jest kwadratem?
4. Na przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano po zewnętrznej
stronie kwadrat BCDE (rys. 4). Niech O będzie środkiem tego kwadratu. Wykaż, że
<
) BAO = <
) CAO.
rys. 4
rys. 5
rys. 6
Joanna Ochremiak, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
5. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta CI przecina okrąg
opisany na tym trójkącie w punkcie D (rys. 5). Wykaż, że AD = BD = ID.
6. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC (rys. 6). Punkt D jest rzutem
) ACD = <
) BCO.
prostokątnym punktu C na prostą AB. Wykaż, że <
7. (Twierdzenie Simsona) Punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie ABC. Wykaż,
że rzuty prostokątne punktu P na proste zawierające boki tego trójkąta są współliniowe.
Prostą zawierającą te rzuty nazywamy prostą Simsona.
Punkt Torricellego - taki punkt P wewnątrz trójkąta ABC, którego suma odległości od
wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.
8. Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty
równoboczne BCD, CAE i ABF (rys. 7). Wykaż, że:
1) AD = BE = CF .
2) Proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.
(Jeśli wszystkie kąty trójkąta ABC są nie większe niż 120◦ , to punkt przecięcia prostych
AD, BE i CF jest punktem Torricellego.)
rys. 7
rys. 8
rys. 9
9. Na bokach BC i AC trójkąta ostrokątnego ABC zbudowano, po zewnętrznej stronie,
kwadraty BCF E i ACGH (rys. 8). Udowodnij, że proste AF , BG i EH przecinają się w
jednym punkcie.
10. Punkt E leży na boku BC kwadratu ABCD. Czworokąt BF GE jest kwadratem zbudowanym na zewnątrz kwadratu ABCD (rys. 9). Wykaż, że proste AE, CF i DG przecinają
się w jednym punkcie.
11. (2 2 etap LII OM) Punkty A, B, C leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym AB <BC.
Punkty D, E są wierzchołkami kwadratu ABDE.
Okrąg o średnicy AC przecina prostą DE w punktach P i Q, przy czym punkt P należy do odcinka
DE. Proste AQ i BD przecinają się w punkcie R
(rys. 10). Udowodnij, że DP = DR.
rys. 10